Αριθμητική Ανάλυση ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος 2003-2004 4η Εβδομάδα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Αριθμητική Ανάλυση ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος 2003-2004 Δευτέρα, 3 Απριλίου 2017 4η Εβδομάδα

Θέμα: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ,Μέρος Β ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ (Iterative Methods)

Ι. Προκαταρκτικά ΑΡΙΣΤΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ (α) D.M. Young: Iterative Solution of large linear systems, Academic Press, 1971 (β) R.S. Varga: Matrix Iterative Analysis, Prentice, 1962 ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (α) Συστήματα με μεγάλο πλήθος εξισώσεων (103-106) και πολύ μεγάλο ποσοστό μηδενικών στοιχείων (~90%) στον πίνακα των συντελεστών των αγνώστων. (β) Στόχος, ο προσδιορισμός της λύσης με μια ορισμένη ακρίβεια. ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΜΕΘΟΔΩΝ Παρόμοια με τη γενική επαναληπτική των εξισώσεων. Δηλαδή, υποκατάσταση του αρχικού συστήματος μ’ ένα άλλο που να επιλύεται εύκολα. Έτσι, αντί του Επιλύεται το: με το επαναληπτικό σχήμα όπου Τ=Μ-1(Μ – Α) και ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΟΥ «Μ», ΌΤΑΝ Ο ΠΙΝΑΚΑΣ Α ΕΙΝΑΙ: A=D–B–C (α) Διαγώνιος πίνακας M ( = D – ΜΈΘΟΔΟΣ Jacobi ) (β) Τριγωνικός πίνακας Μ ( = D-B » Gauss-Seidel) (γ) Συνδυασμοί των δύο M( =D-ωB » S. O. R. )

ΙΙ. Οι τρεις βασικές επαναληπτικές μέθοδοι ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΝ (α) Jacobi: Τj=D-1(B+C) (β) G-S: ΤG-S=(D-B)-1C (γ) Relaxation: ΤR=(D-ωB)-1{(1-ω)D+ωC) . Παράδειγμα 1ο: Στο Γ.Σ. που ακολουθεί, οι αντίστοιχοι πίνακες είναι: Τα 3 προηγούμενα σχήματα για το Γ.Σ. (1) είναι: (ΜΈΘΟΔΟΣ - Jacobi) ( » - Gauss-Seidel) ( » - Relaxation) Έτσι, από τα (2) και (3), με λαμβάνουμε τον πίνακα των αριθμητικών αποτελεσμάτων:

ΙΙΙ. Αριθμητικά αποτελέσματα με Jacobi, Gauss-Seidel & SOR Η λύση του συστήματος είναι Ερώτημα: Ποια είναι η βασική διαφορά μεταξύ των επαναληπτικών σχημάτων (2), (3) και (4); ΙΙΙ. Αριθμητικά αποτελέσματα με Jacobi, Gauss-Seidel & SOR x\k 1 2 3 J G-S SOR x1 1.2 0.96 0.9948 1.008 0.99965 X2 1.08 1.0033 1.000016 x3 0.972 1.0002 1.000033 4 5 6 0.9984 1.00032 0.999936 x2 1.0032

IV. ΓΕΝΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΤΡΕΧΟΥΣΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Η γενική μορφή του επαναληπτικού πίνακα: και στο όριο: με Τ=Τj ή TG-S ή TR . Δι’ αφαιρέσεως της (5) από την (6) έχουμε( την σχέση των διαδοχικών σφαλμάτων): Στη συνέχεια θεωρούμε ότι ο επαναληπτικός πίνακας Τ έχει ένα πλήρες σύστημα ιδιοδιανυσμάτων και και ότι το αρχικό σφάλμα αναλύεται στον ιδιόχωρο του T ως εξής ( με τα ιδιοδιανύσματά του): Οπότε η σχέση (7), λόγω της (8) γίνεται: Ετσι αν αξιοποιήσουμε την ιδιότητα των ιδιοτιμών τότε η (9) γράφεται :

V. Παρατηρήσεις, Εφαρμογή Από την (10) είναι σαφές, ότι σε κάθε επανάληψη του σχήματος οι τιμές του αρχικού σφάλματος ως προς τις κύριες κατευθύνσεις του ιδιόχωρου του Τ πολλαπλασιάζονται έως την αντίστοιχη ιδιοτιμή λk. Έτσι, εάν οι ιδιοτιμές του επαναληπτικού πίνακα Τα είναι απολύτως μικρότερες της μονάδας, τότε από την (10) προκύπτει ότι έχουμε συνεχή συρρίκνωση (συστολή) του σφάλματος και το αντίστοιχο επαναληπτικό σχήμα θα συγκλίνει στη λύση του Γ.Σ. Παράδειγμα 2ο: Στο γραμμικό σύστημα: Οι επαναληπτικοί πίνακες TJ, ΤG-S και TR με τις αντίστοιχες ιδιοτιμές είναι:

Σημείωση: (1) Ο D. Young απέδειξε για την ειδική κατηγορία των Γ. Σ πίνακας των συντελεστών του αγνώστου έχει τη δομή που καλείται «Property A», τότε οι ιδιοτιμές μ του TJ και οι ιδιοτιμές λ του TR συνδέονται με τη σχέση: Εάν εφαρμόσουμε την (1) για ω=1 (δηλαδή G-S) τότε έχουμε την ιδιότητα: όπως συνέβη στο προηγούμενο παράδειγμά μας. Το βέλτιστο ω συνδέεται με την ισότητα των δύο ριζών λ1 και λ2 (που η συνθήκη αυτή συνεπάγεται τον μηδενισμό της διακρίνουσας στη δευτεροβάθμια εξίσωση) που σημαίνει: απ’ όπου λαμβάνουμε: ή με πολλαπλασιασμό του β’ μέλους με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή τελικά: