18 Δεκέμβρη 2002

Εισαγωγή Μπορούμε να φιλτράρουμε μονοδιάστατα σήματα (πχ, ακουστικές εγγραφές) και δισδιάστατες εικόνες με πολλούς τρόπους. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε φίλτρα για να Εξαλείψουμε την ``στατικότητα'' σε ένα ραδιο-σήμα. Σβήσουμε τον ``βόμβο'' σε κάποια συχνότητα μίας εγγραφής ακουστικού περιεχομένου (audio recording). Αυξήσουμε ή να ελαττώσουμε τα ``μπάσα'' σε μια μουσική. Υπογραμμίσουμε το σύνορο μιας απεικόνισης. Εξουδετερώσουμε την επίδραση κηλιδώσεων ή άλλων κακοποιήσεων που έχουν συμβεί σε ένα σήμα ή μια εικόνα. Να χαρακτηρίσουμε τον τρόπο που μεταβλήθηκε ένα σήμα ως προς ένα φίλτρο.

Γραμμικά Φίλτρα Θα ασχοληθούμε μόνον με γραμμικά φίλτρα. Εάν X και Y είναι δυο σήματα ή εικόνες και εάν F είναι ένα γραμμικό φίλτρο, τότε F(X + Y ) = F(X) + F (Y ) F(cX) = cF(X) όπου c είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Με το όρο ``πρόσθεση'' σημάτων (ή εικόνων), εννοούμε ότι αθροίζουμε τις τιμές τους σε κάθε χρονική στιγμή (ή σε κάθε σημείο της εικόνας), με αποτέλεσμα να πάρουμε ένα καινούργιο σήμα (ή μια καινούργια εικόνα). Με το όρο ``πολλαπλασιασμός'' ενός σήματος (ή εικόνας) με μια σταθερά, εννοούμε ότι πολλαπλασιάζουμε την τιμή του (της) σε κάθε χρονική στιγμή (ή σε κάθε σημείο) με την σταθερά αυτή.

Μερικά Είδη Φίλτρων Ένας τρόπος για να χαρακτηρίσει κανείς γραμμικά φίλτρα είναι εξετάζοντας τι επιρροή έχουν αυτά στις ημιτονοειδείς συνιστώσες σε διάφορες συχνότητες των σημάτων --- οι οποίες αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τόνους κάποιου ηχητικού σήματος. Ένα φίλτρο χαμηλών-συχνοτήτων αφήνει να περάσουν οι συνιστώσες χαμηλής συχνότητας, αλλά απαλείφει ή ελαχιστοποιεί συνιστώσες με συχνότητες πάνω από κάποιο συγκεκριμένο όριο. Ένα φίλτρο υψηλών-συχνοτήτων αφήνει να περάσουν οι υψηλόσυχνες συνιστώσες, αλλά απαλείφει ή ελαχιστοποιεί τις χαμηλόσυχνες. Ένα φίλτρο «φάσματος» (band-pass) αφήνει να περάσουν οι συνιστώσες των οποίων οι συχνότητες ανήκουν σε μία συγκεκριμένη περιοχή του φάσματος.

Αναλογικά και Ψηφιακά Φίλτρα Τα διάφορα φίλτρα που αναφέραμε μπορούν να κατασκευαστούν με αναλογικά υλικά (πχ transistors). Με το παραδοσιακό αυτόν τρόπο κατασκευάζουμε ραδιόφωνα και στερεοφωνικά συστήματα αναπαραγωγής ήχου. Εάν μπορέσουμε να μετατρέψουμε ένα σήμα ή μία εικόνα σε αριθμούς σε έναν υπολογιστή (δηλ. Να το ψηφιοποιήσουμε), θα μπορούσα (και θα χρειαζόταν τελικά) να υλοποιήσουμε προγράμματα τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε για να φιλτράρουμε κάποιο σήμα. Ίσως μετά χρειασθεί να μετατρέψουμε το φιλτραρισμένο σήμα πίσω σε αναλογικό σήμα (πχ εάν θέλουμε να το ακούσουμε). Μετατροπές σαν τις παραπάνω πραγματοποιούνται με συσκευές που ονομάζονται analog­to­digital και digital­to­analog μετατροπείς.

Δειγματοληψία και Ποσοστικοποίηση Δειγματοληψία και Ποσοστικοποίηση Όταν ψηφιοποιούμε ένα συνεχές σήμα, είναι αναπόφευκτο να εισαγάγουμε ανακρίβειες και σφάλματα δύο τύπων. Πρώτον, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τιμές του σήματος μόνο σε διακριτές χρονικές στιγμές – διακριτοποίηση του συνεχούς χρόνου. Για παράδειγμα, ένας μετεωρολόγος, παρόλο που προφανώς η θερμοκρασία μεταβάλετε συνεχώς, έχει κάνει μετρήσεις θερμοκρασίες του αέρα μόνο κάθε ώρα. Δεύτερον, θα πρέπει να ποσοστικοποιήσουμε τις τιμές του σήματος. Για παράδειγμα, ο μετεωρολόγος, παρόλο που η πραγματική θερμοκρασία δεν είναι μια ποσοστικοποιημένη ποσότητα, έχει μετρήσει και καταχωρήσει την θερμοκρασία (σε βαθμούς Κελσίου) με ακρίβεια μόνον ενός δεκαδικού ψηφίου. Σε γενικές γραμμές μπορούμε να αγνοήσουμε την γεγονός της ποσοστικοποίησης, με την προϋπόθεση ότι οι μετρήσεις είναι ικανοποιητικά ακριβείς. Εάν αγνοήσουμε όμως την επίδραση της δειγματοληψίας τότε είναι πολύ εύκολο να καταλήξουμε σε καταστροφικά αποτελέσματα.

Το Πρόβλημα των Ψευδωνύμων Ορίστε τι συμβαίνει όταν δειγματίσουμε ένα σήμα το οποίο έχει μια ημιτονοειδή συνιστώσα η συχνότητα της οποίας είναι μεγαλύτερη από το μισό της συχνότητας της δειγματοληψίας: Το ορθό αναλογικό σήμα είναι ένα κύμα ημιτόνου με συχνότητα 1.1 κύκλους ανά χρονική περίοδο. Δειγματίζουμε μία μόνον φορά ανά χρονική περίοδο. Αυτό που τώρα βλέπουμε μοιάζει με ένα κύμα ημιτόνου με συχνότητα 0.1 κύκλους ανά χρονική περίοδο.

Το Θεώρημα της Δειγματοληψίας Υπάρχει ένα Θεώρημα σύμφωνα με το οποίο ένα σήμα μπορεί να ανακατασκευασθεί από την δειγματοληπτική του μορφή με την προϋπόθεση ότι όλες οι συνιστώσες του έχουν συχνότητες μικρότερες από το μισό της συχνότητας δειγματοληψίας. Εάν προσπαθήσουμε να ψηφιοποιήσουμε ένα σήμα με συχνότητα δειγματοληψίας μικρότερη από το διπλάσιο της μέγιστης υπάρχουσας συχνότητας, τότε ενδεχομένως να πάρουμε κάτι τελείως λάθος. Κάτι τέτοιο μπορούμε να το αποφύγουμε τοποθετώντας ένα αναλογικό φίλτρο πριν τον analog­to­digital μετατροπέα μας. Το ίδιο ισχύει και για την αντίστροφη πορεία: Εάν ανακατασκευάσουμε ένα αναλογικό σήμα από ένα δειγματοληπτικό σήμα, δεν μπορούμε να περιμένουμε ότι οι συχνότητες πάνω από μισό της συχνότητας δειγματοληψίας θα αναπαραχθούν σωστά.

Η Δομή ενός Ψηφιακού Συστήματος Φιλτραρίσματος Αναλογικό Φίλτρο Χαμηλών-Συχνοτήτων Μετατροπέας Analog­to­Digital Ψηφιακό Φίλτρο Αναλογικό Φίλτρο Χαμηλών-Συχνοτήτων Μετατροπέας Digital­to­Analog

Παλμική Ανταπόκριση ενός Γραμμικού Φίλτρου Μπορούμε να περιγράψουμε ένα γραμμικό φίλτρο η συμπεριφορά του οποίου δεν μεταβάλλεται στον χρόνο από την παλμική του ανταπόκριση (impulse response)--- ποιο είναι το output σήμα όταν το σήμα input είναι όλα 0 εκτός από ένα και μηδενικό 1. Ορίστε ένα παράδειγμα μιας παλμικής ανταπόκρισης: Input: ... 0, 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ... Output: ... 0, 0.7, 1.3, ­0.7, ­0.1, 0 ... Λόγω της γραμμικότητας, μπορούμε να συμπεράνουμε από το output του φίλτρου αυτού για οποιοδήποτε input. Για παράδειγμα: Input: ... 0, 1 , 2 , 0 , 0 , 0 ... Output: ... 0, 0.7, 1.3, ­0.7, ­0.1, 0 ... + ... 0, 0 , 1.4, 2.6, ­1.4, ­0.2 ... = ... 0, 0.7, 2.7, 1.9, ­1.5, ­0.2 ...

Το Φιλτράρισμα σαν Συνέλιξη Μπορούμε να περιγράψουμε την δράση ενός γραμμικού φίλτρου σαν συνέλιξη. Έστω ότι το σήμα στην είσοδο είναι ... , P-2, P-1, P0, P1, P2, … Και ότι το φίλτρο έχει παλμική απόκριση ... , w-2, w-1, w0, w1, w2, … Τότε το σήμα P’ στην έξοδο δίδετε από τον τύπο Αυτή είναι η συνέλιξη του P και του w, και μερικές φορές συμβολίζετε με P*w. Ισχύει ότι P*w = w*P. Προφανώς δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το στον υπολογιστή εάν η παλμική απόκριση εκτείνεται σε όλον τον άξονα των πραγματικών. Μπορούμε όμως εάν είναι πεπερασμένη (πχ εάν wi=0 για i<L και για i > U).

Μετακινούμενα Φίλτρα Μέσου Όρου Το μετακινούμενο φίλτρο μέσου όρου έχει n­σημείων έχει παλμική απόκριση μήκους n, με τιμές τις 1/n, 1/n, ... , 1/n, 1/n Το οποίο σημαίνει ότι το w0 ενδεχομένως μεταβάλετε, αλλά αυτό δεν μας απασχολεί προς το παρόν. Ορίστε ένα παράδειγμα φιλτραρίσματος με ένα μετακινούμενο φίλτρο μέσου όρου 5-σημείων: Αρχικό Σήμα Φιλτραρισμένο Σήμα Αυτό είναι ένα φίλτρο χαμηλών-συχνοτήτων, το οποίο θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε για αποσιωπήσουμε τον ενδεχόμενο θόρυβο.

Φίλτρα Διαφορών Μπορούμε να ορίσουμε ένα φίλτρο το οποίο βρίσκει την διαφορά μεταξύ κάθε σημείου και του επομένου του. Θα έχει παλμική απόκριση 1,-1 Ορίστε το αποτέλεσμα του φίλτρου αυτού στο ίδιο με το παραπάνω σήμα: Αρχικό Σήμα Φιλτραρισμένο Σήμα Αυτό είναι ένα φίλτρο υψηλών-συχνοτήτων.

Επίδραση Φίλτρων σε Κύμα Ημιτόνου; Όπως είδαμε στην προηγούμενη διάλεξη μπορούμε να παραστήσουμε συναρτήσεις (πχ σήματα) σαν άθροισμα πολλών ημιτονοειδών κυμάτων. Μπορούμε συνεπώς να καταλάβουμε την επίδραση ενός γραμμικού φίλτρου σε ένα σήμα εξετάζοντας την δράση του πάνω σε κύματα ημιτόνου. Εάν εφαρμόσουμε ένα φίλτρο με παλμική απόκριση w0, w1 στο κύμα ημιτόνου A sin(2πfx + φ), όπου x ακέραιος, παίρνουμε το σήμα w0 A sin(2πfx + φ) + w1 A sin(2πf(x-1)+φ) = A* sin(2πfx + φ*), Όπου τα A* και φ* εξαρτώνται από τα w0, A, f και φ (αλλά όχι από x). Για τον λόγο αυτό η δράση κάθε άλλου γραμμικού φίλτρου σε κάποιο ημιτονοειδές κύμα, θα έχει σαν αποτέλεσμα ένα άλλο ημιτονοειδές κύμα, με την ίδια συχνότητα, αλλά ενδεχομένως διαφορετικό φάσμα και πλάτος.

Απόκριση Συχνότητας ενός Φίλτρου Μπορούμε να περιγράψουμε την δράση ενός φίλτρου περιγράφοντας το πώς επηρεάζει το πλάτος και την φάση ενός ημιτονοειδούς κύματος σε κάθε συχνότητα. Αυτό αποτελεί την``απόκριση συχνότητας '' ενός φίλτρου. Ένα χαμηλής συχνότητας φίλτρο θα ελαττώσει το πλάτος των υψηλόσυχνων ημιτονοειδών κυμάτων. Ένα υψηλής συχνότητας φίλτρο θα ελαττώσει το πλάτος των χαμηλόσυχνων ημιτονοειδών κυμάτων. Τα φίλτρα μπορούν να αλλάξουν και την φάση (πιθανώς με διαφορετικό τρόπο σε κάθε συχνότητα). Κάτι τέτοιο όμως δεν μας πειράζει. Ο άνθρωπος δεν μπορεί να ακούσει τέτοιες αλλαγές φάσης όσον αφορά φιλτραρίσματα ραδιο κυμάτων.

Φιλτράρισμα με Μετασχηματισμούς Fourier Η απόκριση συχνότητας ενός φίλτρου αποτελεί την βάση μιας άλλης πρακτικής με χρήση υπολογιστή: Μετέτρεψε το σήμα σε άθροισμα πολλών ημιτονοειδών κυμάτων. (Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή σαν εύρεση του ``μετασχηματισμού Fourier'' του σήματος.) Άλλαξε το πλάτος και την φάση καθενός από αυτά τα ημιτονοειδή κύματα σύμφωνα με την απόκριση συχνότητα του φίλτρου. Πρόσθεσε τα τροποποιημένα ημιτονοειδή κύματα για να σχηματίσεις το φιλτραρισμένο σήμα. (Αυτό είναι γνωστό σαν ``Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier''.) Η παραπάνω διαδικασία φαίνετε να είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα, αλλά η ύπαρξη ενός έξυπνου αλγορίθμου που λέγετε Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform – FFT) έχει σαν αποτέλεσμα ο παραπάνω αλγόριθμος να είναι στην πράξη πιο γρήγορος από την εφαρμογή της συνέλιξης με τον προφανή τρόπο.

Δισδιάστατα Φίλτρα Μπορούμε να εφαρμόσουμε φίλτρα και σε εικόνες, χρησιμοποιώντας ένα δισδιάστατο ανάλογο της συνέλιξης. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να εξαλείψουμε τον θόρυβο εφαρμόζοντας ένα μετακινούμενο φίλτρο μέσου όρου με το παρακάτω μοτίβο: 1/9 1/9 1/9 Υπάρχουν δισδιάστατα ανάλογα της απόκρισης συχνότητας και του Ταχύ Μετασχηματισμού Fourier .

Παράδειγμα φιλτραρίσματος εικόνων