Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης

Στατικές (Στάσιμες) Διαδικασίες Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές ιδιότητες δεν μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου. Ποιές στατιστικές ιδιότητες; Υπάρχουν διαφορετικοί ορισμοί στατικότητας, ανάλογα με τις στατιστικές ιδιότητες που παραμένουν χρονικά αμετάβλητες: Αυστηρά στατικές διαδικασίες (Strict Sense Stationarity - SSS) Στατικές υπό την ευρεία έννοια διαδικασίες (Wide Sense Stationarity – WSS)

Αυστηρά Στατικές Διαδικασίες Ορισμός: Μια στοχαστική διαδικασία είναι αυστηρά στατική εάν, για κάθε k, t1, t2, …, tk, και για κάθε χρονική καθυστέρηση τ ισχύει η εξής ιδιότητα για τη συνάρτηση κατανομής:   Σε περίπτωση που η ανωτέρω ιδιότητα δεν ισχύει για όλα τα κ, αλλά για κν, λέμε ότι η στοχαστική διαδικασία είναι στατική ν-οστής τάξης.

Περιπτώσεις SSS διαδικασιών Δεν εξαρτάται από το t1 SSS 2ης τάξης: SSS νης τάξης: Αν μια διαδικασία είναι SSS ν-ής τάξης τότε είναι και SSS όλων των προηγούμενων τάξεων 1,2,…,ν-1

Ιδιότητες SSS διαδικασιών Αν μια διαδικασία είναι SSS ν-ής τάξης τότε είναι και SSS όλων των προηγούμενων τάξεων 1,2,…,ν-1 Παράδειγμα: Έστω X(t) SSS 2ης τάξης. Τότε: Συνεπώς: Άρα είναι και 1ης τάξης

Ιδιότητες SSS διαδικασιών Τι ιδιότητα έχει η μέση τιμή ενός τυχαίου σήματος που είναι στατικό 1ης τάξης; Οπότε Δηλαδή η μέση τιμή είναι σταθερή:

Ιδιότητες SSS διαδικασιών Τι ιδιότητα έχει η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός τυχαίου σήματος που είναι στατικό 2ης τάξης; Δηλαδή:

Στατικές υπό την ευρεία έννοια διαδικασίες Μια διαδικασία είναι στατική υπό την ευρεία έννοια (WSS) εάν για τη μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύουν: Συνεχούς χρόνου: Διακριτού χρόνου:

Παράδειγμα (1) X(n) I.I.D. διαδικασία: Από τον ορισμό: και Οπότε θα είναι SSS.

Παράδειγμα (2) On-Off signalling: X(t)=cos(ωt) στο [0,Τ] με πιθανότητα p και X(t)=0, με πιθανότητα 1-p. Η μέση τιμή: Άρα δεν είναι στατικό 1ης τάξης.

Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (1) Εστω X(t) WSS Τ.Σ. πληροφορίας. Δίδεται η Τ.Μ. Θ, ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Το διαμορφωμένο ΑΜ Τ.Σ. ορίζεται ως: Y(t) = X(t) cos(ω0t + Θ). Ενώ η Θ και το σήμα X(t) είναι μεταξύ τους στατιστικά ανεξάρτητα. Είναι το Y(t) WSS; Μέση τιμή: Και Δηλαδή:

Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (2) Αυτοσυσχέτιση: Και ………

Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (3) Αυτοσυσχέτιση: Και

Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (4) Αυτοσυσχέτιση: Δηλαδή: Συνεπώς θα είναι WSS Αν το φέρον ήταν cos(ω0t) τότε το Y(t)=X(t) cos(ω0t) δεν είναι WSS.

Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (1) Ai και Bi, i=1, 2, …, n είναι ένα σύνολο από 2n τυχαίες μεταβλητές που είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστες και ακολουθούν από κοινού κανονική κατανομή με Ε{Ai} = Ε{Bi} = 0 και Ε{Ai2} = Ε{Bi2} = σ2. Δίδεται το σήμα: Δείξτε οτι το X(t) είναι μια SSS κανονική διαδικασία. Μέση Τιμή:

Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (2) Αυτοσυσχέτιση: ή

Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (3) Αυτοσυσχέτιση: Όπου:

Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (4) Αυτοσυσχέτιση: Συνεπώς X(t) είναι WSS

Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (5) Για δύο χρονικές στιγμές t1, t2: Σε μορφή πίνακα: , F ακολουθούν κανονικές κατανομές Είναι το X(t) εκτός από WSS και SSS;

Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (6) Για k χρονικές στιγμές: όπου: και Άρα θα είναι και SSS

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για WSS διαδικασίες Ορισμός:

Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (1) Για τ=0 αντιπροσωπεύει τη μέση ισχύ του Τ.Σ.: Είναι άρτια:

Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (2) 3. Είναι φραγμένη από την τιμή RX(0): |RX(τ)|≤ RX(0), όπου RX(0)=Ε{X2(t)}≥0. Απόδειξη: Άρα:

Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (3) Εαν το Τ.Σ. X(t) έχει μια περιοδική συνιστώσα, τότε και η Rx(τ) θα περιέχει μια περιοδική συνιστώσα. Εάν lim RΧ(τ) = C, τότε C = μΧ2. Εαν RΧ(T0) = RΧ(0) για κάποιο T0≠0, τότε η RΧ(τ) θα είναι περιοδική με περίοδο Τ0. Αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας την ανισότητα: