Θέμα: Επίπεδα Ιστογράμματα-Διαγραμματική Monte Carlo Νικόλαος Διαμαντής Αθήνα 21.02.2014

Περιεχόμενα: Matsubara Green Functin Diag-MC Flat Histogram Diag-MC Αποτελέσματα και Συγκρίσεις Αντιστροφή Κίνηση οπής σε Columnar

Matsubara Συνάρτηση Green Έστω η Hamiltonian συστήματος πολλών σωματιδίων με Ho επιλύσιμη Matsubara Συνάρτηση Green (συνάρτηση φανταστικού χρόνου) είναι: Όπου αναπαράσταση Heisenberg του τελεστή καταστροφής σωματιδίου στην κατάσταση k (αντίστοιχα δημιουργίας).

Matsubara Συνάρτηση Green Γίνεται: Όπου η μέση τιμή είναι στην Ho Για θερμοκρασία 0 Κ είναι β=∞ και έχουμε Με χρήση του θεωρήματος του Wick γίνεται: Τα ξm αναφέρονται στην διαφορετική τοπολογία των διαγραμμάτων Feynman ίδιας τάξης m.

Διαγραμματική Monte Carlo( Diag-MC) Διαγραμματική Monte Carlo( Diag-MC): Είναι η επινόηση στοχαστικής διαδικασίας Markov από την οποία προκύπτει το ιστόγραμμα της G(τ) Βασικές κατηγορίες updates : 1η Κατηγορία: Παραμονή στον ίδιο όρο ολοκλήρωσης και στο ίδιο διάγραμμα μεταβάλλοντας της μεταβλητές ολοκλήρωσης 2η Κατηγορία: Μετάβαση από ένα διάγραμμα σε άλλο . Από (m,ξm) σε (m΄ , ξm΄)

Διαγραμματική Monte Carlo( Diag-MC) Κατηγορία 2η: Εστω n οι φωνονικοί διαδότες, τότε είναι 2n+1 οι φερμιονικοί. Α) πρόσθεση διαδότη: επιλέγουμε με πιθανότητα p=1/(2n+1) τον φερμιονικό m όπου με αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας τοποθετούμε την αρχή του νέου διαδότη και με p΄=1/(2n+2-m) τον φερμιονικό όπου με αντίστοιχη πιθανότητα τοποθετούμε το τέλος του. Αντίστοιχες πυκνότητες πιθανότητας για την φωνονική ορμή. Β) Απομάκρυνση διαδότη: Ισοπίθανα (p=1/n) επιλέγω τον φωνονικό που θα αφαιρεθεί. Και οι δύο updates συνοδεύονται από μεταβολή του τέλους του G(τ)

Διαγραμματική Monte Carlo( Diag-MC) Γνωρίζοντας ότι G(0)=1 , την τιμή στο πρώτο διάστημα, υπολογίζουμε τα G(τi) από τον λόγο όπου Νi και Ν0 ο λόγος των εμφανίσεων των αντιστοίχων καταστάσεων στην Markov ακολουθία

Διαγραμματική Monte Carlo( Diag-MC) Πρόβλημα : Επειδή είναι τα σφάλματα είναι τεράστια . Επίλυση προβλήματος: 1) Guiding Function (e-μτ) [1] N. V. Prokof’ev and B. V. Svistunov, Phys. Rev. Lett. 81, 2514 (1998). [2] A. S. Mishchenko, N. V. Prokof’ev, A. Sakamoto, B. V. Svistunov, Phys. Rev. B 62, 6317 (2000).   2) Flat Histogram [3] N.G. Diamantis and E. Manousakis Phys. Rev. E 88, 043302 ( 2013)

Flat histogram diag-MC Αναπαράγουν με την μέθοδο Monte Carlo με μεγάλη ακρίβεια κατανομές (ρ1,ρ2,..ρm) όπου οι τιμές πυκνότητας καταστάσεων έχουν μεγάλη διαφορά(αρκετές τάξεις μεγέθους). [4] B. A. Berg and T. Neuhaus, Phys. Lett. B 267, 249 (1991). [5] F. Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. Lett. 86, 2050 (2001). Βασική ιδέα: Η αντιστοίχηση των G(τi) με τις ρi Flat histogram diag-MC: Συνδυασμός των flat histogram μεθόδων με την diag-MC

Flat histogram diag-MC Εφαρμογή στο πρόβλημα του πολαρονίου, όπου περιοριστήκαμε στα παρακάτω διαγράμματα και αυτό διότι το συγκεκριμένο πρόβλημα επιλύθηκε ακριβώς και μπορούμε να κάνουμε συγκρίσεις

Αποτελέσματα Τα αποτελέσματα για flat histogram με χρήση της Wang-Landau μεθόδου είναι αυτά του σχήματος. Στο ίδιο διάγραμμα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της μεθόδου (diag-MC) και αυτά με την εφαρμογή της W-L στη μέθοδο (flat histogram diag-MC) Επίσης παρουσιάζεται το αποτέλεσμα για μεγάλο φανταστικό χρόνο, όπου η τάξη μεγέθους είναι 1060!!

Αποτελέσματα

Αποτελέσματα

Συγκρίσεις Η μέθοδος flat histogram πλεονεκτεί της Guiding Function διότι: Είναι solid Δεν χρειάζεται a priory γνώση της συμπεριφοράς της G(τ) Καλύπτει και την περίπτωση προβλήματος συνεχούς φάσματος Δίνει πολύ καλά αποτελέσματα για την G(τ)

Πληροφορία από την G(τ) Η Matsubara Green Function συνδέεται με την συνάρτηση φάσματος Α(ω) , ποσότητα πειραματικά μετρήσιμη με την μέθοδο φωτοεκπομπής, με την σχέση: Με αντίστοιχους περιορισμούς για την Α(ω). Πρόβλημα: Δεδομένης της πληροφορίας (τi, G(τi)) για i=1,..N μπορούμε να προσδιορίσουμε το Α(ω); (ill-posed πρόβλημα).

Αντιστροφή Μέθοδοι: 1)Maximum-Entropy Method : [6]Gubernatis ,Silver, Sivia Phys. Rev. B Volume 41 Number 4 (1990) 2)Stochastic Spectral Analysis: [7]Mishchenko, Prokof’ev, A. Sakamoto, and B. V. Svistunov1 PHYS. REV. B V (62), 10 ( 2000)

Εξεταζόμενο Πρόβλημα: Κίνηση μιας οπής σε Columnar Θεωρούμε : Κατάληψη πλεγματικών σημείων μόνο από ένα ηλεκτρόνιο Έχει ισχύ η spin wave θεωρία

Εξεταζόμενο Πρόβλημα: Κίνηση μιας οπής σε Columnar Για την Χαμιλτονιανή με Έχουμε ότι για το πλέγμα έχει τη μορφή columnar

Εξεταζόμενο Πρόβλημα: Κίνηση μιας οπής σε Columnar Κατασκευή προγράμματος υπολογισμός της G(τ) με την flat histogram diag-MC 2)Κατασκευή προγράμματος υπολογισμού της φασματικής πυκνότητας βελτιωμένη Stochastic Spectral Analysis μέθοδο. 3)Ανάπτυξη νέας μεθόδου υπολογισμού Α(ω).