Θεματική Ενότητα Διακριτή Πιθανότητα

Ορισμός Πείραμα τύχης είναι μία φυσική διαδικασία η οποία έχει ένα συγκεκριμένο σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων

Πείραμα Τύχης Τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα και τα μόνα πραγματοποιήσιμα, δηλαδή, σε κάθε επανάληψη του πειράματος τύχης θα συμβεί ακριβώς ένα από αυτά.

Παραδείγματα Το μοίρασμα για μια παρτίδα πόκερ έχει 52!/(5!47!)=2.598.960 δυνατά αποτελέσματα Η βαθμολογία των γραπτών ενός φοιτητή έχει 54 δυνατά αποτελέσματα (αν υποθέσουμε ότι ο φοιτητής δίνει εξετάσεις σε 4 μαθήματα και ότι υπάρχουν πέντε κλίμακες βαθμολογίας A, B, C, D, F) Η ρίψη ενός νομίσματος έχει ως αποτέλεσμα εμφάνιση κορώνας ή γραμμάτων

Δειγματικός Χώρος Αναφερόμαστε στο σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος με τον όρο δειγματικός χώρος του πειράματος (Δ). Τα στοιχεία του δειγματικού χώρου τα ονομάζουμε δείγματα ή δειγματικά σημεία ( {x1, x2, …, xi, …} ) Δ = {x1, x2, …, xi, …} Ένας δειγματικός χώρος που έχει πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος δειγμάτων, λέγεται διακριτός

Παράδειγμα Το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος έχει δειγματικό χώρο το σύνολο Δ = {Κ, Γ}, το οποίο αποτελείται από τα δύο πιθανά αποτελέσματα Κ (κορώνα) και Γ (γράμματα) Το πείραμα στο οποίο αναμένουμε την άφιξη ενός λεωφορείου στην στάση έχει δειγματικό χώρο το σύνολο Δ = {0,1,2,3,…,30} στο οποίο τα αποτελέσματα είναι χρόνοι αναμονής που κυμαίνονται από 0 έως 30 λεπτά

Πιθανότητα Δείγματος Κάθε δείγμα στον δειγματικό χώρο συνδέεται με ένα πραγματικό αριθμό ο οποίος ονομάζεται πιθανότητα αυτού του δείγματος Για το δείγμα xi θα χρησιμοποιούμε το p(xi) για να συμβολίσουμε την πιθανότητα που αντιστοιχεί στο xi

Ορισμός Η πιθανότητα ενός δείγματος είναι το μαθηματικό μέγεθος που δίνει το πόσο «πιθανή» (με τη διαισθητική έννοια) είναι η εμφάνιση αυτού του αποτελέσματος

Χαρακτηριστικά Πιθανότητας Ένα δείγμα με μεγάλη πιθανότητα είναι πιο πιθανό να εμφανιστεί, ενώ ένα δείγμα με μικρότερη πιθανότητα είναι λιγότερο πιθανό Ποσοτικά, αν εκτελέσουμε ένα πείραμα πολλές φορές, η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου δείγματος είναι ένα μέτρο του κλάσματος των φορών στις οποίες εμφανίζεται το συγκεκριμένο αποτέλεσμα ως προς το συνολικό αριθμό εμφάνισης όλων των αποτελεσμάτων

Χαρακτηριστικά Πιθανότητας (συνέχεια) Οι πιθανότητες που είναι συνδεδεμένες με τα δείγματα, πρέπει να ικανοποιούν δύο συνθήκες Η πιθανότητα κάθε δείγματος είναι ένας μη αρνητικός αριθμός μικρότερος ή ίσος του 1. Δηλαδή, για κάθε xi στο Δ, 0 £ p(xi) £ 1 Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των δειγμάτων στον δειγματικό χώρο είναι ίσο με 1. Δηλαδή, Σ xi ÎS p(xi) = 1

Χαρακτηριστικά Πιθανότητας (συνέχεια) Στον δειγματικό χώρο οποιουδήποτε πειράματος, ένα δείγμα με πιθανότητα 1 αντιστοιχεί σε ένα αποτέλεσμα το οποίο εμφανίζεται με βεβαιότητα, ενώ ένα δείγμα με πιθανότητα 0 αντιστοιχεί σε ένα αποτέλεσμα που δεν εμφανίζεται ποτέ

Παράδειγμα Στον δειγματικό χώρο της ρίψης ενός ομογενούς νομίσματος, η πιθανότητα του αποτελέσματος κορώνα είναι ½ και η πιθανότητα του αποτελέσματος γράμματα είναι επίσης ½ Αν ρίξουμε το νόμισμα πολλές φορές, περίπου μισά από τα αποτελέσματα θα είναι κορώνα και μισά θα είναι γράμματα

Ορισμός Γεγονός (Α) είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου (Δ) ενός πειράματος

Γεγονός Λέμε ότι ένα γεγονός συμβαίνει, κάθε φορά που εμφανίζεται κάποιο από τα δείγματα που περιλαμβάνονται σε αυτό το γεγονός Ένα γεγονός που περιέχει ένα δείγμα αναφέρεται ως απλό γεγονός Ένα γεγονός που περιέχει περισσότερα από ένα δείγματα αναφέρεται ως σύνθετο γεγονός

Πιθανότητα γεγονότος Η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος Α ορίζεται ως το άθροισμα των πιθανοτήτων των δειγμάτων που περιλαμβάνονται στο γεγονός αυτό Αφού τα δείγματα είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα αποτελέσματα, η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ένα μέτρο της συχνότητας εμφάνισης του γεγονότος Σ xi A p(xi)

Παράδειγμα Στο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού, ο δειγματικός χώρος αποτελείται από έξι δείγματα. Αν υποθέσουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης καθενός από τα δείγματα αυτά είναι 1/6, Þ η πιθανότητα να πάρουμε έναν περιττό αριθμό ισούται με 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

Παράδειγμα (συνέχεια) Υποθέστε ότι έχουμε ένα «κάλπικο» ζάρι, τέτοιο ώστε η πιθανότητα να πάρουμε 1 είναι 1/3 και η πιθανότητα να πάρουμε οποιονδήποτε από τους υπόλοιπους αριθμούς είναι 2/15. Þ η πιθανότητα να πάρουμε έναν περιττό αριθμό είναι 1/3 + 2/15 + 2/15 = 3/5 Þ η πιθανότητα να πάρουμε έναν άρτιο είναι 2/15 + 2/15 + 2/15 = 2/5

Παράδειγμα Θεωρήστε το πρόβλημα του μοιράσματος «φύλλων» για ένα παιχνίδι πόκερ από μία τράπουλα με 52 χαρτιά. Επισημαίνεται ότι σε ένα παιχνίδι πόκερ μοιράζονται 5 «φύλλα» σε κάθε παίκτη. Έστω ότι στο παιχνίδι μας έχουμε μόνο έναν παίκτη. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε τέσσερις άσσους σε ένα μοίρασμα;

Παράδειγμα (συνέχεια) Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 52!/(5!47!) δειγματικά σημεία, που αντιστοιχούν στις 52!/(5!47!) διαφορετικές πεντάδες «φύλλων» που μπορούν να μοιραστούν Υποθέτουμε ότι τα αποτελέσματα αυτά έχουν ίσες πιθανότητες, δηλαδή, η πιθανότητα να πάρουμε μία συγκεκριμένη πεντάδα χαρτιών είναι ίση με 1/ 52!/(5!47!)

Παράδειγμα (συνέχεια) Για να καθορίσουμε την πιθανότητα να πάρουμε τέσσερις άσσους, παρατηρούμε ότι 48 από τα 52!/(5!47!) δυνατά αποτελέσματα περιέχουν τέσσερις άσσους (4 από τα 5 «φύλλα» είναι άσσοι και το πέμπτο είναι ένα εκ των 48 υπολειπόμενων «φύλλων» ) Επομένως η πιθανότητα είναι 48/ (52!/(5!47!)) = 0,0000185

Παράδειγμα Θα επιβεβαιώσουμε την παρατήρηση ότι ανάμεσα σε 23 άτομα η πιθανότητα να μην υπάρχουν δυο που να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα είναι μικρότερη από 50–50 Θεωρήστε τον δειγματικό χώρο που αποτελείται από 36623 δείγματα που αντιστοιχούν σε όλες τις δυνατές κατανομές γενεθλίων των 23 ατόμων Ας υποθέσουμε ότι αυτές οι κατανομές είναι ισοπίθανες

Παράδειγμα (συνέχεια) Προφανώς από 36623 δείγματα υπάρχουν 366!/(366-23)! κατανομές γενεθλίων στις οποίες και τα 23 άτομα έχουν διαφορετικές ημερομηνίες γεννήσεως. Έτσι η πιθανότητα να μην υπάρχουν δύο άτομα που να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα είναι (366!/(366-23)!) / 36623 = 0,494

Παράδειγμα Οκτώ φοιτητές περιμένουν στη γραμμή για μια συνέντευξη. Υποθέστε ότι δεν υπάρχει περιορισμός ως προς το πλήθος των φοιτητών σε κάθε έτος. Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς δύο πρωτοετείς, δύο δευτεροετείς, δύο τριτοετείς και δύο τεταρτοετείς στη γραμμή.

Παράδειγμα (συνέχεια) Ο 1ος φοιτητής μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα 4 έτη, ομοίως ο 2ος , ο 3ος κ.ο.κ. Ο δειγματικός χώρος αποτελείται λοιπόν από 48 δείγματα τα οποία αντιστοιχούν σε όλους τους συνδυασμούς από έτη στα οποία μπορεί να βρίσκονται οι φοιτητές Ας υποθέσουμε ότι αυτά είναι ισοπίθανα δείγματα

Παράδειγμα (συνέχεια) Υπάρχουν 8!/2!2!2!2! δείγματα που αντιστοιχούν στην περίπτωση στην οποία υπάρχουν δύο φοιτητές από κάθε έτος Επομένως η πιθανότητα είναι 8!/ (2!2!2!2!48) = 0,0385

Παράδειγμα Για το πείραμα στο οποίο πυροβολούμε εναντίον ενός στόχου μέχρι να υπάρξει μία εύστοχη βολή, υποθέτουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης του δείγματος που έχει k άστοχες βολές πριν από μια εύστοχη είναι 2-(k+1). Ποια είναι η πιθανότητα εμφάνισης των παρακάτω γεγονότων;

Παράδειγμα (συνέχεια) Έστω Α το γεγονός κατά το οποίο υπάρχει μια εύστοχη βολή αφού προηγήθηκαν όχι περισσότερες από 5 άστοχες. Τότε Α={ε, αε, ααε, αααε, ααααε, αααααε} Þ p(Α) = 2 –(k+1) = 0,984 Έστω Β το γεγονός κατά το οποίο υπάρχει μία εύστοχη βολή μετά από έναν περιττό αριθμό από άστοχες βολές Þ p(Β) = 2 -2i = 1/3

Παράδειγμα (συνέχεια) Ακόμη έστω C το γεγονός ότι υπάρχει μια εύστοχη βολή μετά από έναν άρτιο αριθμό από άστοχες βολές (συμπεριλαμβανομένης της εκδοχής καμίας αστοχίας). Þ p(C) = 2 -2i +1 = 2/3

Ορισμός Δεδομένων δύο γεγονότων Α και Β, το γεγονός ότι και τα δύο συμβαίνουν αντιστοιχεί στο σύνολο των δειγμάτων Α Β Η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος συμβολίζεται p(Α Β) και είναι ίση με Σ xi Α Β p(xi)

Ορισμός Δεδομένων δύο γεγονότων Α και Β, το γεγονός ότι είτε το Α είτε το Β είτε και τα δύο συμβαίνουν, αντιστοιχεί στο σύνολο των δειγμάτων Α Β Η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος συμβολίζεται p(Α Β) και είναι ίση με Σ xi Α Β p(xi)

Ορισμός Ομοίως, το γεγονός ότι συμβαίνει το Α αλλά όχι το Β, αντιστοιχεί στο Α-Β Η αντίστοιχη πιθανότητα είναι Σ xi Α - Β p(xi) Ομοίως, το γεγονός ότι συμβαίνει ένα από τα δύο αλλά όχι και τα δύο, αντιστοιχεί στο Α Β Σ xi Α Β p(xi)

Παράδειγμα Ψηφιακά δεδομένα τα οποία λαμβάνονται από έναν απομακρυσμένο σταθμό, μπορούν να γεμίσουν από 0 έως 32 πίνακες προσωρινής αποθήκευσης. Έστω ότι ο δειγματικός χώρος είναι Δ={0,1,2,…,32} όπου το δείγμα i συμβολίζει ότι i πίνακες είναι γεμάτοι Δίδεται ότι p(i) = (1/561) * (33 – i )

Παράδειγμα (συνέχεια) Ζητείται η πιθανότητα ο αριθμός των γεμάτων πινάκων να είναι περιττός και όχι μεγαλύτερος του 16. Έστω Α το γεγονός κατά το οποίο το πολύ 16 πίνακες είναι γεμάτοι και έστω Β το γεγονός κατά το οποίο ένας περιττός αριθμός πινάκων είναι γεμάτοι Þ Α={0,1,2,…16} Β={1,3,5,…31} ΑÇΒ={1,3,5,…15}

Παράδειγμα (συνέχεια) Επίσης p(A)=1/561 * (33-i) = 425/561 = 0,758 p(B)=1/561 * (33-i) = 272/561 = 0,485 p(ΑÇΒ)=1/561 * (33-i) = 200/561 = 0,357

Παράδειγμα Από 100.000 ανθρώπους, οι 51.500 είναι γυναίκες και οι 48.500 είναι άνδρες Από τις γυναίκες 9.000 είναι φαλακρές και Από τους άνδρες 30.200 είναι φαλακροί Υποθέστε ότι θα επιλέξουμε ένα άτομο τυχαία

Παράδειγμα (συνέχεια) Θα έχουμε Δ={γφ, γμ, αφ, αμ} ως δειγματικό χώρο με το γφ να σημαίνει γυναίκα φαλακρή, το γμ γυναίκα με μαλλιά, το αφ άνδρας φαλακρός και το αμ άνδρας με μαλλιά Þ p(γφ) = 0,090 p(γμ) = 0,425 p(αφ) = 0,302 p(αμ) = 0,183

Παράδειγμα (συνέχεια) Έστω Α το γεγονός της επιλογής ενός φαλακρού ανθρώπου και έστω Β το γεγονός της επιλογής γυναίκας. Þ το Α Β είναι το γεγονός της επιλογής μιας φαλακρής γυναίκας, το Α Β είναι το γεγονός της επιλογής ενός φαλακρού ανθρώπου ή γυναίκας , το Α Β είναι το γεγονός της επιλογής μιας γυναίκας με μαλλιά ή ενός φαλακρού άνδρα και το Β-Α είναι αυτό της επιλογής μια γυναίκας με μαλλιά

Παράδειγμα (συνέχεια) Þ p(A) = 0,090 + 0,302 = 0,392 p(B) = 0,090 + 0,425 = 0,515

Παράδειγμα (συνέχεια) Þ p(Α Β) = 0,090 p(Α Β) = 0,090 + 0,425 + 0,302 = 0,817 p(Α Β) = 0,425 + 0,302 = 0,727 p(B-A) = 0,425

Παράδειγμα Δέκα άνδρες πήγαν σε ένα πάρτυ και όταν έφθασαν άφησαν τα καπέλα τους. Όταν έφυγαν τα καπέλα τους επιστράφηκαν τυχαία. Θέλουμε να μάθουμε την πιθανότητα να μην πάρει κανένας άνδρας το δικό του καπέλο Στο πείραμα της επιστροφής των καπέλων στους άνδρες, ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 10! δείγματα, τα οποία αντιστοιχούν στις 10! δυνατές μεταθέσεις των καπέλων

Παράδειγμα (συνέχεια) Ας υποθέσουμε ότι όλες οι μεταθέσεις έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης, δηλαδή 1/10! Συνεπώς η πιθανότητα να μην πάρει κανένας άνδρας το δικό του καπέλο είναι ίση με 1/10! επί τον αριθμό των μεταθέσεων στις οποίες κανένας άνδρας δεν παίρνει το δικό του καπέλο Έστω Ai το σύνολο των δειγμάτων στα οποία ο i-οστός άνδρας παίρνει το δικό του καπέλο

Παράδειγμα (συνέχεια) |Α1 È Α2 È ... È Α10| = Συνεπώς, η πιθανότητα να μην πάρει κανένας άνδρας το δικό του καπέλο είναι: 1/10! [10! - ] =1 – 1/1! + 2/2! – 3/3!+…-9/9! + 10/10! = 0,36788