Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Α. Θεοδουλίδης

Εισαγωγή στη ΜΠΣ Η πρώτη χρήση της μεθόδου ανάγεται στον Αρχιμήδη, όταν αυτός προκειμένου να υπολογίσει το «π» με ακρίβεια 30 δεκαδικών ψηφίων προσέγγισε τον κύκλο με ένα κανονικό 96-γωνο.

Σύνοψη της μεθόδου των ΠΣ Η προσομοίωση (διακριτοποίηση) της κατασκευής με ένα σύνολο στοιχείων που συνδέονται σε συνοριακούς κόμβους. Ο προσδιορισμός των γενικευμένων (άγνωστων) μετατοπίσεων που θα καθορίσουν πλήρως την απόκριση της κατασκευής. Η διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας που αντιστοιχούν στις άγνωστες κομβικές μετατοπίσεις και η επίλυσή τους. Ο υπολογισμός των εσωτερικών κατανομών των τάσεων των στοιχείων, για δεδομένες μετατοπίσεις στους κόμβους. Η ερμηνεία των αποτελεσμάτων της ανάλυσης, (μετατοπίσεις και τάσεις), με βάση τις δεδομένες παραδοχές του προβλήματος.

Σύνοψη της μεθόδου των ΠΣ 1ο Βήμα: Διακριτοποίηση του υπό μελέτη συνεχούς μέσου (π.χ. κατασκευής) Το υπό μελέτη συνεχές μέσο χωρίζεται σε πεπερασμένο αριθμό «στοιχείων». Ο αριθμός, ο τύπος και το μέγεθος των στοιχείων πρέπει να προσδιορισθεί. 2ο Βήμα: Επιλογή καταλλήλων συναρτήσεων μορφής (shape functions) Μέσω αυτών των συναρτήσεων εκφράζεται η λύση του προβλήματος (π.χ. η μετατόπιση) στο εσωτερικό του κάθε στοιχείου συναρτήσει των αντιστοίχων κομβικών τιμών. Η αναπαράσταση της λύσης στο εσωτερικό του στοιχείου πρέπει να είναι «βολική» από υπολογιστική άποψη, αλλά και να ικανοποιεί και κάποιες απαιτήσεις σύγκλισης. 3ο Βήμα: Κατασκευή των μητρώων ακαμψίας και διανυσμάτων φόρτισης των στοιχείων Με χρήση των εξισώσεων ισορροπίας (ή ισοδύναμη μεταβολική διατύπωση) παράγεται το μητρώο ακαμψίας του κάθε στοιχείου, καθώς επίσης και το αντίστοιχο διάνυσμα φόρτισης.

Σύνοψη της μεθόδου των ΠΣ 4ο Βήμα: Σύνθεση των συνολικών εξισώσεων από τις επιμέρους εξισώσεις των στοιχείων Τα επιμέρους μητρώα ακαμψίας των διαφόρων στοιχείων που απαρτίζουν την κατασκευή και τα αντίστοιχα διανύσματα φόρτισης συντίθενται και παράγεται το συνολικό μητρώο ακαμψίας και το συνολικό διάνυσμα φόρτισης. Η σύνθεση των μητρώων ακαμψίας γίνεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούνται οι οριακές συνθήκες και το συμβιβαστό των παραμορφώσεων. Καταρτίζεται το τελικό σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τις κομβικές τιμές του άγνωστου μεγέθους (π.χ. μετατόπισης). 5ο Βήμα: Επίλυση του συστήματος. Επιλύεται το συνολικό σύστημα και υπολογίζονται οι άγνωστες μετατοπίσεις των κόμβων. 6ο Βήμα: Υπολογισμός τάσεων και παραμορφώσεων. Από τις υπολογισθείσες μετατοπίσεις υπολογίζονται οι τάσεις και οι παραμορφώσεις της κατασκευής

Εισαγωγή στη ΜΠΣ Η μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων είναι μια αριθμητική μέθοδος η οποία μπορεί να εφαρμοσθεί για την επίλυση διαφόρων φυσικών προβλημάτων. Με άλλα λόγια είναι μια μέθοδος αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν διάφορα φυσικά προβλήματα. Πιο συγκεκριμένα, η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) χρησιμοποιείται για την αριθμητική προσέγγιση και επίλυση σύνθετων προβλημάτων στις ακόλουθες επιστημονικές περιοχές: αντοχή κατασκευών ρευστομηχανική μετάδοση θερμότητας/θερμοδυναμική δυναμική ταλαντώσεις/ιδιοσυχνότητες ηλεκτρομαγνητισμός, κ.α.

Εισαγωγή στη ΜΠΣ Για την εφαρμογή της ΜΠΣ σε προβλήματα αντοχής των κατασκευών η συνολική (σύνθετη) κατασκευή υποδιαιρείται σε έναν αριθμό διακριτών υποκατασκευών (στοιχείων) (elements). Τα στοιχεία αυτά μπορεί να είναι: μονοδιάστατοι ράβδοι ή σχοινιά (παραλαμβάνουν μόνο αξονικές φορτίσεις) δοκοί ( μονοδιάστατα στοιχεία τα οποία παραλαμβάνουν αξονικές και κάθετες φορτίσεις) μεμβρανικά στοιχεία (διδιάστατα στοιχεία τα οποία παραλαμβάνουν μεμβρανικές φορτίσεις) ελάσματα (plates) (διδιάστατα στοιχεία τα οποία παραλαμβάνουν και κάθετες φορτίσεις στερεά στοιχεία (solids) (τρισδιάστατα στερεά στοιχεία) άλλα εξειδικευμένα στοιχεία

Τυπικά στοιχεία

Εισαγωγή στη ΜΠΣ Κάθε στοιχείο συνδέεται με τα γειτονικά του μέσω των κόμβων (nodes), επί των οποίων ασκούνται οι δυνάμεις και οι ροπές και για τους οποίους υπολογίζονται οι αντίστοιχες μετατοπίσεις. Στην συνολική κατασκευή, η οποία απαρτίζεται από τα διακριτά στοιχεία, εφαρμόζονται οι νόμοι της Μηχανικής, δηλ.: Η ισορροπία δυνάμεων και ροπών (σε κάθε ένα στοιχείο και μεταξύ των στοιχείων) Το συμβιβαστό των παραμορφώσεων (μετατοπίσεων και περιστροφών) (σε κάθε ένα στοιχείο και μεταξύ των στοιχείων) Οι νόμοι συμπεριφοράς του υλικού (σε κάθε στοιχείο)

Εισαγωγή στη ΜΠΣ Η μηχανική συμπεριφορά του κάθε στοιχείου μοντελοποιείται χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες εξισώσεις της Μηχανικής των Στερεών Σωμάτων. Μετά τη μοντελοποίηση της κατασκευής σύμφωνα με τα ανωτέρω, οι μετατοπίσεις των κόμβων εκφράζονται συναρτήσει των ασκούμενων σε αυτούς φορτίσεις.

Μητρώο ακαμψίας στοιχείου Ως μητρώο ακαμψίας στοιχείου ορίζεται ο πίνακας που συνδέει τις ανεξάρτητες μετατοπίσεις των «άκρων» (κόμβων) του στοιχείου και των δυνάμεων που ασκούνται στα ίδια σημεία.

Μητρώο ακαμψίας στοιχείου-Παράδειγμα Θεωρούμε ράβδο στους κόμβους της οποίας ασκούνται δύναμεις F1 kai F2 και οι αντίστοιχες γραμμικές μετατοπίσεις των κόμβων u1 και u2. Καθαρή επιμήκυνση: u1-u2 Αξονική παραμόρφωση: (u1-u2)/L , όπου L το μήκος Αξονική τάση: (Αξονική παραμόρφωση) x E , όπου E το μέτρο ελαστικότητας Αξονική δύναμη: Αξονική τάση x διατομή Α και

Μητρώο ακαμψίας στοιχείου-Παράδειγμα Οι τελευταίες σχέσεις σε μητρωική μορφή γράφονται: Ο πίνακας: Αποτελεί το μητρώο ακαμψίας του μονοδιάστατου στοιχείου ράβδος. Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν τα μητρώα ακαμψίας και άλλων τύπων στοιχείων.

Συναρτήσεις μορφής (Shape functions) Μέσω των συναρτήσεων μορφής αναπαρίστανται τα πεδιακά μεγέθη (μετατοπίσεις, τάσεις) σε κάθε σημείο εντός του στοιχείου συναρτήσει των αντιστοίχων κομβικών τιμών. Για παράδειγμα στην περίπτωση ενός τριγωνικού στοιχείου το πεδιακό μέγεθος φ(x,y) αναπαρίσταται σε κάθε σημείο (x,y) εντός του στοιχείου από την προσεγγιστική σχέση: όπου φ1, φ2 και φ3 είναι οι κομβικές τιμές και Ν1, Ν2 και Ν3 οι συναρτήσεις μορφής.

Συναρτήσεις μορφής (Shape functions) Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων οι κομβικές τιμές του πεδιακού μεγέθους αποτελούν τους αγνώστους του προβλήματος. Οι συναρτήσεις σχήματος είναι συνήθως πολυωνυμικής μορφής και είναι προκαθορισμένες. Οι συναρτήσεις σχήματος ικανοποιούν συγκεκριμένες συνθήκες στους κόμβους του στοιχείου.

Βαθμοί ελευθερίας στοιχείου Έστω διδιάστατο τριγωνικό στοιχείο και βαθμωτό πεδιακό μέγεθος φ(x,y) για το οποίο ισχύει η ακόλουθη αναπαράσταση: Οι βαθμοί ελευθερίας του συγκεκριμένου στοιχείου είναι 3, δηλ όσοι και οι κόμβοι του.

Βαθμοί ελευθερίας στοιχείου Γενικά οι Βαθμοί ελευθερίας ενός στοιχείου ισούνται με το γινόμενο του αριθμού των κόμβων επί τον αριθμό των τιμών του πεδιακού μεγέθους (ή των παραγώγων του) που απαιτείται να υπολογισθούν σε κάθε κόμβο.

Είδη φορτίσεων Σημειακά φορτία Φορτία κατά μήκος μιας γραμμής Φορτιά κατανεμημένα σε επιφάνεια Φορτία που ασκούνται στον όγκο του σώματος. Στη μέθοδο των ΠΣ όλα τα φορτία ασκούνται, με κατάλληλες τεχνικές, στους κόμβους.

Είδη στηρίξεων Τα είδη των στηρίξεων λαμβάνονται υπ’ όψη στη συγκρότηση του Μητρώου Ακαμψίας και είναι: Περορισμός μετατόπισης σε συγκεκριμένες κατευθύνσεις Περιορισμός περιστροφών σε συγκεκριμένες κατευθύνσεις Οι στηρίξεις μπορούν να ασκηθούν: Σημειακά (Point support) Κατά μήκος μιας γραμμής (Line support) Επι δεδομένης επιφάνειας (Area support) Επι δεδομένου όγκου (Volume support) Στη μέθοδο των ΠΣ όλες οι στηρίξεις υλοποιούνται στους κόμβους.

Είδη Ανάλυσης Η ανάλυση μπορεί να είναι γραμμική ή μη γραμμική Γεωμετρικές μη-γραμμικότητες Μη-γραμμικότητες υλικού Το είδος της ανάλυσης εξαρτάται από: Το είδος των φορτίων Το είδος της κατασκευής (υλικό, γεωμετρία) Το είδος της απόκρισης Με τη μέθοδο των ΠΣ αντιμετωπίζονται υλικά: Ισοτροπικά Ορθοτροπικά Με γενική ανισοτροπία Τα προβλήματα μπορεί να είναι: στατικά (ανεξάρτητα του χρόνου) Δυναμικά (επίλυση στο πεδίο του χρόνου)

Είδη Ανάλυσης

Εξισώσεις Ισορροπίας- Γενική μορφή Γραμμική –Στατική Ανάλυση: Γραμμική –Δυναμική Ανάλυση: Μη-Γραμμική –Στατική Ανάλυση: Μη-Γραμμική –Δυναμική Ανάλυση: Μ = Μητρώο μαζών C = Μητρώο αποσβέσεων Κ = Μητρώο ακαμψίας F = Διάνυσμα φορτίσεων U = Διάνυσμα μετατοπίσεων

Βασικά Βήματα της Μεθόδου Διακριτοποίηση του συνεχούς μέσου Επιλογή συναρτήσεων παρεμβολής (shape functions) Υπολογισμός μητρώου ακαμψίας στοιχείου Κατασκευή συνολικού μητρώου ακαμψίας Κατασκευή διανύσματος φορτίσεων Ενσωμάτωση οριακών συνθηκών Επίλυση γραμμικού συστήματος – Υπολογισμός κομβικών μετατοπίσεων Υπολογισμός τάσεων

Μονοδιάστατα στοιχεία Είδη στοιχείων Μονοδιάστατα στοιχεία Διδιάστατα στοιχεία Τριδιάστατα στοιχεία Φυσική αναπαράσταση Αναπαράσταση FEM Αναπαράσταση FEM Φυσική αναπαράσταση Τυπική ονομασία FEM Φυσική αναπαράσταση Αναπαράσταση FEM Ειδικά στοιχεία

Γενικοί κανόνες μοντελοποίησης Σωστή απλοποίηση της γεωμετρίας Χρήση των απλούστερων στοιχείων που είναι κατάλληλα για το υπό θεώρηση πρόβλημα. Χρήση «αραιού πλέγματος» που όμως να προσφέρει την επιθυμητή ακρίβεια.

Πύκνωση πλέγματος ρωγμές γωνίες σημειακά φορτία σημεία επαφής οπές απότομη αλλαγή γεωμετρίας συγκολλήσεις επαφή διαφορετικών υλικών

Αναλογία διαστάσεων Κακά στοιχεία Καλά στοιχεία Πρέπει να αποφεύγεται η χρήση στοιχείων με τη μια πλευρά πολύ μικρότερη από τις υπόλοιπες Κακά στοιχεία Καλά στοιχεία

Επιφάνειες διεπαφής Τα στοιχεία δεν πρέπει να τέμνουν επιφάνειες διεπαφής

Προτιμιτέοι τύποι στοιχείων Σε περίπτωση που όλοι οι υπόλοιποι παράγοντες διατηρούνται ίδιοι: Στις δύο διαστάσεις είναι προτιμότερα τα τετράπλευρα σε σχέση με τα τρίγωνα στοιχεία. Τα τρίγωνα στοιχεία είναι πιο βολικά για την γεωμετρική προσέγγιση του μοντέλου, αλλά οδηγούν σε μειωμένη ακρίβεια Στις τρεις διαστάσεις είναι προτιμότερα τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, κατόπιν τα πλάγια παραλληλεπίπεδα και τέλος τα τετράεδρα. Το βασικό πρόβλημα με τα τετράεδρα είναι ότι μπορούν να οδηγήσουν σε ανακριβή υπολογισμό των τάσεων αν και ο υπολογισμός των παραμορφώσεων είναι σωστός.

Τραπεζοειδής κατανομή Άσκηση φορτίσεων Όλες οι φορτίσεις (πεδιακές δυνάμεις, κατανεμημένα φορτία, συγκεντρωμένες δυνάμεις) κατά την μοντελοποίηση πρέπει να μετασχηματισθούν σε ισοδύναμο σύστημα κομβικών φορτίσεων. Για μια μαθηματικώς συνεπή προσέγγιση θα πρέπει το έργο των πραγματικών φορτίσεων να ισούται με το έργο των ισοδύναμων κομβικών δυνάμεων. Στην πράξη, για την αποφυγή εκτενών υπολογισμών, η αναγωγή σε ισοδύναμο σύστημα κομβικών φορτίσεων μπορεί να γίνει με απλούστερους τρόπους. Η δύναμη Ρ ισούται με το εμβαδό της σκιαγραμμισμένης επιφάνειας Τραπεζοειδής κατανομή

Περιορισμός κίνησης στερεού σώματος Για την επίλυση του προβλήματος θα πρέπει να τεθούν κατάλληλες συνθήκες στήριξης που θα αποτρέπουν την κίνηση στερεού σώματος (ΚΣΣ) στο χώρο. Ελάχιστές στηρίξεις για την αποτροπή ΚΣΣ στις δύο διαστάσεις Ελάχιστές στηρίξεις για την αποτροπή ΚΣΣ στις τρεις διαστάσεις

Κατασκευαστική συμμετρία Η κατασκευαστική συμμετρία στην περίπτωση που συνοδεύεται από αντίστοιχη συμμετρία των ασκουμένων φορτίσεων μπορεί να αξιοποιηθεί για την εξοικονόμιση του υπολογιστικού φορτίου. Για την αξιοποίηση της συμμετρίας μοντελοποιείται ένα τμήμα της κατασκευής και στις εικονικές τομές εφαρμόζονται κατάλληλες συνθήκες συμμετρίας/αντισυμμετρίας.

Το τελικό σύστημα των διακριτών εξισώσεων Στη συνέχεια εφαρμόζοντας μεθόδους μητρωικής ανάλυσης κατασκευάζεται ένα γραμμικό σύστημα [n x n] της ακόλουθης μορφής: όπου: n = o συνολικός αριθμός των βαθμών ελευθερίας (DOF) Κ = το «γνωστό» μητρώο ακαμψίας (stiffness matrix), το οποίο εμπεριέχει τα γεωμετρικά δεδομένα και τις ιδιότητες των υλικών U = το «άγνωστο» άνυσμα των μετατοπίσεων, και F = το «γνωστό» άνυσμα των δυνάμεων

Εισαγωγή στη ΜΠΣ Από την επίλυση του συστήματος υπολογίζονται οι μετατοπίσεις στην ακόλουθη μορφή: Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των μετατοπίσεων υπολογίζονται οι παραμορφώσεις και οι τάσεις.

Δημιουργία πλέγματος – Τετράπλευρα Τετράπλευρα στοιχεία Να επιδιώκεται η χρήση τους όπου αυτό είναι εφικτό διότι οδηγούν σε ακριβέστερα αποτελέσματα. Η μεγαλύτερη ακρίβεια προκύπτει για τετράγωνα στοιχεία (λόγος πλευρών =1). Αν ο λόγος πλευρών είναι μεγαλύτερος άπό 1:5 η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων τίθεται υπό αμφισβήτηση. Αν τα εξάεδρα είναι ορθογώνια έχουμε καλύτερη ακρίβεια στα αποτελέσματα. Γωνίες μικρότερες από 30ο ή μεγαλύτερες από 150ο πρέπει να αποφεύγονται.

Δημιουργία πλέγματος – Τρίγωνα Τριγωνικά στοιχεία Δίνουν μικρότερη ακρίβεια σε σχέση με τα τετράπλευρα στοιχεία. Προσεγγίζουν «δύσκολες γεωμετρίες» Τα ισόπλευρα τρίγωνα δίνουν τη μεγαλύτερη ακρίβεια. Γενικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ευκολότερα σε περιοχές που απαιτείται πύκνωση του πλέγματος.

Δημιουργία πλέγματος – πυκνότητα Μεγαλύτερη πυκνότητα πλέγματος απαιτείτα: Περιοχές με καμπυλότητα ή έντονες αλλαγές στη γεωμετρία. Περιοχές στις οποίες αναμένονται έντονες μεταβολές των εσωτερικών δυνάμεων (στηρίξεις, σημεία άσκησης εξωτερικών φορτίσεων) Περιοχές συγκέντρωσης τάσεων. Πολλές φορές απαιτούνται δοκιμές σύγκλισης προκειμένου να προσδιορισθεί το βέλτιστο πλέγμα

Λογισμικά FEM - Δομή Pre-processor Solver Post Processor Γεωμετρική σχεδίαση Μοντελοποίηση Φορτίσεις Οριακές συνθήκες Ιδιότητες υλικών Solver Κατάστρωση και επίλυση του συστήματος των διακριτών εξισώσεων Post Processor Παρουσίαση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων

Λογισμικά FEM ANSYS Solidworks MSC Patran/ MSC Nastran MAESTRO TRIBON POSEIDON

Το μοντέλο ενός μικρού επιβατηγού σκάφους Εισαγωγή στη ΜΠΣ Το μοντέλο ενός μικρού επιβατηγού σκάφους

Οι ασκούμενες υδροστατικές πιέσεις Εισαγωγή στη ΜΠΣ Οι ασκούμενες υδροστατικές πιέσεις

Οι αναπτυσσόμενες μετατοπίσεις Εισαγωγή στη ΜΠΣ Οι αναπτυσσόμενες μετατοπίσεις

Οι αναπτυσσόμενες τάσεις Εισαγωγή στη ΜΠΣ Οι αναπτυσσόμενες τάσεις

Οι αναπτυσσόμενες τάσεις Εισαγωγή στη ΜΠΣ Οι αναπτυσσόμενες τάσεις

FEM model of a Container Ship

FEM model of a Container Ship – Typical loading

FEM model of a Container Ship – Partial results (VM stresses)

FEM model of a Container Ship – Partial results (buckling)

FEM model of a Container Ship – Fine mesh

FEM model of a Container Ship – Fine mesh results

Βιβλία μέσω ΕΥΔΟΞΟΥ (2 επιλογές) Βιβλιογραφία Βιβλία μέσω ΕΥΔΟΞΟΥ (2 επιλογές) Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 68369909 Συγγραφείς: Προβατίδης Χριστόφορος Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 45496 Συγγραφείς: Τσαμασφύρος Γεώργιος Ι.,Θεοτόκογλου Ευστάθιος

Προτεινόμενη Βιβλιογραφία Hughes, O. F: “Ship structural design”, John Wiley & Sons.  IACS, “Harmonized Common Structural Rules for Bulk Carriers & Oil tankers”, 2016  Hartmann, F., Katz, C., “Structural Analysis with Finite Elements”, Springer, 2007  Σταυρουλάκης, Γ., Μουράντοβα Κονταδάκη, Α., Σταυρουλάκη, Μ., 2015. Υπολογιστική μηχανική. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα:Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. Διαθέσιμο στο: http://hdl.handle.net/11419/4557   Περιοδικά Marine Structures, ELSEVIER  Finite Elements in Analysis and Design, ELSEVIER