ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΣΗΣΗ 1 N=mg m E N=w w=mg θέση ισορροπίας Ένα σώμα με μάζα m βρίσκεται πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια Ε που κινείται οριζόντια με απλή αρμονική κίνηση και με συχνότητα f=2 Hz. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ σώματος και οριζόντιας επιφάνειας είναι μs=0,50. Πόσο μεγάλο μπορεί να είναι το πλάτος ταλάντωσης της οριζόντιας επιφάνειας ώστε το σώμα να μην ολισθαίνει πάνω στην επιφάνεια αυτή; w=mg E m θέση ισορροπίας N=mg N=w

ΑΣΚΗΣΗ 1 f=2 Hz θέση ισορροπίας E N=mg w=mg m υmax x w=mg f=2 Hz E m Η επιφάνεια Ε μαζί με τη μάζα m βρίσκονται δεξιά από τη θέση ισορροπίας στη θέση x και κινούνται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ<υmax και με επιβράδυνση α x w=mg f=2 Hz E m N=mg υ Η μοναδική δύναμη που επιβραδύνει τη μάζα m είναι η στατική τριβή ολίσθησης fs

ΑΣΚΗΣΗ 1 f=2 Hz θέση ισορροπίας E N=mg w=mg m υmax υ=0 x=Α w=mg E m

ΑΣΚΗΣΗ 2 m θέση ισορροπίας Ένα σώμα μάζας m βρίσκεται πάνω σε ένα έμβολο Ε που κινείται κατακόρυφα με απλή αρμονική κίνηση περιόδου T=1,0 sec. Α) Σε ποιο πλάτος της κίνησης θα αποχωριστεί το σώμα το έμβολο Ε; Β) Αν το έμβολο ταλαντώνεται με πλάτος A=0,050 m ποια θα είναι τότε η μέγιστη συχνότητα για την οποία το σώμα Σ και το έμβολο Ε θα βρίσκονται συνεχώς σε επαφή; 𝑵 =𝒎𝒈 𝒋 θέση ισορροπίας m 𝒘 =−𝒎𝒈 𝒋

ΑΣΚΗΣΗ 2A 𝒂 𝐦𝐚𝐱 =− 𝒂 𝐦𝐚𝐱 𝒋 𝒂 𝐦 𝐚𝐱 =𝑨 𝝎 𝟐 𝑵 + 𝒘 =𝒎 𝒂 ⇒ 𝑵 =𝒎 𝒂 − 𝒘 Το έμβολο κινείται προς τα πάνω με επιβράδυνση α 𝒂 𝐦𝐚𝐱 =− 𝒂 𝐦𝐚𝐱 𝒋 𝒂 𝐦 𝐚𝐱 =𝑨 𝝎 𝟐 𝒂 =−𝒂 𝒋 𝝊 m 𝑵 𝒘 y Β΄ Νόμος του Νεύτωνα θέση ισορροπίας 𝑵 + 𝒘 =𝒎 𝒂 ⇒ 𝑵 =𝒎 𝒂 − 𝒘 𝑵 =−𝒎𝒂 𝒋 +𝒎𝒈 𝒋 𝑵 =𝒎(𝒈−𝒂) 𝒋

ΑΣΚΗΣΗ 2A ⇒ 𝑵 𝐦𝐢𝐧 =𝒎(𝒈−𝑨 𝝎 𝟐 ) 𝒋 𝟎=𝒎 𝒈− 𝑨 𝐦𝐚𝐱 𝝎 𝟐 ⇒ 𝑨 𝐦𝐚𝐱 𝝎 𝟐 =𝒈 ⇒ Για τυχαίο πλάτος ταλάντωσης A η κάθετη δύναμη N είναι ελάχιστη όταν α = αmax = Aω 𝑵 𝐦𝐢𝐧 =𝒎(𝒈−𝑨 𝝎 𝟐 ) 𝒋 ⇒ Για να αποχωριστεί η μάζα m το έμβολο πρέπει Ν=0 A 𝟎=𝒎 𝒈− 𝑨 𝐦𝐚𝐱 𝝎 𝟐 ⇒ 𝒂 =−𝒂 𝒋 𝝊 m 𝑵 =𝟎 𝒘 𝑨 𝐦𝐚𝐱 𝝎 𝟐 =𝒈 ⇒ θέση ισορροπίας 𝑨 𝐦𝐚𝐱 = 𝒈 𝝎 𝟐 = 𝒈 𝟒 𝝅 𝟐 𝚻 𝟐 ⇒ 𝑨 𝐦𝐚𝐱 = 𝟗,𝟖𝟎𝒎/ 𝒔 𝟐 𝟒 𝝅 𝟐 (𝟏,𝟎 𝒔 ) 𝟐 =𝟎,𝟐𝟓 𝒎

ΑΣΚΗΣΗ 2Β 𝑵 𝐦𝐢𝐧 =𝒎(𝒈−𝑨 𝝎 𝟐 ) 𝒋 Η Νmin είναι μηδέν όταν: 𝒈−𝑨 𝝎 𝟐 =𝟎 ⇒ Το έμβολο βρίσκεται στη μέγιστη μετατόπιση A Για την Νmin αποδείξαμε ότι: 𝑵 𝐦𝐢𝐧 =𝒎(𝒈−𝑨 𝝎 𝟐 ) 𝒋 Η Νmin είναι μηδέν όταν: 𝒈−𝑨 𝝎 𝟐 =𝟎 ⇒ f=??? 𝑵 =𝟎 𝒂 m Για δεδομένο πλάτος A η κρίσιμη συχνότητα fC για να αποχωριστεί η μάζα το έμβολο είναι: 𝒘 A 𝑨= 𝒈 𝟒 𝝅 𝟐 𝑻 𝒄 ⇒ θέση ισορροπίας

ΑΣΚΗΣΗ 3 Αντικείμενο με μάζα m=0,400 Kg εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος x0=0,025 m στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του αντικειμένου είναι α0=6,00 m/sec2. α) Ποια είναι η σταθερά k του ελατηρίου; β) πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα του αντικειμένου;

ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένα σώμα μάζας m=0,3 kg είναι προσαρμοσμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου που έχει σταθερά k=50 N/m και εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος Α=0,18 m. Να προσδιορίστε την ακριβή έκφραση της εξίσωσης κίνησης της μάζας m όταν ισχύουν οι εξής αρχικές συνθήκες: Τη χρονική στιγμή t=0 s η μάζα βρίσκεται στη θέση x(0)=x0=0,15 m αριστερά από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς τα αριστερά. Σχεδιάγραμμα ταλάντωσης: Α=0,18m –Α υ0<0 x0=–0,15m Θέση ισορροπίας Η εξίσωση κίνησης μάζας m : x=A cos(ωt + φ) Ταχύτητας μάζας m : υ= – ωA sin(ωt + φ) x0 =A cos(φ)  t=0 s  υ0 = – ωA sin(φ) 

ΑΣΚΗΣΗ 4 φ=0,59 rad x=A cos(ωt + φ)  Η εξίσωση κίνησης μάζας m : Σχεδιάγραμμα ταλάντωσης: Α=0,18m –Α υ0<0 x0=–0,15m Θέση ισορροπίας t=0 s  φ=0,59 rad  Η εξίσωση κίνησης μάζας m : x=A cos(ωt + φ) 