ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Βασικές αρχές και προεκτάσεις W. NICHOLSON, C. SNYDER ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Βασικές αρχές και προεκτάσεις 3η έκδοση

Κεφάλαιο 13 Γενική Ισορροπία και Ευημερία

Τέλεια Ανταγωνιστικό Σύστημα Τιμών Υποθέτουμε ότι όλες οι αγορές είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός ομοιογενών αγαθών στην οικονομία. Περιλαμβάνονται καταναλωτικά είδη και συντελεστές παραγωγής. Καθένα από αυτά τα αγαθά έχει μια τιμή ισορροπίας. Δεν υπάρχει κόστος για τις συναλλαγές ή για τις μεταφορές. Τα άτομα και οι επιχειρήσεις έχουν τέλεια πληροφόρηση.

O Νόμος της Μίας Τιμής Ένα ομοιογενές αγαθό ανταλλάσσεται στην ίδια τιμή ανεξάρτητα από το ποιος αγοράζει ή ποιος πουλάει. Αν ένα αγαθό ανταλλάσσεται σε δύο διαφορετικές τιμές, οι καταναλωτές θα σπεύσουν να αγοράσουν το αγαθό απ’ όπου είναι φτηνότερο και οι επιχειρήσεις θα επιχειρήσουν να πουλήσουν όλη την παραγωγή τους εκεί όπου είναι ακριβότερο. Αυτές οι ενέργειες θα τείνουν να εξομοιώσουν την τιμή του αγαθού.

Συμπεριφορικές Παραδοχές Υπάρχει μεγάλος αριθμός ατόμων που αγοράζουν κάθε αγαθό. Κάθε άτομο θεωρεί δεδομένες όλες τις τιμές και προσαρμόζει τη συμπεριφορά του ώστε να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητα, με δεδομένο τον εισοδηματικό του περιορισμό. Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός επιχειρήσεων που παράγει κάθε αγαθό. Κάθε επιχείρηση αντιμετωπίζει όλες τις τιμές ως δεδομένες και λειτουργεί έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της.

Γενική Ισορροπία Υποθέστε ότι υπάρχουν δύο μόνο αγαθά, x και y, τα οποία παράγονται χρησιμοποιώντας δύο εισροές, k και l. Όλα τα άτομα έχουν ταυτόσημες προτιμήσεις. Παρουσιάζονται σε έναν χάρτη καμπυλών αδιαφορίας. Η καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων θα χρησιμοποιηθεί για να δείξουμε σε ένα απλό πλαίσιο πώς συνδέονται μεταξύ τους οι αγορές προϊόντων και εισροών.

Το Κουτί του Edgewοrth H κατασκευή της καμπύλης παραγωγικών δυνατοτήτων για τα x και y ξεκινά με την υπόθεση ότι υπάρχουν σταθερές ποσότητες εισροών κεφαλαίου και εργασίας. Το κουτί του Edgewοrth δείχνει κάθε δυνατό τρόπο χρήσης του υπάρχοντος κεφαλαίου και της εργασίας για την παραγωγή των x και y. Κάθε σημείο μέσα στο κουτί αντιπροσωπεύει μια κατανομή πλήρους απασχόλησης των διαθέσιμων πόρων για τα τα δύο αγαθά.

Το Κουτί του Edgewοrth

Το Κουτί του Edgewοrth Πολλές από τις κατανομές που παρουσιάζονται στο κουτί του Edgeworth είναι τεχνικά αναποτελεσματικές. Μπορούμε να παράγουμε ταυτόχρονα περισσότερο x και y, ανακατανέμοντας κάπως το κεφάλαιο και την εργασία. Υποθέτουμε ότι οι ανταγωνιστικές αγορές δεν παρουσιάζουν τέτοιες αναποτελεσματικές επιλογές εισροών.

Το Κουτί του Edgewοrth Συνεπώς, θέλουμε να ανακαλύψουμε τις αποτελεσματικές κατανομές. Αυτές παρουσιάζουν τα αποτελέσματα για την παραγωγή. Εισάγουμε χάρτες καμπυλών ίσου προϊόντος για τα δύο αγαθά. Ο χάρτης καμπυλών ίσου προϊόντος για το αγαθό x χρησιμοποιεί το Ox ως αρχή των αξόνων. Ο χάρτης καμπυλών ίσου προϊόντος για το αγαθό y χρησιμοποιεί το Oy ως αρχή των αξόνων.

Το Κουτί του Edgewοrth Οι αποτελεσματικές κατανομές είναι εκεί όπου οι καμπύλες ίσου προϊόντος εφάπτονται η μία στην άλλη. Σε οποιοδήποτε άλλο σημείο του διαγράμματος, οι καμπύλες ίσου προϊόντος των δύο αγαθών θα τέμνονται και μπορούμε να δείξουμε την αναποτελεσματικότητα.

Το Κουτί του Edgewοrth

Καμπύλη Παραγωγικών Δυνατοτήτων O αποτελεσματικός γεωμετρικός τόπος δείχνει τη μέγιστη παραγωγή του y, που μπορεί να παραχθεί για οποιαδήποτε προκαθορισμένη παραγωγή του x. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την πληροφορία για να κατασκευάσουμε μια καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων. Δείχνει τα εναλλακτικά επίπεδα του x και του y που μπορούν να παραχθούν με τις σταθερές εισροές κεφαλαίου και εργασίας, αν αυτές οι εισροές χρησιμοποιηθούν αποτελεσματικά.

Καμπύλη Παραγωγικών Δυνατοτήτων

Ο Οριακός Λόγος Μετασχηματισμού του Προϊόντος O οριακός λόγος μετασχηματισμού (RPT) μεταξύ δύο προϊόντων είναι το αρνητικό της κλίσης της καμπύλης παραγωγικών δυνατοτήτων γι’ αυτά τα προϊόντα.

Ο Οριακός Λόγος Μετασχηματισμού του Προϊόντος O RPT καταγράφει πώς μπορεί το x να ανταλλαγεί τεχνικά με y, ενώ συνεχίζουμε να διατηρούμε τις διαθέσιμες παραγωγικές εισροές αποτελεσματικά απασχολούμενες.

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Η καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων προκύπτει από ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης υπό περιορισμό: για οποιοδήποτε δεδομένο επίπεδο παραγωγής του x (έστω x̅ ) θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την παραγωγή του y, όταν οι επιλογές μας περιορίζονται από τις διαθέσιμες συνολικές ποσότητες κεφαλαίου και εργασίας (που συμβολίζονται με k̅ και Ī, αντίστοιχα).

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Η παράσταση Lagrange για την καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων είναι: Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι:

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Μεταφέροντας τα λ1 και λ2 στο δεξί μέλος,ο λόγος των δύο πάνω εξισώσεων πρέπει να ισούται με τον λόγο των δύο κάτω εξισώσεων: Για την αποτελεσματική κατανομή των πόρων, ο RTS μεταξύ των δύο εισροών στην παραγωγή του y πρέπει να ισούται με τον RTS στην παραγωγή του x.

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Η συνάρτηση αξίας που προκύπτει από αυτή τη μεγιστοποίηση δίνει την άριστη παραγωγή του y ως συνάρτηση των τριών περιορισμών του προβλήματος: Εφαρμόζοντας το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης παίρνουμε:

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Κάνοντας μερικούς επιπλέον υπολογισμούς με τις συνθήκες πρώτης τάξης, παίρνουμε: Ο RPT δίνεται από τους λόγους των οριακών παραγωγικοτήτων της εργασίας και του κεφαλαίου στην παραγωγή των x και y.

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Αυτό το αποτέλεσμα μας βοηθάει να εξηγήσουμε γιατί η καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων είναι κοίλη (ο RPT είναι αύξων). Υπάρχουν τρεις αληθοφανείς εξηγήσεις: φθίνουσες αποδόσεις, ένταση των συντελεστών, ανομοιογενείς εισροές.

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Φθίνουσες αποδόσεις Καθώς θα παράγεται περισσότερο x και λιγότερο y, θα μειωθεί η οριακή παραγωγικότητα της εργασίας στην παραγωγή του x και θα αυξηθεί η οριακή παραγωγικότητα της εργασίας στην παραγωγή του y. Επομένως, ο RPT θα πρέπει να αυξηθεί.

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Ένταση των συντελεστών Ακόμη και όταν τα δύο αγαθά εμφανίζουν σταθερές αποδόσεις κλίμακας, η καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων θα είναι και πάλι κοίλη, αν η αποτελεσματικότητα απαιτεί οι εισροές να χρησιμοποιούνται με διαφορετική «ένταση».

Μια Μαθηματική Εξαγωγή Ανομοιογενείς εισροές Όταν η παραγωγή της ποσότητας του x είναι χαμηλή, μπορεί να χρησιμοποιήσει εισροές που είναι ιδιαίτερα καλές στην παραγωγή αυτού του αγαθού. Αλλά καθώς η παραγωγή της ποσότητας του x αυξάνεται, πρέπει να χρησιμοποιήσει όλο και περισσότερες εισροές που αν και καλές στην παραγωγή του y, δεν είναι το ίδιο καλές στην παραγωγή του x. Επομένως, το σχετικό MC θα τείνει να αυξάνεται για την παραγωγή του αγαθού x (και να μειώνεται για την παραγωγή του αγαθού y), και ο RPT θα αυξηθεί.

Κόστος Ευκαιρίας H καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων δείχνει ότι υπάρχουν πολλοί πιθανοί αποτελεσματικοί συνδυασμοί των δύο αγαθών. H επιπλέον παραγωγή ενός αγαθού καθιστά αναγκαία την περικοπή της παραγωγής κάποιου άλλου αγαθού. Αυτό ακριβώς εννοούν οι οικονομολόγοι με τον όρο κόστος ευκαιρίας.

Κόστος Ευκαιρίας Το κόστος της παραγωγής περισσότερου x μπορεί να μετρηθεί εύκολα με βάση τη συνεπαγόμενη μείωση της παραγωγής του y. Άρα, το κόστος μίας επιπλέον μονάδας του x μετριέται καλύτερα από τον RPT (του y σε x) στο συγκεκριμένο σημείο της καμπύλης παραγωγικών δυνατοτήτων. Αυτό το κόστος αυξάνεται καθώς παράγεται περισσότερο x.

Κοιλότητα της Καμπύλης Παραγωγικών Δυνατοτήτων Ας υποθέσουμε ότι η παραγωγή των x και y εξαρτάται μόνο από την εισροή εργασίας και ότι οι συναρτήσεις παραγωγής αυτών των αγαθών είναι: Αν η συνολικά διαθέσιμη ποσότητα εργασίας περιορίζεται σε 100, τότε ισχύει: Η καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων δίνεται από:

Κοιλότητα της Καμπύλης Παραγωγικών Δυνατοτήτων Ο RPT μπορεί να υπολογιστεί άμεσα από την εξίσωση της καμπύλης παραγωγικών δυνατοτήτων: Η κλίση της καμπύλης παραγωγικών δυνατοτήτων αυξάνεται καθώς αυξάνεται η παραγωγή του x. Η καμπύλη είναι κοίλη.

Κοιλότητα της Καμπύλης Παραγωγικών Δυνατοτήτων Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα δύο αγαθά παράγονται σε συνθήκες σταθερών αποδόσεων κλίμακας, αλλά με διαφορετικές συναρτήσεις παραγωγής Cobb-Douglas: Οι συνολικές ποσότητες κεφαλαίου και εργασίας περιορίζονται από:

Κοιλότητα της Καμπύλης Παραγωγικών Δυνατοτήτων Μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι: όπου κi = ki/Ii. Για να βρίσκεται η οικονομία πάνω στην καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων, πρέπει:

Προσδιορισμός των Τιμών Ισορροπίας Προσδιορισμός των Τιμών Ισορροπίας Για να δείξουμε πώς προσδιορίζονται οι τιμές ισορροπίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων της οικονομίας και ένα σύνολο καμπυλών αδιαφορίας. Οι καμπύλες αδιαφορίας αντιπροσωπεύουν τις προτιμήσεις των ατόμων για τα αγαθά.

Προσδιορισμός των Τιμών Ισορροπίας Προσδιορισμός των Τιμών Ισορροπίας

Συγκριτική Στατική Ανάλυση Ο λόγος των τιμών ισορροπίας θα τείνει να διατηρείται μέχρις ότου μεταβληθούν οι προτιμήσεις ή η τεχνολογία παραγωγής. Αν οι προτιμήσεις μετατοπιστούν, ας πούμε υπέρ του αγαθού x, τότε το px/py θα αυξηθεί, και περισσότερο x και λιγότερο y θα παραχθεί. Θα επιτευχθεί μια νέα ισορροπία με μια δεξιόστροφη κίνηση κατά μήκος της καμπύλης παραγωγικών δυνατοτήτων.

Συγκριτική Στατική Ανάλυση Ομοίως, η τεχνική πρόοδος στην παραγωγή του x θα μετατοπίσει την καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων προς τα έξω. Αυτό θα τείνει να μειώσει τη σχετική τιμή του x. Περισσότερο x θα καταναλώνεται. Αν το x είναι κανονικό αγαθό. Η επίδραση στο y είναι αβέβαιη. Το εισοδηματικό αποτέλεσμα και το αποτέλεσμα υποκατάστασης λειτουργούν προς αντίθετες κατευθύνσεις.

Συγκριτική Στατική Ανάλυση

H Διαμάχη για τους Νόμους των Σιτηρών Μετά τους ναπολεόντειους πολέμους, η βρετανική κυβέρνηση επέβαλε υψηλούς δασμούς στις εισαγωγές δημητριακών. H διαμάχη γύρω από τις συνέπειες αυτών των νόμων για τα σιτηρά κυριάρχησε στις αναλύσεις των οικονομολόγων από το 1829 μέχρι το 1845. H συζήτηση επικεντρώθηκε στις επιδράσεις που θα είχε η εξάλειψη των δασμών στις τιμές των συντελεστών.

H Διαμάχη για τους Νόμους των Σιτηρών H μείωση των δασμολογικών φραγμών στα σιτηρά θα προκαλέσει ανακατανομή της παραγωγής από το σημείο E στο σημείο A. H κατανάλωση θα ανακατανεμηθεί από το E στο B. Αν η παραγωγή σιτηρών είναι έντασης κεφαλαίου, η σχετική τιμή του κεφαλαίου θα πέσει λόγω αυτών των ανακατανομών.

Πολιτική Υποστήριξη των Εμπορικών Πολιτικών Οι εμπορικές πολιτικές μπορεί να επηρεάζουν τα σχετικά εισοδήματα των διαφόρων συντελεστών παραγωγής. Στις HΠΑ, οι εξαγωγές τείνουν να είναι έντασης ειδικευμένης εργασίας, ενώ οι εισαγωγές τείνουν να είναι έντασης ανειδίκευτης εργασίας. Κινήσεις προς πολιτικές απελευθέρωσης του εμπορίου θα καταλήξουν σε αυξανόμενους σχετικούς μισθούς για τους ειδικευμένους εργάτες και σε μειούμενους σχετικούς μισθούς για τους ανειδίκευτους εργάτες.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Τα περισσότερα υποδείγματα γενικής ισορροπίας κατασκευάζονται με τη χρησιμοποίηση διανυσμάτων. Αυτό μας δίνει την ευελιξία να ορίσουμε έναν τυχαίο αριθμό αγαθών και ατόμων στα υποδείγματα.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα διάνυσμα είναι απλώς μια διατεταγμένη σειρά μεταβλητών. Εδώ υιοθετούμε τη σύμβαση ότι τα διανύσματα που χρησιμοποιούμε είναι στήλης:

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Αν τα x και y είναι δύο n × 1 διανύσματα στήλης, τότε το (διανυσματικό) άθροισμά τους ορίζεται ως:

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Το (εσωτερικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων ορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των συνιστωσών τους ενός διανύσματος επί τις αντίστοιχες συνιστώσες του άλλου διανύσματος:

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Στο ανταλλακτικό μας υπόδειγμα υποθέτουμε ότι υπάρχουν n αγαθά και m άτομα. Κάθε άτομο αποκομίζει χρησιμότητα από το διάνυσμα αγαθών που καταναλώνει:

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Επίσης, κατέχουν ένα αρχικό απόθεμα αγαθών x̅ i και είναι ελεύθερα είτε να το ανταλλάξουν με άλλα άτομα είτε να κρατήσουν ένα μέρος του (ή και όλο) για τον εαυτό τους. Τα άτομα υποθέτουμε ότι είναι αποδέκτες τιμής στις ανταλλαγές. Αντιμετωπίζουν ένα διάνυσμα τιμών (p) που προσδιορίζει την τιμή της αγοράς για καθένα από τα n αγαθά.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Κάθε άτομο επιδιώκει να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του και δεσμεύεται από έναν εισοδηματικό περιορισμό, που απαιτεί: Το συνολικό ποσό που δαπανά για την κατανάλωσή του ισούται με τη συνολική αξία του αποθέματός του.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Βρίσκουμε ένα σύνολο n ατομικών συναρτήσεων ζήτησης (μία για κάθε αγαθό), στις οποίες οι ζητούμενες ποσότητες εξαρτώνται από όλες τις τιμές και το εισόδημα: Αυτές οι συναρτήσεις ζήτησης είναι συνεχείς και, ομογενείς βαθμού 0 ως προς όλες τις τιμές και το εισόδημα. Η τελευταία ιδιότητα μπορεί να γραφτεί σε διανυσματική μορφή ως:

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Η ισορροπία σε αυτό το απλό ανταλλακτικό υπόδειγμα απαιτεί ότι οι συνολικές ζητούμενες ποσότητες κάθε αγαθού είναι ίσες με το συνολικό διαθέσιμο απόθεμα κάθε αγαθού.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Η βαλρασιανή ισορροπία είναι μια κατανομή των πόρων και ενός σχετικού διανύσματος τιμών, p*, τέτοια ώστε: όπου η άθροιση πραγματοποιείται για τα m άτομα της ανταλλακτικής μας οικονομίας. Οι n εξισώσεις δηλώνουν ότι στην ισορροπία η ζήτηση ισούται με την προσφορά σε κάθε αγορά.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Νόμος του Walras Η αξία όλων των ζητούμενων ποσοτήτων πρέπει να ισούται με την αξία όλων των αποθεμάτων. Αυτό το αποτέλεσμα ισχύει για κάθε σύνολο τιμών και όχι μόνο για τις τιμές ισορροπίας.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Για να αποδείξουμε την ύπαρξη τιμών ισορροπίας στο ανταλλακτικό μας υπόδειγμα, αρκεί να δείξουμε ότι θα υπάρχει πάντα ένα διάνυσμα τιμών p* που επιτυγχάνει ισορροπία σε όλες τις αγορές. Σε ισορροπία, η υπερβάλλουσα ζήτηση είναι μηδενική σε όλες τις αγορές.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ξεκινώντας από ένα τυχαίο σύνολο τιμών, p0, ορίζουμε ένα νέο σύνολο, p1 ως: όπου k είναι μια μικρή θετική σταθερά. Αυτή η συνάρτηση θα ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος σταθερού σημείου του Brouwer.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer Κάθε συνεχής συνάρτηση από ένα κλειστό, συμπαγές σύνολο προς τον εαυτό του θα έχει ένα «σταθερό σημείο» τέτοιο ώστε x = f(x).

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Επειδή κάθε συνεχής συνάρτηση θα πρέπει να τέμνει τη γραμμή των 45ο σε κάποιο σημείο μέσα στο μοναδιαίο τετράγωνο, η συνάρτηση αυτή θα πρέπει να έχει ένα σημείο για το οποίο f(x*) = x*. Το σημείο αυτό ονομάζεται σταθερό σημείο.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Αν υποθέσουμε ότι το p* αντιπροσωπεύει το σταθερό σημείο που προσδιορίζεται από το θεώρημα του Brouwer, έχουμε: Επομένως, σε αυτό το σημείο z(p*) = 0, άρα το p* είναι ένα διάνυσμα τιμών ισορροπίας.

Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Ένα Μαθηματικό Ανταλλακτικό Υπόδειγμα Η απόδειξη του νόμου αποκρύπτει το γεγονός ότι χρησιμοποιεί αρκετές υποθέσεις για την οικονομική συμπεριφορά, όπως: όλα τα μέρη είναι αποδέκτες τιμής, οι συναρτήσεις ζήτησης είναι ομογενείς, οι συναρτήσεις ζήτησης είναι συνεχείς, υφίστανται οι εισοδηματικοί περιορισμοί και ο νόμος του Walras.

Το Πρώτο Θεώρημα των Οικονομικών της Ευημερίας H αποτελεσματική κατανομή κατά Paretο Μια κατανομή των διαθέσιμων αγαθών σε μια ανταλλακτική οικονομία είναι αποτελεσματική, αν δεν είναι δυνατόν να επινοήσουμε μια εναλλακτική κατανομή στην οποία ένα τουλάχιστον άτομο να βρίσκεται σε καλύτερη θέση, χωρίς κανένα να βρίσκεται σε χειρότερη θέση. Όλες οι βαλρασιανές ισορροπίες είναι αποτελεσματικές κατά Pareto.

Μια Διαγραμματική Παρουσίαση του Πρώτου Θεωρήματος Μια Διαγραμματική Παρουσίαση του Πρώτου Θεωρήματος Με αρχικά αποθέματα στο σημείο Ε, τα άτομα συναλλάσσονται κατά μήκος της γραμμής τιμών PP, μέχρι να φτάσουν στο σημείο Ε*. Αυτή η ισορροπία είναι αποτελεσματική κατά Pareto.

Το Δεύτερο Θεώρημα των Οικονομικών της Ευημερίας Δεύτερο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Για οποιαδήποτε αποτελεσματική κατά Pareto κατανομή των πόρων υπάρχει ένα σύνολο αρχικών αποθεμάτων και ένα σχετικό διάνυσμα τιμών τέτοια ώστε και αυτή η κατανομή να είναι μια βαλρασιανή ισορροπία.

Το Δεύτερο Θεώρημα των Οικονομικών της Ευημερίας Αν η κατανομή Q* θεωρείται κοινωνικά άριστη, αυτή η κατανομή μπορεί να στηριχτεί από οποιαδήποτε αρχικά αποθέματα πάνω στη γραμμή τιμών P’P’. Η μετακίνηση από το Q*, ας πούμε στο E*, απαιτεί μεταβιβάσεις των αρχικών αποθεμάτων από στο Ε.

Μια Ανταλλακτική Οικονομία με Δύο Άτομα Υποθέστε μια απλή ανταλλακτική οικονομία με δύο άτομα (Α, Β) και δύο αγαθά (x, y). Οι συνολικές ποσότητες των αγαθών είναι σταθερές στο x̅=y̅=1.000.

Μια Ανταλλακτική Οικονομία με Δύο Άτομα Η χρησιμότητα του ατόμου Α παίρνει τη μορφή Cobb-Douglas: και οι προτιμήσεις του ατόμου Β δίνονται από την:

Μια Ανταλλακτική Οικονομία με Δύο Άτομα Η παράσταση Lagrange γι’ αυτό το πρόβλημα είναι:

Μια Ανταλλακτική Οικονομία με Δύο Άτομα Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι:

Μια Ανταλλακτική Οικονομία με Δύο Άτομα Παίρνουμε: ή Αυτή η εξίσωση μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε όλες τις αποτελεσματικές κατά Paretο κατανομές σε αυτή την ανταλλακτική οικονομία. Αν xA=xB=500, yA=200, yB=800.

Μια Ανταλλακτική Οικονομία με Δύο Άτομα Λόγος τιμών ισορροπίας Για να υπολογίσουμε το λόγο τιμών ισορροπίας σε αυτό το σημείο της καμπύλης συμβολαίων, πρέπει να γνωρίζουμε τους MRS των δύο ατόμων. Για το άτομο Α είναι: και για το άτομο Β:

Συναρτήσεις Κοινωνικής Ευημερίας Μια συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι ένα υποθετικό σχήμα για την ιεράρχηση δυνητικών κατανομών των πόρων, με βάση τη χρησιμότητα που παρέχουν στα άτομα. Σκοπός του «κοινωνικού σχεδιαστή» είναι να επιλέξει τις κατανομές των αγαθών μεταξύ των m ατόμων στην οικονομία έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η SW.

Συναρτήσεις Κοινωνικής Ευημερίας Υποθέτουμε ότι: Αν R = 1, η συνάρτηση γίνεται: Ωφελιμιστική συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας Η κοινωνική ευημερία κρίνεται από το συνολικό άθροισμα των χρησιμοτήτων χωρίς να εξετάζεται πώς κατανέμεται η χρησιμότητα (το εισόδημα) μεταξύ των μελών της κοινωνίας.

Συναρτήσεις Κοινωνικής Ευημερίας Αν R = –∞, έχουμε: Maximin συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας Αυτή η συνάρτηση εστιάζει στο άτομο που βρίσκεται στη χειρότερη θέση σε κάθε κατανομή και επιλέγει την κατανομή για την οποία αυτό το άτομο έχει την υψηλότερη χρησιμότητα.

Ένα Μαθηματικό Υπόδειγμα Παραγωγής και Ανταλλαγής Τα οικονομικά της ευημερίας στο βαλρασιανό υπόδειγμα με παραγωγή Οποιοδήποτε σημείο πάνω στην καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων είναι εφικτό. Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας συνεχίζει να ισχύει στο γενικό υπόδειγμα ισορροπίας με παραγωγή. Πάλι οι συνέπειες για τη γενική κοινωνική ευημερία δεν είναι καθόλου σαφείς.

Ένα Μαθηματικό Υπόδειγμα Παραγωγής και Ανταλλαγής Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτε σημείο πάνω στην καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων PP για να ορίσουμε τις διαστάσεις ενός κουτιού ανταλλαγών του Edgeworth

Η Δομή των Υποδειγμάτων Γενικής Ισορροπίας Η διατύπωση οποιουδήποτε υποδείγματος γενικής ισορροπίας αρχίζει με τον καθορισμό του αριθμού των αγαθών που θα συμπεριλάβουμε στο υπόδειγμα. Σκοπός του υποδείγματος είναι: να λύσουμε για τις τιμές ισορροπίας όλων των αγαθών, και να μελετήσουμε πώς αυτές οι τιμές μεταβάλλονται όταν οι συνθήκες αλλάζουν.

Η Δομή των Υποδειγμάτων Γενικής Ισορροπίας Η τεχνολογία της παραγωγής προσδιορίζεται από τις συναρτήσεις παραγωγής. Η ζήτηση προσδιορίζεται ορίζοντας τις συναρτήσεις χρησιμότητας για διάφορους τύπους νοικοκυριών. Ένα πλήρες υπόδειγμα γενικής ισορροπίας πρέπει να προσδιορίζει πώς λειτουργεί το δημόσιο.

Ένα Απλό Υπόδειγμα Γενικής Ισορροπίας Υποθέτουμε ότι υπάρχουν δύο νοικοκυριά, δύο καταναλωτικά αγαθά (x και y) και δύο εισροές (k και l). Νοικοκυριά Καθένα έχει ένα απόθεμα k και l. Παίρνουν χρησιμότητα από την κατανάλωση των αγαθών x και y, και από την ποσότητα του ελεύθερου χρόνου. Έχουν συναρτήσεις χρησιμότητας της απλής μορφής Cobb-Douglas:

Ένα Απλό Υπόδειγμα Γενικής Ισορροπίας Η παραγωγή των αγαθών x και y χαρακτηρίζεται από τεχνολογίες της απλής μορφής Cobb-Douglas: Τα αρχικά αποθέματα κεφαλαίου και εργασίας είναι:

Ένα Απλό Υπόδειγμα Γενικής Ισορροπίας Όταν δεν υπάρχει δημόσιος τομέας, η λύση του υποδείγματος θα συνίσταται από τέσσερις τιμές ισορροπίας για τα x, y, k και l. Εδώ υποθέτουμε ότι οι τιμές θα αθροίζουν πάντα στη μονάδα:

Ένα Απλό Υπόδειγμα Γενικής Ισορροπίας Λύνοντας γι’ αυτές τις τιμές παίρνουμε: Η συνολική παραγωγή είναι: x = 23,7 y = 25,1

Ένα Απλό Υπόδειγμα Γενικής Ισορροπίας Οι επιλογές που μεγιστοποιούν τη χρησιμότητα του νοικοκυριού 1 είναι: Οι επιλογές που μεγιστοποιούν τη χρησιμότητα του νοικοκυριού 2 είναι:

Το Κουτί του Edgewοrth

Περίληψη Οι προτιμήσεις και η τεχνολογία της παραγωγής είναι οι βάσεις πάνω στις οποίες χτίζονται όλα τα υποδείγματα γενικής ισορροπίας. Μια πολύ απλή εκδοχή ενός τέτοιου υποδείγματος χρησιμοποιεί τις ατομικές προτιμήσεις για δύο αγαθά μαζί με μια κοίλη καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων γι’ αυτά τα δύο αγαθά.

Περίληψη Οι ανταγωνιστικές αγορές οδηγούν σε τιμές ισορροπίας μέσω οριακών προσαρμογών στις τιμές ανάλογα με τις πληροφορίες σχετικά με τη ζήτηση και την προσφορά των μεμονωμένων αγαθών. Ο νόμος του Walras συνδέει τις αγορές μεταξύ τους, ώστε να διασφαλίζεται μια τέτοια λύση.

Περίληψη Τα υποδείγματα γενικής ισορροπίας μπορούν συνήθως να επιλυθούν χρησιμοποιώντας υπολογιστικούς αλγόριθμους. Οι προκύπτουσες λύσεις δίνουν πολλά συμπεράσματα για την οικονομία, τα οποία δεν μπορούμε να πάρουμε από την ανάλυση μερικής ισορροπίας των μεμονωμένων αγορών.

Περίληψη Οι ανταγωνιστικές τιμές οδηγούν σε μια αποτελεσματική κατά Pareto κατανομή των πόρων. Αυτό είναι το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας.

Περίληψη Στους παράγοντες που παρεμβαίνουν στη δυνατότητα των ανταγωνιστικών αγορών να επιτύχουν την αποτελεσματικότητα περιλαμβάνονται: η δύναμη στην αγορά, οι εξωτερικές επιδράσεις, η ύπαρξη δημόσιων αγαθών, και η ατελής πληροφόρηση.

Περίληψη Οι ανταγωνιστικές αγορές μπορεί να μην οδηγήσουν σε δίκαιη διανομή των πόρων, ιδιαίτερα όταν τα αρχικά αποθέματα είναι πολύ στρεβλά. Θεωρητικά, κάθε επιθυμητή διανομή μπορεί να επιτευχθεί μέσω των ανταγωνιστικών αγορών σε συνδυασμό με κατάλληλες μεταβιβάσεις των αρχικών αποθεμάτων. Αποτελεί το δεύτερο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας.

Απαγορεύεται η αναδημοσίευση ή αναπαραγωγή του παρόντος έργου με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς γραπτή άδεια του εκδότη, σύμφωνα με το Ν. 2121/1993 και τη Διεθνή Σύμβαση της Βέρνης (που έχει κυρωθεί με τον Ν. 100/1975)