Παρουσίαση 3η: Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση 3η: Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 2ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

Περιεχόμενα παρουσίασης Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών Αλγόριθμος μεθόδου εξισώσεων συνθηκών Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων συνόρθωσης Μέθοδος των μικτών εξισώσεων Αλγόριθμος μεθόδου μικτών εξισώσεων Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό – Δεσμεύσεις – Είδη δεσμεύσεων Εφαρμογές

Ανάλυση δεδομένων Φυσικό σύστημα  τμήμα του φυσικού κόσμου που αναλύεται αγνοώντας την εξάρτησή του από τον περιβάλλοντα χώρο Παράμετροι συστήματος  περιγραφή του φυσικού συστήματος μέσα από εξισώσεις Μαθηματικό μοντέλο  η δυνατότητα περιγραφής του φυσικού συστήματος με μαθηματικές εξισώσεις Παράμετροι συστήματος  παρατηρούμενες παράμετροι

Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών Εξισώσεις παρατηρήσεων  μέθοδος συνόρθωσης  αντικατάσταση παρατηρήσεων από εκτιμήσεις  εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων Εξισώσεις συνθηκών  Απουσία ενδιάμεσου βήματος εκτίμησης αγνώστων παραμέτρων Ταυτόσημα αποτελέσματα των δύο εναλλακτικών μεθόδων Μόνες άγνωστες παράμετροι  παρατηρούμενες

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Οι εναλλακτικές βασίζονται στη δυνατότητα διαφορετικών αλλά ισοδύναμων μορφών του μαθηματικού μοντέλου Ταυτόσημα αποτελέσματα Παρατηρήσεις  παράμετροι περιγραφής του φυσικού συστήματος  κάθε παράμετρος του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτησή τους Παραμετρικός βαθμός φυσικού συστήματος  απαραίτητος ελάχιστος αριθμός παραμέτρων για την περιγραφή του συστήματος

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Μαθηματικό μοντέλο συνόρθωσης  σύνδεση παρατηρήσεων με τις άγνωστες παρατηρούμενες παραμέτρους και τα άγνωστα σφάλματα Επιπλέον, ανεξάρτητες μαθηματικές εξισώσεις που συνδέουν παρατηρούμενες παραμέτρους με (ενδεχόμενες) άγνωστες παραμέτρους Το πλήθος των ανεξάρτητων εξισώσεων συνδέεται με το πλήθος των διαθέσιμων παρατηρήσεων, των αγνώστων και με τον παραμετρικό βαθμό του φυσικού συστήματος

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης n  παρατηρούμενες παράμετροι m  άγνωστες παράμετροι r  παραμετρικός βαθμός φυσικού συστήματος s  πλήθος ανεξαρτήτων εξισώσεων n + m r

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης n  παρατηρούμενες παράμετροι m  άγνωστες παράμετροι r  παραμετρικός βαθμός φυσικού συστήματος s  πλήθος ανεξαρτήτων εξισώσεων n + m r

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης n  παρατηρούμενες παράμετροι m  άγνωστες παράμετροι r  παραμετρικός βαθμός φυσικού συστήματος s  πλήθος ανεξαρτήτων εξισώσεων n + m s r

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Βαθμοί ελευθερίας ενός προβλήματος συνόρθωσης  ο αριθμός των επιπλέον παρατηρούμενων παραμέτρων πέρα των ελαχίστων που απαιτούνται για την περιγραφή του φυσικού συστήματος Ανάλογα με την ύπαρξη και τον αριθμό των αγνώστων παραμέτρων m και τη μορφή των εξισώσεων σύνδεσης προκύπτουν οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων – parametric adjustment) Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment) Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment)

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Μέθοδος των εξισώσεων παρατηρήσεων (έμμεσων παρατηρήσεων – parametric adjustment) Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment) Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment) ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων – parametric adjustment) Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment) Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment) ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων – parametric adjustment) Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment) Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment) ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Ισοδύναμες μεταξύ τους μέθοδοι  πηγάζουν από το ίδιο γενικό μοντέλο Κάθε επιμέρους μοντέλο μπορεί να προκύψει από το άλλο Αντικατάσταση αγνώστων παραμέτρων με νέες Απαλοιφή άγνωστης παραμέτρου και εξίσωσης Προσθήκη νέας άγνωστης παραμέτρου και εξίσωσης Μέθοδος εξισώσεων συνθηκών  εξισώσεις παρατηρήσεων με απαλοιφή αγνώστων Μέθοδος μικτών εξισώσεων  εξισώσεις παρατηρήσεων με απαλοιφή μέρους των αγνώστων

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Μαθηματικό μοντέλο  προκύπτει από το μοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσεων Αν επιλύσουμε ως προς xma την τελευταία των εξισώσεων n  παρατηρούμενες ποσότητες m  άγνωστες παράμετροι

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Αντικαθιστώντας, προκύπτει σύστημα n – 1 εξισώσεων με m – 1 αγνώστους Αν επαναληφθεί η διαδικασία και επειδή n > m, θα προκύψουν νέα συστήματα (n – 2 εξισώσεις και m – 2 άγνωστοι, n – 3 εξισώσεις και m – 3 άγνωστοι… κ.ο.κ)

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Στο τελικό σύστημα εξισώσεων δεν εμφανίζονται άγνωστες παράμετροι, αλλά μόνο εξισώσεις (συνθήκες) μεταξύ παρατηρούμενων Στην πράξη οι εξισώσεις συνθηκών καταγράφονται απευθείας με βάση τις γνωστές μαθηματικές σχέσεις που συνδέουν τα παρατηρούμενα μεγέθη σε ένα φυσικό σύστημα Οι συνθήκες πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Στοχαστικό μοντέλο

Γραμμικοποιημένες εξισώσεις συνθηκών Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Σφάλματα κλεισίματος Γραμμικοποιημένες εξισώσεις συνθηκών

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Δομή βασικών πινάκων (Β και w)

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Δομή βασικών πινάκων (Ρ  πίνακας των βαρών των παρατηρήσεων) C  γνωστός  Q  γνωστός, σ2 = άγνωστη

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Αλγόριθμος συνόρθωσης (βέλτιστες εκτιμήσεις  κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων) Εκτίμηση ακρίβειας αλγορίθμου συνόρθωσης C  γνωστός C = σ2Q

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Βήματα Υπολογισμός διανύσματος σφαλμάτων κλεισίματος w (αντικατάσταση αγνώστων παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήσεις) Αναλυτική παραγώγιση του μαθηματικού μοντέλου Υπολογισμός παραγώγων (αντικατάσταση αγνώστων παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήσεις  υπολογισμός B) Υπολογισμός βασικών πινάκων συνόρθωσης Μ, k Υπολογισμός εκτίμησης διανύσματος σφαλμάτων Υπολογισμός εκτίμησης των παρατηρούμενων παραμέτρων Εκτίμηση πινάκων ακρίβειας των εκτιμήσεων των σφαλμάτων και των παρατηρούμενων παραμέτρων

Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων Eξισώσεις συνθηκών  αντιστροφή του πίνακα Μ διαστάσεων f×f (s×s) Εξισώσεις παρατηρήσεων  αντιστροφή πίνακα Ν διαστάσεων m×m = r×r Ισχύει f = n – r  Εξισώσεις συνθηκών προτιμούνται όταν f < r  n – r < r  n < 2r, όταν δηλ, ο αριθμός των παρατηρήσεων δεν υπερβαίνει το διπλάσιο του παραμετρικού βαθμού Στις περισσότερες περιπτώσεις ικανοποιείται Χρησιμοποιούνται όμως κατά κανόνα εξισώσεις παρατηρήσεων  δυσκολία προσδιορισμού ανεξάρτητων μεταξύ τους συνθηκών g

Διευρυμένο φυσικό σύστημα Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων Εξισώσεις συνθηκών  ΑΠΟΥΣΙΑ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ  ΑΠΟΥΣΙΑ ΑΔΥΝΑΜΙΑΣ ΒΑΘΜΟΥ Δεν υφίσταται διευρυμένο φυσικό σύστημα αφού όλες οι παράμετροι ανήκουν στο αρχικό φυσικό σύστημα Δεν υπάρχουν εξισώσεις συνθηκών χωρίς πλήρη βαθμό  ΠΛΗΡΗΣ ΑΠΟΥΣΙΑ ΔΕΣΜΕΥΣΕΩΝ! Διευρυμένο φυσικό σύστημα Νέες παράμετροι xa Φυσικό σύστημα

Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων Σχέση μαθηματικού μοντέλου εξισώσεων παρατηρήσεων και συνθηκών Εφαρμογή αλυσιδωτού κανόνα παραγώγισης Η προσέγγιση έχει νόημα γιατί ο Α υπολογίζεται ως προς τις προσεγγιστικές άγνωστες, ενώ ο Β ως προς τις παρατηρούμενες τιμές Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις συνθηκών προκύπτουν από τις αντίστοιχες εξισώσεις παρατηρήσεων με απαλοιφή των αγνώστων Πώς; (θυμηθείτε ΒΑ = 0)

Μέθοδος των μικτών συνθηκών Εξισώσεις παρατηρήσεων  μέθοδος συνόρθωσης  αντικατάσταση παρατηρήσεων από εκτιμήσεις  εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων Εξισώσεις συνθηκών  Απουσία ενδιάμεσου βήματος εκτίμησης αγνώστων παραμέτρων Μικτές εξισώσεις  Παρουσία παρατηρούμενων και αγνώστων παραμέτρων, οι οποίες είναι μέρος του φυσικού συστήματος τμηματικά ή στο σύνολό τους

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Μέθοδος των εξισώσεων παρατηρήσεων (έμμεσων παρατηρήσεων – parametric adjustment) Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment) Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment) ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων – parametric adjustment) Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment) Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment) ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων – parametric adjustment) Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment) Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment) ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης Ισοδύναμες μεταξύ τους μέθοδοι  πηγάζουν από το ίδιο γενικό μοντέλο Κάθε επιμέρους μοντέλο μπορεί να προκύψει από το άλλο Αντικατάσταση αγνώστων παραμέτρων με νέες Απαλοιφή άγνωστης παραμέτρου και εξίσωσης Προσθήκη νέας άγνωστης παραμέτρου και εξίσωσης Μέθοδος εξισώσεων συνθηκών  εξισώσεις παρατηρήσεων με απαλοιφή αγνώστων Μέθοδος μικτών εξισώσεων  εξισώσεις παρατηρήσεων με απαλοιφή μέρους των αγνώστων

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Στο τελικό σύστημα εξισώσεων εμφανίζονται άγνωστες παράμετροι, με αριθμό μικρότερο του παραμετρικού βαθμού του φυσικού συστήματος Οι μικτές εξισώσεις χρησιμοποιούνται κατά κανόνα όταν οι παρατηρούμενες ποσότητες δεν είναι δυνατό να εκφραστούν ως συνάρτηση των παραμέτρων του φυσικού συστήματος

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Στοχαστικό μοντέλο

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Σφάλματα κλεισίματος Τελική μορφή πινάκων

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Τελική μορφή πινάκων Το διάνυσμα w (s×1) περιέχει τα σφάλματα κλεισίματος, ενώ οι πίνακες Α (s×m) και B (s×n) έχουν ανάλογη σημασία με τους πίνακες των εξισώσεων παρατηρήσεων και συνθηκών Γραμμικοποιημένες σχέσεις  εξισώσεις συνθηκών ως προς τα σφάλματα v και εξισώσεις παρατηρήσεων ως προς τις άγνωστες παραμέτρους x Μικτές εξισώσεις παρατηρήσεων και συνθηκών ή απλά μικτές εξισώσεις

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Δομή βασικών πινάκων (A, x)

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Δομή βασικών πινάκων (Β, w)

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Δομή βασικών πινάκων (Ρ  πίνακας των βαρών των παρατηρήσεων) C  γνωστός  Q  γνωστός, σ2 = άγνωστη

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Αλγόριθμος συνόρθωσης (βέλτιστες εκτιμήσεις  κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων) Εκτιμήσεις αγνώστων παραμέτρων φυσικού συστήματος Εκτιμήσεις παρατητούμενων παραμέτρων

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Εκτίμηση ακρίβειας αλγορίθμου συνόρθωσης C  γνωστός C = σ2Q

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Βήματα Επιλογή προσεγγιστικών τιμών των αγνώστων xo Υπολογισμός διανύσματος σφαλμάτων κλεισίματος w (αντικατάσταση αγνώστων παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήσεις και αγνώστων παραμέτρων με προσεγγιστικές) Αναλυτική παραγώγιση του μαθηματικού μοντέλου Υπολογισμός παραγώγων (αντικατάσταση αγνώστων παραμέτρων με προσεγγιστικές  υπολογισμός Α) Υπολογισμός παραγώγων (αντικατάσταση αγνώστων παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήσεις  υπολογισμός B) Υπολογισμός βασικών πινάκων συνόρθωσης Μ, Ν, u Υπολογισμός εκτίμησης των αγνώστων παραμέτρων Υπολογισμός εκτίμησης διανύσματος σφαλμάτων Υπολογισμός εκτίμησης των παρατηρούμενων παραμέτρων Εκτίμηση πινάκων ακρίβειας των εκτιμήσεων των αγνώστων παραμέτρων, των σφαλμάτων των παρατηρήσεων και των παρατηρούμενων παραμέτρων

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό Στις απλές μικτές εξισώσεις οι άγνωστες παράμετροι είναι παράμετροι του φυσικού συστήματος και προφανώς εκτιμήσιμες  μοντέλα με πλήρη βαθμό  δεν υπάρχει περίπτωση απειρίας λύσεων (|Ν| ≠ 0) Φυσικό σύστημα ya xa Παρατηρούμενες παράμετροι ΕΚΤΙΜΗΣΙΜΕΣ Άγνωστες παράμετροι

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό Στα μοντέλα μικτών εξισώσεων χωρίς πλήρη βαθμό οι άγνωστες παράμετροι δημιουργούν ένα νέο φυσικό σύστημα, ενώ υπάρχουν συναρτήσεις που μπορούν αν εκφραστούν τόσο ως προς ya όσο και ως προς xa («ένωση» φυσικών συστημάτων) Παρατηρούμενες παράμετροι Άγνωστες παράμετροι Ένωση φυσικών συστημάτων ΕΚΤΙΜΗΣΙΜΕΣ MH ΕΚΤΙΜΗΣΙΜΕΣ q(xa , ya) Φυσικό σύστημα ya q(ya) Νέο φυσικό σύστημα xa q(xa)

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό Π.χ., Αρχικό σύστημα  παρατηρήσεις (γωνίες, αποστάσεις)  «σχήμα και μέγεθος» Νέο σύστημα  άγνωστες (γωνίες διεύθυνσης και εμβαδόν)  «σχήμα μέγεθος και προσανατολισμός» Γραμμικοποίηση  r(Α) < m  |N| = 0  απειρία λύσεων αΓΑ n = 6 Γ r = 3 α β m = 4 E αΒΓ αΑΒ Β Α γ

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό Ο προσδιορισμός της λύσης γίνεται με τη βοήθεια k = m – r συναρτήσεων  δεσμεύσεις Αυτού του είδους οι δεσμεύσεις οδηγούν σε μία μοναδική λύση χωρίς να επηρεάζουν τις εκτιμήσεις των παρατηρούμενων παραμέτρων  ελάχιστες δεσμεύσεις (minimum constraints) Γραμμικοποιημένες εξισώσεις: Ομογενείς ελάχιστες δεσμεύσεις

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό Κάθε διαφορετική επιλογή ελαχίστων δεσμεύσεων οδηγεί σε διαφορετικές εκτιμήσεις για τις άγνωστες παραμέτρους Μία ειδική επιλογή ελαχίστων δεσμεύσεων  ελαχιστοποιεί το ίχνος του πίνακα των (συμ)μεταβλητοτήτων των αγνώστων  εσωτερικές δεσμεύσεις (inner constraints) Γενικευμένος αντίστροφος  ψευδοαντίστροφος

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό Όταν χρησιμοποιηθούν δεσμεύσεις σε αριθμό μεγαλύτερο από τις ελάχιστες  πλεονάζουσες δεσμεύσεις (full constraints) Δεσμεύσεις περισσότερες από την αδυναμία βαθμού του συστήματος (k > m – r) Οι πλεονάζουσες δεσμεύεις επηρεάζουν τις εκτιμήσιμες παραμέτρους (παρατηρήσεις)  «ουσιαστικές» δεσμεύσεις

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό Λύση πλεοναζουσών δεσμεύσεων Ακρίβεια της εκτίμησης

Εφαρμογή Εκτίμηση βέλτιστης ευθείας Μικτές εξισώσεις Για την προσέγγιση του άξονα ενός δρόμου μετρήθηκαν οι συντεταγμένες πέντε σημείων. Ζητούνται οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων της εξίσωσης ευθείας του άξονα του δρόμου. Τόσο οι τεταγμένες yi όσο και οι τετμημένες να θεωρηθούν ως παρατηρήσεις ασυσχέτιστες και ίδιας αλλά άγνωστης ακρίβειας. Μικτές εξισώσεις (αδυναμία διαχωρισμού παρατηρούμενων – αγνώστων)  i xi (m) yi (m) 1 5009.05 10001.30 2 5012.10 10003.05 3 5014.60 10005.80 4 5018.40 10007.15 5 5020.00 10008.00

Εφαρμογή Μικτές εξισώσεις Αναλυτική δομή πινάκων

Εφαρμογή Εισαγωγή δεδομένων Εισαγωγή προσεγγιστικών τιμών των αγνώστων παραμέτρων Σχηματισμός πίνακα Α

Εφαρμογή Σχηματισμός πίνακα Β Σχηματισμός διανύσματος σφαλμάτων κλεισιματος w Σχηματισμός πίνακα Μ

Εφαρμογή Σχηματισμός πίνακα Ν Σχηματισμός διανύσματος u Εκτιμήσεις των διορθώσεων στις προσεγγιστικές των αγνώστων παραμέτρων Εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων Εκτιμήσεις λύσης εξισώσεων παρατηρήσεων Εκτιμήσεις των σφαλμάτων των παρατηρούμενων παραμέτρων

Εφαρμογή Εκτιμήσεις των τιμών των παρατηρούμενων παραμέτρων

Εφαρμογή Εφαρμογή Μικτές εξισώσεις Εκτίμηση βέλτιστων ομόκεντρων κύκλων με δέσμευση ακτίνας Δίνονται οι παρατηρήσεις συντεταγμένων 12 σημείων, από 6 σημεία στη περιφέρεια δύο ομόκεντρων κύκλων. Να εκτιμηθούν οι βέλτιστες εξισώσεις των κύκλων της εφαρμογής. Από τη μελέτη υπάρχει η δέσμευση, ο δεύτερος κύκλος να έχει διπλάσια ακτίνα από τον πρώτο. Μικτές εξισώσεις (αδυναμία διαχωρισμού παρατηρούμενων – αγνώστων  i Χi (m) Υi (m) 1 16.385 16.970 2 20.045 11.529 3 17.633 6.691 4 12.554 5.602 5 9.384 7.779 6 9.237 15.130 i xi (m) yi (m) 1 13.884 14.450 2 16.003 13.759 3 16.635 10.039 4 12.684 8.752 5 11.080 11.391 6 11.956 13.671 Σημεία 1ου κυκλικού τόξου Σημεία 2ου κυκλικού τόξου Εξίσωση 1ου κύκλου Εξίσωση 2ου κύκλου

Εφαρμογή Εφαρμογή Μικτές εξισώσεις Εκτός από τις μικτές εξισώσεις υπάρχει και η δέσμευση της ακτίνας

Εφαρμογή Εφαρμογή Δομή πίνακα Β και w

Εφαρμογή Εφαρμογή Δομή πίνακα Β και w

Εφαρμογή Εφαρμογή Εισαγωγή δεδομένων και προσεγγιστικών τιμών των αγνώστων παραμέτρων

Εφαρμογή Εφαρμογή Υπολογισμός πίνακα Α

Εφαρμογή Εφαρμογή Υπολογισμός υποπίνακα Β1

Εφαρμογή Εφαρμογή Υπολογισμός υποπίνακα Β2

Εφαρμογή Εφαρμογή Υπολογισμός διανύσματος w

Εφαρμογή Εφαρμογή Εκτίμηση λύσης χωρίς τη δέσμευση

Εφαρμογή Εφαρμογή Εκτίμηση λύσης με εφαρμογή της δέσμευσης

Εφαρμογή Περαιτέρω ενασχόληση Εφαρμογή Εκτίμηση της εκ των υστέρων μεταβλητότητας αναφοράς (a-posteriori variance) και στις δύο περιπτώσεις όπως και των πινάκων (συμ)μεταβλητοτήτων των εκτιμήσεων των αγνώστων παραμέτρων, των σφαλμάτων των παρατηρούμενων και των παρατηρούμενων παραμέτρων

Ανακεφαλαίωση Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων Εισαγωγή δεσμεύσεων Εφαρμογές