1. Το πληροφοριακό περιεχόμενο των μαθηματικών αληθειών

H έννοια της ταυτολογίας είναι έννοια οριζόμενη στο πλαίσιο του προτασιακού λογισμού. Είναι ένας προτασιακός τύπος του οποίου η αληθοτιμή είναι TRUE για κάθε συνδυασμό αληθοτιμών των προτασιακών μεταβλητών του. Ένας λογικά έγκυρος τύπος είναι ένας τύπος μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας που καθίσταται αληθής σε κάθε δομή ή ερμηνεία της αντίστοιχης γλώσσας.

Leibniz Αναλυτικές – ενδεχομενικές προτάσεις Δύο τρόποι προσδιορισμού Ο Leibniz τοποθετεί λανθασμένα τις μαθηματικές προτάσεις στις αναλυτικές

Kant A priori αναλυτικές προτάσεις A priori συνθετικές προτάσεις A posteriori συνθετικές προτάσεις

Ένας λογικά έγκυρος τύπος είναι αποδείξιμος στο πλαίσιο κάθε μαθηματικής θεωρίας που θα ήταν δυνατόν να σχηματιστεί στο γλωσσικό περιβάλλον του. Άρα ένας λογικά έγκυρος τύπος δεν μας πληροφορεί για τη δομή του εκάστοτε κόσμου, διότι, απλώς ισχύει σε κάθε δυνατό κόσμο (πληροφοριακά τετριμμένος).

Aς θεωρήσουμε μια μαθηματική θεωρία που στα αξιώματά της περιέχονται και μη λογικά έγκυροι τύποι. Μας ενδιαφέρουν τα θεωρήματα. Το πληροφοριακό περιεχόμενο των θεωρημάτων είναι μη τετριμμένο δηλαδή ένα θεώρημα μας πληροφορεί για τα κοινά χαρακτηριστικά όλων των μοντέλων της θεωρίας που καθιστούν αληθή όλα τα αξιώματα. Η αλήθεια των αξιωμάτων μεταφέρεται ή μετακενώνεται μέσω της απόδειξης, στις συνέπειές τους δηλαδή στα θεωρήματα.

Κάθε μαθηματική θεωρία που εμπεριέχει ένα σημαντικό μέρος των αξιωμάτων της κατά Peano αριθμητικής διαθέτει έναν αληθειακό πλουραλισμό. Ο αληθειακός πλουραλισμός οφείλεται στην υψηλή απειρία του συνόλου των μοντέλων της. Για την αποφυγή της απειρίας των μοντέλων κάθε τέτοιας θεωρίας θα προσφεύγαμε στη δευτεροβάθμια γλώσσα. Θα αντικαθιστούσαμε δηλαδή την απειρία των μοντέλων με ένα μοναδικό μοντέλο.

Στο πλαίσιο των αξιωμάτων της κατά Peano (πρωτοβάθμιας) αριθμητικής, υπάρχει το αξιωματικό σχήμα της επαγωγής φ(0) ∧ ∀ x (φ(x) → φ (x + 1)) → ∀ x φ(x) H κατά Peano αριθμητική έχει άπειρα μοντέλα (άπειρα σύμπαντα μαθηματικών αντικειμένων) στα οποία αληθεύουν τα αξιώματα της θεωρίας.

∀P [P(0) ∧ ∀x (P(x) → P(x+1)) → ∀x P(x)] Αν χρησιμοποιήσουμε δευτεροβάθμια γλώσσα τότε μπορούμε να ποσοδεικτούμε επί μεταβλητών με πεδίο ορισμού τους ιδιότητες. Τότε το αξιωματικό επαγωγικό σχήμα αντικαθίσταται από μια μοναδική πρόταση: ∀P [P(0) ∧ ∀x (P(x) → P(x+1)) → ∀x P(x)] To σύστημα αξιωμάτων έχει τώρα ένα μοναδικό μοντέλο που είναι το σύνηθες σύμπαν των φυσικών αριθμών.

Μη αποκρίσιμες / μη αποφασίσιμες προτάσεις Υπάρχουν μοντέλα που καθιστούν αληθή μια δεδομένη μη αποκρίσιμη πρόταση και μοντέλα που καθιστούν αληθή την άρνησή της. Το πληροφοριακό περιεχόμενο μιας τέτοιας πρότασης είναι εξαρτημένο από το συγκεκριμένο εκάστοτε σύμπαν του μοντέλου στο οποίο αληθεύει.

2. Η φύση των μαθηματικών αντικειμένων και το πρόβλημα της ιστορικότητας Οι ιστορικοί των μαθηματικών υποστηρίζουν πάγια ότι η ιστορική συγκυρία παίζει κυριαρχικό ρόλο στην ανάδυση νέων μαθηματικών αντικειμένων. Η ιστορικότητα αναδεικνύεται πρωτεύουσας σημασίας και πολλές φορές ιδεολογικοποιείται και οδηγεί σε έναν ιστορικό σχετικισμό. Το μαθηματικό ιστορικό συμβάν και η πιθανώς αιτιοκρατική αλυσίδα που οδηγεί σε αυτό οφείλει να είναι αντικείμενο μελέτης του ιστορικού των μαθηματικών. Απαραίτητος είναι και ο προσδιορισμός των κοινωνικών, ψυχολογικών, οικονομικών κλπ. λεπτομερειών.

Ανακάλυψη ή εφεύρεση ; Απάντηση: Ανακάλυψη (σύμφωνα με τον συγγραφέα) Ανακάλυψη ή εφεύρεση ; Απάντηση: Ανακάλυψη (σύμφωνα με τον συγγραφέα). Το ιστορικό μαθηματικό συμβάν οδηγεί στην ανακάλυψη ενός μαθηματικού αντικειμένου, κάποιας μαθηματικής αλήθειας. Το μαθηματικό γεγονός που αποκαλύπτεται κατά το ιστορικό μαθηματικό συμβάν δεν εφευρίσκεται (δεν είναι δημιούργημα ενός εφευρετικού νου). Ιστορικά προσδιορίσιμο είναι το ιστορικό συμβάν και όχι το μαθηματικό γεγονός.

Ο ευφυής μαθηματικός δεν εφευρίσκει αλλά ανακαλύπτει αυτό το οποίο είναι ώριμο να ανακαλυφθεί. Το μαθηματικό γεγονός αναμένει με σιδηρά αναγκαιότητα τον ιστορικό χρόνο για να ανακαλυφθεί αυτό το ίδιο ή κάτι μαθηματικά ισοδύναμό του, βαθειά χωμένο στη θεωρητική ύφανση του κόσμου. Τα μαθηματικά αντικείμενα, οι μαθηματικές δομές και οι ιδιότητές τους δεν εξαρτώνται από την ιστορική συγκυρία διότι η ύπαρξή τους είναι ανεξάρτητη. Αυτό που εξαρτάται από την ιστορική συγκυρία είναι η εν χρόνω και χώρω ανακάλυψή τους. (Ήπιος ρεαλισμός)

Δυνάμει – ενεργεία «Δυνάμει υπαρκτό» είναι αυτό που εμπεριέχεται ως δυνατότητα ύπαρξης στην ύφανση του κόσμου Παραδείγματα: η προσωπική μου ύπαρξη Πριν υπάρξω, υπήρχα ως δυνατότητα ύπαρξης

Ήπια δυνάμει ύπαρξη και ισχυρή δυνάμει ύπαρξη Α) ήπια δυνάμει ύπαρξη Δυνατότητα ύπαρξης που ακόμη και στην πλήρη εκδίπλωση του σύμπαντος θα μπορούσε να μην ενεργοποιηθεί. Πχ. η προσωπική ύπαρξη του καθενός μας

Β) ισχυρή δυνάμει ύπαρξη Δυνατότητα ύπαρξης σύμφωνα με την οποία, στα πλαίσια της πλήρους εκδίπλωσης του σύμπαντος, το κυοφορούμενο ως ισχυρή δυνατότητα τελικώς θα υπάρξει. Τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν ισχυρή δυνάμει ύπαρξη

Η πρώτη περίπτωση της ήπιας δυνάμει ύπαρξης ανήκει στο χώρο του δυνατού Η δεύτερη περίπτωση της ισχυρής δυνάμει ύπαρξης ανήκει στον χώρο του αναγκαίου

Το διακριτό (εκφράζεται μέσω των φυσικών αριθμών) δεν θα μπορούσε να μην εμφανιστεί (απαραίτητη «η διάκριση του ταυτού από το έτερον») Το πεπερασμένο παράγεται από την ίδια δεξαμενή (καθετί που παράγεται με την παραπάνω διαδικασία είναι πεπερασμένο) Το άπειρο θα ανεκαλύπτετο αναγκαία (το έλλογο ον θα στρεφόταν προς το αιώνιο για να υπερβεί την τραγικότητα του πεπερασμένου)

Δυνητικό άπειρο Η απειρία εμφανίζεται ως μη περατούμενη, ως ατέρμονη, στο πλαίσιο ενός άνευ ορίων νοητού σύμπαντος Φυσικοί αριθμοί: μετάβαση από έναν φυσικό αριθμό στον επόμενό του Ενεργεία άπειρο Η απειρία εμφανίζεται ως άπειρο αντικείμενο στο πλαίσιο ενός άλλου σύμπαντος

Η επώαση του συνεχούς πιο επώδυνη Προσέγγιση της ιδιότητας της πυκνότητας Η συμβολή των Πυθαγορείων στην ανακάλυψη της κρυφής δομής της πραγματικής ευθείας Η ύπαρξη αρρήτων λόγων και ασυμμέτρων μεγεθών ήταν υφέρπουσα και ελλόχευε η απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος Ως επακόλουθο, ανακαλύπτεται ότι υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα των οποίων ο λόγος δεν μπορεί να είναι ρητός (δηλαδή δεν υπάρχει κοινό μέτρο σύγκρισης)

Η οριστική πλήρωση της πραγματικής ευθείας έλαβε χώρα τον 19ο αι.