Θεματική ενότητα Συνδυαστική & Πιθανότητες (Ασκήσεις)

Ερώτηση 1 Πόσα ονόματα μεταβλητών υπάρχουν που αποτελούνται είτε από ένα γράμμα είτε από ένα γράμμα ακολουθούμενο από ένα δεκαδικό ψηφίο;

Απάντηση 1 Υποθέτουμε ότι χρησιμοποιούμε το αγγλικό αλφάβητο που έχει 26 γράμματα. Όταν έχει μόνο ένα γράμμα υπάρχουν 26 επιλογές. Όταν έχει ένα γράμμα και ψηφίο, υπάρχουν 26 επιλογές για το γράμμα και 10 επιλογές για το ψηφίο, 260 επιλογές συνολικά. Άρα υπάρχουν 26+260 = 286 δυνατά ονόματα μεταβλητών

Ερώτηση 2 Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να μετατεθούν τα γράμματα ‘a’, ’a’, ‘a’, ’a’, ’a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’ έτσι ώστε να μην υπάρχουν γειτονικά ‘a’;

Απάντηση 2 Ο μόνος τρόπος είναι να έχουμε a _ a _ a _ a _ a Οπότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με τις διατάξεις των τεσσάρων γραμμάτων ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’. Υπάρχουν P(4,4) = 4! = 24 διατάξεις

Ερώτηση 3 Σ’ ένα διαγώνισμα υπάρχουν 15 ερωτήσεις που επιδέχονται απαντήσεις του τύπου ‘αληθής’ ή ‘ψευδής’. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να απαντήσει το διαγώνισμα ένας φοιτητής, εάν έχει την δυνατότητα να επιλέξει να μην απαντήσει σε κάποιες από τις ερωτήσεις;

Απάντηση 3 Υπάρχουν τρεις επιλογές για κάθε ερώτηση Επομένως υπάρχουν 315 τρόποι

Ερώτηση 4 Με πόσους τρόπους 10 άνθρωποι μπορούν να καθίσουν σε ένα καναπέ, εάν υπάρχουν μόνο 4 καθίσματα διαθέσιμα;

Απάντηση 4 Το πρώτο κάθισμα μπορεί να ‘διατεθεί’ με ένα από 10 διαφορετικούς τρόπους, και όταν αυτό γίνει θα υπάρχουν 9 διαφορετικοί τρόποι να ‘διατεθεί’ το δεύτερο κάθισμα. Ακολούθως θα υπάρχουν 8 διαφορετικοί τρόποι για το τρίτο κάθισμα και 7 διαφορετικοί τρόποι για το τέταρτο κάθισμα.

Απάντηση 4 (συνέχεια) Επομένως Ο συνολικός αριθμός διαφορετικών επιλογών διάθεσης όλων των 4 καθισμάτων στους 10 ανθρώπους είναι: 10 * 9 * 8 * 7 = 5040

Γενικότερα Ο συνολικός αριθμός διάταξης r αντικειμένων από μία συλλογή με n συνολικά αντικείμενα είναι: n * (n-1) * …*(n-r+1) = P(n,r) = Pn,r

Ερώτηση 5 Θα πρέπει να ‘καθίσουμε’ 5 άνδρες και 4 γυναίκες σε μία σειρά με τέτοιο τρόπο ώστε οι γυναίκες να καθίσουν σε καθίσματα στη σειρά με ζυγό αριθμό. Υπάρχουν 9 συνολικά καθίσματα, το καθένα με ένα αριθμό αρχίζοντας από 1, 2, …, 9.

Απάντηση 5 Οι άνδρες μπορούν να καθίσουν με P(5,5) διαφορετικούς τρόπους και οι γυναίκες με P(4,4) διαφορετικούς τρόπους. Η κάθε διάταξη των ανδρών μπορεί να ‘συνδεθεί’ (να αντιστοιχηθεί) με μία διάταξη των γυναικών, και να αποτελέσει αυτή η νέα διάταξη γυναικών και ανδρών μία πιθανή επιλογή. Υπάρχουν συνολικά:

Απάντηση 5 (συνέχεια) Άρα υπάρχουν συνολικά: P(5,5) * P(4,4) δυνατές επιλογές-διατάξεις ή 5! * 4! = 120 * 24 = 2880

Παρατήρηση Εάν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί με ένα από n1 διαφορετικούς τρόπους, και όταν αυτό συμβεί, ένα άλλο μπορεί να συμβεί με ένα από n2 διαφορετικούς τρόπους τότε ο συνολικός αριθμός των τρόπων που και τα δύο γεγονότα μπορούν να συμβούν με αυτή τη σειρά είναι n1 * n2

Ερώτηση 6 Έστω 4 διαφορετικά βιβλία μαθηματικών, 6 βιβλία (διαφορετικά) φυσικής, 2 διαφορετικά βιβλία χημείας. Πρέπει να τακτοποιηθούν το ένα δίπλα στο άλλο σε ένα ράφι. Πόσοι τρόποι διάταξης υπάρχουν, εάν (α) όλα τα βιβλία κάθε διαφορετικής περιοχής πρέπει να είναι το ένα δίπλα στο άλλο; (β) μόνο τα βιβλία μαθηματικών πρέπει να είναι το ένα δίπλα στο άλλο;

Απάντηση 6 (α) Τα βιβλία των μαθηματικών μπορούν να διαταχθούν μεταξύ τους με 4! διαφορετικούς τρόπους. Τα βιβλία της φυσικής με 6! Διαφορετικούς τρόπους. Τα βιβλία χημείας με 2! διαφορετικούς τρόπους. Επίσης, οι τρεις διαφορετικές κατηγορίες βιβλίων μπορούν να διαταχθούν με 3! διαφορετικούς τρόπους.

Απάντηση 6 (συνέχεια) (*) Επομένως, ο συνολικός αριθμός διαφορετικών διατάξεων είναι: 4! * 6! * 2! * 3! (*) Προσέξετε ότι και ο τρεις ομάδες βιβλίων μπορούν να διαταχθούν με 3! διαφορετικούς τρόπους (π.χ. πρώτα τα βιβλία της φυσικής, μετά της χημείας και μετά των μαθηματικών ή πρώτα των μαθηματικών, έπειτα της χημείας και μετά της φυσικής κτλ.).

Απάντηση 6 (συνέχεια) (β) Θεωρείστε τα 4 βιβλία των μαθηματικών σαν ένα ‘μεγάλο’ βιβλίο. Τότε έχουμε 9 βιβλία που μπορούμε να τα διατάξουμε με 9! διαφορετικούς τρόπους. Σε όλες αυτές τις διατάξεις τα βιβλία των μαθηματικών είναι μαζί (το ένα δίπλα στο άλλο). Όλα τα βιβλία των μαθηματικών μπορούν να διαταχθούν μεταξύ τους με 4! διαφορετικούς τρόπους.

Απάντηση 6 (συνέχεια) Επομένως υπάρχουν συνολικά 9! * 4! διαφορετικοί τρόποι διάταξης των βιβλίων, έτσι ώστε τα βιβλία των μαθηματικών να είναι το ένα δίπλα στο άλλο.

Ερώτηση 7 Σε ένα πανεπιστήμιο υπάρχουν 5 καθηγητές μαθηματικών και 7 φυσικοί. Θέλουμε να σχηματίσουμε μια επιτροπή με 2 μαθηματικούς και 3 φυσικούς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τη σχηματίσουμε εάν: (α) ο οποιοσδήποτε μαθηματικός και ο οποιοσδήποτε φυσικός μπορεί να συμπεριληφθεί (β) ένας συγκεκριμένος φυσικός πρέπει να είναι μέλος της και (γ) δύο συγκεκριμένοι μαθηματικοί δεν μπορούν να είναι μέλη της.

Απάντηση 7 (α) Δύο μαθηματικοί από τους 5 μπορούν να επιλεχθούν με C(5,2) τρόπους, τρεις φυσικοί από τους 7, μπορούν να επιλεχθούν με C(7,3) τρόπους. Ο συνολικός αριθμός δυνατών συνδυασμών μελών της επιτροπής είναι: C(5,2) * C(7,3)

Απάντηση 7 (συνέχεια) (β) Δύο μαθηματικοί από τους 5 μπορούν να επιλεχθούν με C(5,2) τρόπους και οι δύο επιπρόσθετοι φυσικοί μπορούν να επιλεχθούν από τους εναπομείναντες 6 φυσικούς με C(6,2) τρόπους. Επομένως ο συνολικός αριθμός συνδυασμών μελών για την επιτροπή είναι: C(5,2) * C(6,2)

Απάντηση 7 (συνέχεια) (γ) Οι δύο μαθηματικοί από τους τρεις μπορούν να επιλεχθούν με C(3,2) τρόπους. Οπότε οι συνολικοί δυνατοί συνδυασμοί για τα μέλη της επιτροπής είναι : C(3,2) * C(7,3)

Ερώτηση 8 Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν με τα 10 ψηφία 0,1,2,…,9 εάν (α) οι επαναλήψεις επιτρέπονται (β) οι επαναλήψεις ΔΕΝ επιτρέπονται (γ) το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι το 0 και επαναλήψεις ΔΕΝ επιτρέπονται

Απάντηση 8 (α) Το πρώτο ψηφίο μπορεί να είναι ένα από τα 9 ψηφία: 1,2,..,9 (το 0 δεν επιτρέπεται) Το δεύτερο, τρίτο και τέταρτο ψηφίο μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία. Επομένως υπάρχουν συνολικά 9 * 10 * 10 * 10 = 9000 τετραψήφιοι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν.

Απάντηση 8 (συνέχεια) (β) Το πρώτο ψηφίο έχει 9 επιλογές (το 0 δεν επιτρέπεται). Το δεύτερο ψηφίο έχει 9 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός αυτού που θα χρησιμοποιηθεί για το πρώτο ψηφίο). Το τρίτο ψηφίο έχει 8 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός των δύο ψηφίων που θα χρησιμοποιηθούν για τα πρώτα δύο ψηφία).

Απάντηση 8 (συνέχεια) Το τέταρτο ψηφίο έχει 7 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός των τριών που χρησιμοποιήθηκαν για τα πρώτα τρία ψηφία) Επομένως, οι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν συνολικά είναι: 9 * 9 * 8 * 7 = 4536

Απάντηση 8 (συνέχεια) (γ) Το πρώτο ψηφίο μπορεί να επιλεγεί με 9 διαφορετικούς τρόπους, το δεύτερο με 8 διαφορετικούς τρόπους, το τρίτο με 7 διαφορετικούς τρόπους. Επομένως οι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν είναι: 9 * 8 * 7 = 504

Ερώτηση 9 Από 7 σύμφωνα και 5 φωνήεντα πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να σχηματιστούν που να αποτελούνται από 4 διαφορετικά σύμφωνα και 3 διαφορετικά φωνήεντα; Οι λέξεις δεν είναι ανάγκη να έχουν νόημα/ να είναι υπαρκτές.

Απάντηση 9 Τα 4 διαφορετικά σύμφωνα μπορούμε να τα επιλέξουμε με C(7,4) τρόπους. Τα 3 διαφορετικά φωνήεντα μπορούμε να τα επιλέξουμε με C(5,3) τρόπους. Δεδομένου ότι οι διαφορετικές λέξεις που μπορούν να σχηματιστούν με 7 διαφορετικά γράμματα (4 σύμφωνα και 3 φωνήεντα) είναι 7!, οι συνολικές λέξεις που μπορούμε να συνθέσουμε είναι: C(7,4) * C(5,3) * 7!

Ερώτηση 10 Ένα κουτί περιέχει 8 κόκκινες, 3 άσπρες και 9 μπλε μπάλες. Εάν 3 μπάλες επιλεχθούν με τυχαίο τρόπο, ποια είναι η πιθανότητα (α) όλες οι 3 μπάλες να είναι κόκκινες; (β) όλες οι 3 μπάλες να είναι άσπρες; (γ) οι 2 να είναι κόκκινες και 1 άσπρη; 

Ερώτηση 10 (συνέχεια) (δ) τουλάχιστον 1 να είναι άσπρη; (ε) να επιλεχθεί μια μπάλα από κάθε χρώμα; (στ) οι μπάλες να επιλεχθούν με την εξής σειρά: κόκκινη, άσπρη, μπλε

Απάντηση 10 (α) Ας συμβολίσουμε ως Ri το γεγονός «κόκκινη μπάλα επιλέγεται στην i-th επιλογή». (έχουμε το R1, R2, R3) Τότε το R1 * R2 * R3 συμβολίζει το γεγονός ότι και οι τρεις μπάλες είναι κόκκινες. Η πιθανότητα θα είναι: Pr{R1, R2, R3} = Pr{R1 and R2 and R3} = Pr {R1} * Pr {R2 | R1} * Pr{R3 | R1R2} = (8/20) * (7/19) * (6/18) = 14/285

Απάντηση 10 (συνέχεια) [ Το ερώτημα αυτό μπορεί να λυθεί και με ένα άλλο τρόπο (2η μέθοδος) = C(8,3) / C(20,3) = 14 / 285 ] (β) Ακολουθώντας τη δεύτερη μέθοδο του προηγούμενου ερωτήματος θα έχουμε: Pr {όλες οι 3 μπάλες είναι άσπρες} = = C(3,3) / C(20,3)

Απάντηση 10 (συνέχεια) (γ) Pr {δύο κόκκινες μπάλες και μία άσπρη} = = C(8,2) * C(3,1) / C(20,3) (δ) Pr {καμία δεν είναι άσπρη} = C(17,3) / C(20,3) = 34/57 Επομένως: Pr{τουλάχιστον μία είναι άσπρη} = 1 – 34/57 

Απάντηση 10 (συνέχεια) ] (ε) Pr{μία από κάθε χρώμα επιλέγεται}= C(8,1) * C(3,1) * C(9,1) / C(20,3)= = 18/95 (στ) Θα χρησιμοποιήσουμε την απάντηση του προηγούμενου ερωτήματος. Έχουμε: Pr{οι μπάλες επιλέγονται με την εξής σειρά: κόκκινη, άσπρη, μπλε}= = 1/3! * Pr{μία από κάθε χρώμα επιλέγεται}= = 1/6 * 18/95 [Εναλλακτική μέθοδος: Pr{R1 W2 B3} = Pr{R1} * Pr{W2 | R1} * Pr{B3 | R1W2} = = (8/20) * (3/19) * (1/18) = 3/95 ]

Ερώτηση 11 Ρίχνουμε το ζάρι 5 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε τρεις εξάρες;

Απάντηση 11 Η κάθε ρίψη του ζαριού μπορεί να πάρει ένα εκ των αριθμών: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Όλες οι 5 ρίψεις αντιπροσωπεύονται από μία σειρά _ _ _ _ _ , όπου το κάθε στοιχείο της μπορεί να είναι έξι ή μη έξι. Η πιθανότητα να έχουμε το γεγονός: 6 6 x 6 x (όπου x ένας φυσικός αριθμός στο διάστημα [1,5]), δηλ. η πρώτη, η δεύτερη και η τέταρτη ρίψη να είναι εξάρες και οι υπόλοιπες μη εξάρες, είναι ίση με: (1/6)3 * (5/6)2

Απάντηση 11 (συνέχεια) Παρόμοια Pr{6 x 6 x 6} = (1/6)3 * (5/6)2 αυτή είναι η πιθανότητα για όλα τα γεγονότα στα οποία υπάρχουν τρεις εξάρες και δύο μη-εξάρες. Παρατηρήστε ότι υπάρχουν C(5,3) = 10 τέτοια γεγονότα και όλα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

Απάντηση 11 (συνέχεια) Επομένως, η πιθανότητα κάποιο από αυτά να συμβεί είναι: C(5,3) * (1/6)3 * (5/6)2 = 125/3888

Γενικότερα Εάν p = Pr{E} και q = Pr{-E}, εφαρμόζοντας την παραπάνω λογική, η πιθανότητα να έχουμε ακριβώς X Ε’s σε N «πειράματα» (δοκιμασίες/ trials) είναι C(N,X) * pX * qN-X

Ερώτηση 12 Ένα εργοστάσιο βρίσκει ότι κατά μέσο όρο 20% των προϊόντων που κατασκευάζει μία μηχανή θα είναι ελαττωματικά. Εάν 10 προϊόντα διαλέγονται τυχαία από αυτά που κατασκευάστηκαν μία ημέρα από αυτήν την μηχανή, ποια είναι η πιθανότητα (α) ακριβώς δύο από αυτά να είναι ελαττωματικά; (β) δύο ή περισσότερα να είναι ελαττωματικά; (γ) περισσότερα από 5 να είναι ελαττωματικά;

Απάντηση 12 Χρησιμοποιώντας την συλλογιστική του προηγούμενου προβλήματος έχουμε: (α) Pr{2 ελαττωματικά προϊόντα} = C(10,2) * 0.22 * 0.88 (β) Pr{2 ή περισσότερα ελαττωματικά προϊόντα} = = 1 - Pr{0 ελαττωματικά προϊόντα} - Pr{1 ελαττωματικό προϊόν} = 1 – C(10,0) * 0.20 * 0.810 – C(10,1) * 0.21 * 0.89

Απάντηση 12 (συνέχεια) (γ) Pr{περισσότερα από 5 να είναι ελαττωματικά}= = Pr{6 ελαττωματικά προϊόντα} + Pr{7 ελαττωματικά προϊόντα} + Pr{8 ελαττωματικά προϊόντα} + Pr{9 ελαττωματικά προϊόντα} + Pr{10 ελαττωματικά προϊόντα} = = C(10,6) * 0.26 * 0.84 + C(10,7) * 0.27 * 0.83 + C(10,8) * 0.28 * 0.82 + C(10,9) * 0.29 * 0.81 + C(10,10) * 0.210

Γενικότερα Το πρόβλημα των αριθμών επιλογών r αντικειμένων από μία συλλογή με n αντικείμενα ονομάζεται ο αριθμός των συνδυασμών n αντικειμένων από τα οποία παίρνουμε r αντικείμενα τη φορά και συμβολίζεται με ή C(n,r) και δίνεται από τον τύπο = n! / (r!*(n-r)!) = n*(n-1)*…*1 / (r!*(n-r)!)= = n*(n-1)…(n-r+1)*(n-r)*…*1/ (r!*(n-r)!) = = n*(n-1)…(n-r+1) / r!

Ερώτηση 13 Υποθέστε ότι μία φοιτήτρια θέλει να φτιάξει ένα πρόγραμμα για μία επταήμερη περίοδο κατά την οποία θα μελετά ένα μάθημα κάθε μέρα. Π Παρακολουθεί τέσσερα μαθήματα: μαθηματικά, φυσική, χημεία και οικονομικά Προφανώς υπάρχουν 47 διαφορετικά προγράμματα.

Ερώτηση 13 (συνέχεια) Θέλουμε να γνωρίζουμε τον αριθμό των προγραμμάτων τα οποία αφιερώνουν τουλάχιστον μία μέρα σε κάθε μάθημα3. 3 Ζητάμε από τον αναγνώστη να πεισθεί ότι P(7,4) * 43 δεν είναι η σωστή απάντηση. Υπάρχει ένα λάθος στο επιχείρημα ότι υπάρχουν P(7,4) διαφορετικοί τρόποι για να προγραμματιστούν 4 μαθήματα για τέσσερις από τις επτά μέρες και 43 τρόποι για να προγραμματιστούν τρία μαθήματα για τις υπόλοιπες μέρες

Απάντηση 13 Έστω Α1 το σύνολο των προγραμμάτων στα ποία δεν συμπεριλαμβάνονται ποτέ τα μαθηματικά Έστω Α2 το σύνολο των προγραμμάτων στα ποία δεν συμπεριλαμβάνεται ποτέ η φυσική Έστω Α3 το σύνολο των προγραμμάτων στα ποία δεν συμπεριλαμβάνεται ποτέ η χημεία Έστω Α4 το σύνολο των προγραμμάτων στα ποία δεν συμπεριλαμβάνονται ποτέ τα οικονομικά

Απάντηση 13 (συνέχεια) Τότε το Α1 È Α2 È Α3 È Α4 είναι το σύνολο των προγραμμάτων στα οποία ένα ή περισσότερα από τα μαθήματα δεν συμπεριλαμβάνεται Αφού |Α1| = |Α2| = |Α3| = |Α4| = 37 |Α1 Ç Α2| = |Α1 Ç Α3| = |Α1 Ç Α4| = |Α2 Ç Α3| = = |Α2 Ç Α4| = |Α3 Ç Α4| = 27

Απάντηση 13 (συνέχεια) |Α1 Ç Α2 Ç Α3| = |Α1 Ç Α2 Ç Α4| = = |Α1 Ç Α3 Ç Α4| = |Α2 Ç Α3 Ç Α4| = 17 |Α1 Ç Α2 Ç Α3 Ç Α4| = 0 Έχουμε ότι |Α1 È Α2 È Α3 È Α4| = 4(37) – 6(27) +4 Συνεπώς ο αριθμός των προγραμμάτων στα οποία συμπεριλαμβάνονται όλα τα μαθήματα είναι 47 – 4(37) + 6(27) – 4 = 8400

Απάντηση 13 (συνέχεια) Η λύση που προτείνεται στην υποσημείωση είναι λάθος καθώς δεν περιλαμβάνει τις περιπτώσεις που κάποιο/α μάθημα/τα ΔΕΝ διδάσκεται/ σκονται

Πιθανότητες Ασκήσεις

Terminology P [ X ] = probability the event X takes place ~X = negation of X AND, OR: binary operations for “and”, “or”

P[ ~X | Y] = 1 – P [ X | Y ] Χ, Υ : διακριτές μεταβλητές, παίρνουν τιμές στο {0,1} Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας έχουμε P [ ~X | Y ] = P [ ~X and Y] / P [ Y ] (1) Παρατηρούμε ότι P [ ~X and Y ] = 1-P [ ~ ( ~ Χ and Y ) ] = 1 – P [ X or ~Y ] = 1 – P [ X ] – P [ ~ Y] + P [ X and ~Y] = - P[ X ] + P[ Y ] + P[ X ] – P [ X and Y ] = P [ Y ] - P [ X and Y] Αντικαθιστούμε στην (1) P[ ~X | Y ] = 1 – P[ X and Y ] / P[ Y ] = 1 - P [ X | Y ]

P [ A ] = P [ A and B ] + P [ A and (~B )] Α, Β: διακριτές μεταβλητές, παίρνουν τιμές στο {0,1} Από τον Βayes’ rule: P [ A ] = P [A | B ] * P [ B ] + P [A | ~B ] * P [ ~B ] = (από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας εχομε) = ( P [ A and B ] / P [ B ] ) * P [ B ] + ( P [ A and (~B) ] / P [ ~B ] ) * P [ ~B ] = P [ A and B ] + P [ A and (~B) ]

Εάν P [ C | R ] = 1 → P [ C and G | R ] = P [ G | R ]  C,R διακριτές μεταβλητές, παίρνουν τιμές στο {0,1} Από την σχέση που δείξαμε νωρίτερα, έχουμε P [ ~C | R] = 0, P [ ~C and R ] / P [R] =0 Οπότε P¨[ ~C and R ] = 0 (2) P [ ~C and R ] = P [ ~C and R | A ] * P [ A ] αφού Α, 0  P [ ~C and R | A ] και 0  P [ A ] Λόγω της (2), έχουμε ότι A, P [ ~C and R | A ] =0 και επομένως P [~ C and R and A] = 0 P [ C and G | R ] = P [ C and G and R ] / P [ R ] = = P [ G and R ] / P[ R ] – P[ ~C and G and R ] / P[ R ] = P[ G | R ]

Quiz 2 (θεμα 8ο) Σε ένα αεροπλάνο υπάρχει ένα ραντάρ, ένας υπολογιστής και ένα γυροσκόπιο. Η πιθανότητα να χαλάσει το ραντάρ είναι 0.2. Αν χαλάσει το ραντάρ, τότε οπωσδήποτε θα χαλάσει και το γυροσκόπιο και υπάρχει πιθανότητα ίση με 0.3 να χαλάσει και ο υπολογιστής. Αν το ραντάρ λειτουργεί σωστά, τότε θα λειτουργεί σωστά και ο υπολογιστής, ενώ υπάρχει πιθανότητα ίση με 0.2 να χαλάσει το γυροσκόπιο.

Quiz 2 – άσκηση 8η (συνέχεια) πρώτο ερώτημα Ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργεί σωστά ή ο υπολογιστής ή το γυροσκόπιο (δηλαδή το ένα να λειτουργεί σωστά και το άλλο να είναι χαλασμένο)?

Απάντηση r = event radar fails g = event gyro fails Ορίζουμε : r = event radar fails g = event gyro fails c = event computer fails Απο τα δεδομένα του προβλήματος, έχομε Η πιθανότητα να χαλάσει το ραντάρ είναι 0.2 : P [ r ] = 0.2 Αν χαλάσει το ραντάρ, τότε οπωσδήποτε θα χαλάσει και το γυροσκόπιο P [ g | r ] = 1 και υπάρχει πιθανότητα ίση με 0.3 να χαλάσει και ο υπολογιστής. P [ c | r ] = 0.3 Αν το ραντάρ λειτουργεί σωστά, τότε θα λειτουργεί σωστά και ο υπολογιστής : P [ ~c | ~r ] = 1 ενώ υπάρχει πιθανότητα ίση με 0.2 να χαλάσει το γυροσκόπιο: P [ g | ~r ] = 0.2

Quiz 2 – άσκηση 8η (πρώτο ερώτημα) Ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργεί σωστά ή ο υπολογιστής ή το γυροσκόπιο (δηλαδή το ένα να λειτουργεί σωστά και το άλλο να είναι χαλασμένο)? P [ ( ~c AND g ) OR (c AND ~g) ] = ?

P [ ( ~c AND g ) OR (c AND ~g) ] = P [ ~c AND g ] + P [ c AND ~ g ] - - P [ (~c AND g ) AND ( c AND ~g ) ] Προσέξτε οτι η τομή του (~c AND g ) με το (c AND ~g) ειναι το κενό, Οπότε P [ (~c AND g ) AND ( c AND ~g)] = 0 Μια και P [ E AND ~E] = 0,  E Οπότε : P [ ( ~c AND g ) OR ( c AND ~g ) ] = P [ ~c AND g ] + P [ c AND ~ g ] P [ ~c AND g ] = P [ ~c AND g | r ] * P [ r ] + P [ ~c AND g | ~r ] * P [~r ] (Eq. 4) P [~c AND g | r ] = P [ ~c | r ] = 0.7 (Εq. 4A) Παρόμοια : P [~c AND g | ~r ] = P [ g | ~r ] = 0.2 Γυρνώντας πισω στην (Eq. 4), έχομε : P [ ~c AND g ] = 0.7*0.2 + 0.2*0.8 = 0.2 * 1.5 = 0.3 P [ c AND ~g ] = P [ c AND ~g | r ] * P [ r ] + P [ c AND ~g | ~r ] * P [~r ] (Eq. 5)

Από τα δεδομένα έχουμε P [ g | r ] = 1 Επομένως και P [ c AND ~g | r ] = 0 αφού P [ c | ~r ] = 0 → P [ c AND ~g | ~r ] = 0 Αντικαθιστώντας τους ορους στην σχέση (Εq. 5) : P [ c AND ~g ] = P [ c AND ~g | r ] * P [ r ] + P [ c AND ~g | ~r ] * P [~r ] Προκύπτει ότι P [ c AND ~g ] = 0 (Eq. 6) Επιστρέφοντας στην αρχική σχέση (Eq. 4), έχομε : P [(~c AND g) OR (c AND ~g) ] = 0.3

Quiz 2 – άσκηση 8η (συνέχεια) δεύτερο ερώτημα Ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργεί σωστά το ραντάρ, αν ένα από τα δύο άλλα συστήματα έχει χαλάσει? P [ r | A ] = ? όπου Α = «ένα από τα δύο άλλα συστήματα έχει χαλάσει» P [ A ] βρέθηκε προηγουμένως

Παρατηρήστε P [ X | Y ] = P [ X AND Y ] / P [Y] = P [ X AND Y ] / P [ X ] * ( P [ X ] / P [ Y ] ) = P [ Y | X ] * ( P [ X ] / P [ Y ] )

P [ r | A ] = P [ Α | r ] * ( P [ r ] / P [ A ] ) = P [ A AND r ] / P [ A ] P [ A AND r ] = P [ ((~c AND g ) OR (c AND ~g) ) AND r ] = P [ (~c AND g AND r )) OR ((c AND ~g AND r)) ] = P [ ~c AND g AND r ] + P [ c AND ~ g AND r ] P [ ~c AND g AND r ] = P [ ~c AND g | r ] * P [ r ] Αλλά το P [ ~c AND g | r ] το είχαμε υπολογίσει (Εq. 4A) και το P [ r ] το έχομε από τα δεδομένα P [ c AND ~ g AND r ] = P [ c AND ~ g | r ] * P [ r ] = 0 (όπως έχουμε ήδη δείξει στην Εq. 6) Οπότε μπορούμε να υπολογίσομε το P [ A AND r ] και επομένως και το P [ r | A ]

Πρόβλημα Έστω ένα διαγώνισμα με ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών και ένα μαθητή που ή ξέρει την απάντηση σε ένα θέμα ή προσπαθεί να την μαντέψει. Έστω p η πιθανότητα ότι την ξέρει και 1-p ότι μαντεύει. Υπέθεσε ότι μαντεύει σωστά την απάντηση με πιθανότητα 1/m, όπου m ο αριθμός επιλογών σε μία ερώτηση. Ποια είναι η δεσμευμένη πιθανότητα ότι ο μαθητής ήξερε την απάντηση σε μία ερώτηση, δεδομένου ότι την απάντησε σωστά ?

Απάντηση C = γεγονός ότι ο φοιτητής απαντά την ερώτηση σωστά K= γεγονός ότι ο φοιτητής πραγματικά ξέρει την απάντηση P [ K ] = p P [ C | ~K ] = 1/m P [ C AND K ] = p

(συνέχεια) Ψάχνουμε το P [ K | C ] = P [ K AND C ] / P [ C ] = P [ C | K ] * P [ K ] / P [C ] P [ C ] = P [ C | K ] * P [ K ] + P [ C | ~K ] * P [ ~K ] Αντικαθιστώντας στην αρχική σχέση έχομε : P [ K | C ] = p / (p + (1/m)*(1-p))