Ομαλή κυκλική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα

Αν το φαινόμενο είναι κίνηση, έχουμε περιοδική κίνηση. Περιοδικό είναι ένα φαινόμενο που επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Αν το φαινόμενο είναι κίνηση, έχουμε περιοδική κίνηση. Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη ονομάζεται περίοδος (T). Ποια η μονάδα της; 1 δευτερόλεπτο (s)

Η συχνότητα Ν, είναι ο αριθμός των επαναλήψεων σε χρόνο t. Ένα μέγεθος , το οποίο εκφράζει το πόσο γρήγορα εξελίσσεται ένα περιοδικό φαινόμενο είναι η συχνότητα. H συχνότητα (f) μετράει το πλήθος των επαναλήψεων στην μονάδα του χρόνου. Για παράδειγμα ένας ανεμιστήρας που εκτελεί 8 περιστροφές κάθε δευτερόλεπτο, έχει συχνότητα 8Hz. Ν, είναι ο αριθμός των επαναλήψεων σε χρόνο t. t είναι ο χρόνος που απαιτήθηκε. Ορίζεται:

Παράδειγμα Ένας άνθρωπος είχε 120 σφυγμούς σε 1 min. Ποια είναι η συχνότητα των σφυγμών ;

Σχέση περιόδου - συχνότητας Αν t = T N =; Ν=1 Αν f=5ΜHz, πόση είναι η περίοδος;

Τι σημαίνει Ομαλή Κυκλική Κίνηση Είναι κίνηση: Με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο). Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό.

z B K R Δs A z' Ονομάζουμε (γραμμική) ταχύτητα ενός σημειακού αντικειμένου που κινείται σε καμπύλη (κυκλική) τροχιά, ένα διάνυσμα που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο του μήκους του τόξου Δs που διανύει το υλικό σημείο σε χρόνο Δt προς τον χρόνο αυτό.

Το διάνυσμα της (γραμμικής) ταχύτητας εφάπτεται στην κυκλική τροχιά, στο σημείο που κάθε χρονική στιγμή βρίσκεται το κινητό. z A K Δs R B z'

Το διάνυσμα της (γραμμικής) ταχύτητας εφάπτεται στην κυκλική τροχιά, στο σημείο που κάθε χρονική στιγμή βρίσκεται το κινητό.

Δηλαδή Είναι φανερό ότι αλλάζει η κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας.

Η γωνία S Αν S=R τότε φ=1rad φ R Παράδειγμα:

360ο 2π 180ο π 90ο φ 45ο 30ο

Γωνιακή ταχύτητα Έστω ένα σημείο που κινείται κυκλικά περί το Κ και την στιγμή t βρίσκεται στο Α. Β Α Κ Μετά πάροδο απειροελάχιστου χρόνου dt αυτό βρίσκεται στο Β ενώ η επιβατική ακτίνα διαγράφει στοιχειώδη γωνία dφ. Μονάδα μέτρησης: Ορίζουμε ως γωνιακή ταχύτητα το διανυσματικό μέγεθος του οποίου το μέτρο ισούται με:

Η διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας είναι κάθετη στο επίπεδο περιστροφής και η φορά φαίνεται στο σχήμα. Δεξιό χέρι Ο αντίχειρας δείχνει τη φορά του ω, όταν τα δάχτυλα δείχνουν την φορά τής περιστροφής.

Γωνιακή Ταχύτητα στην Κυκλική Κίνηση Γωνιακή Ταχύτητα: Γωνία σε Ακτίνια (rad) ccw dθ r r θ Δs r cw dθ r Μονάδες:

Η (γραμμική) ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση Σε μια ομαλή κυκλική κίνηση το κινητό σε χρόνο t=Τ κάνει μια πλήρη περιφορά, δηλαδή διανύει τόξο S = 2πR R Η ταχύτητα είναι σταθερή επομένως:

Η γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση Σε χρόνο Δt =Τ το κινητό κάνει μια πλήρη περιφορά, δηλαδή η γωνιακή μετατόπισή του είναι 2π (rad) Οπότε: Επίσης

Σχέση γραμμικής-γωνιακής ταχύτητας Σε χρονικό διάστημα dt το σημείο πηγαίνει από το Α στο Β. Β Η γωνιακή μετατόπιση είναι dφ dφ Η στοιχειώδης μετατόπιση είναι dx Α Όμως dx dS Άρα:

Σχέση γραμμικής-γωνιακής ταχύτητας Επίσης:

Αφού μεταβάλλεται το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας στην ομαλή κυκλική κίνηση, το σημειακό αντικείμενο αποκτά ……………………….. επιτάχυνση  

Επιτάχυνση στην Ομαλή Κυκλική Κίνηση θ θ

αk=ω2R ή Ονομάζεται : Κεντρομόλος επιτάχυνση. Η επιτάχυνση αυτή είναι κάθετη στην ταχύτητα με φορά προς το κέντρο του κύκλου. Ονομάζεται : Κεντρομόλος επιτάχυνση. κεντρομόλος <κέντρον + αρχ. μολεῖν του αορ. ἔμολον του ρ. βλώσκω (=έρχομαι) Το μέτρο της αk=ω2R ή

R Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι υπεύθυνη για την μεταβολή της διεύθυνσης της (γραμμικής) ταχύτητας.

Όταν ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, έχει επιτάχυνση: Η συνισταμένη των δυνάμεων που τού ασκούνται είναι: Η δύναμη αυτή ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη.

Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι δύναμη!! Προσοχή! Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι δύναμη!! Είναι ρόλος! Ρόλος τον οποίο παίζει η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Για παράδειγμα: Ποιες δυνάμεις ασκούνται στην κοπέλα;

Προσοχή! Μερικοί λένε (hoi polloi): Το βάρος της Η δύναμη από το κάθισμα Οι τάσεις των σχοινιών Και η κεντρομόλος

Προσοχή! Λάθος!! Κεντρομόλος είναι η συνισταμένη όλων αυτών.

Προσοχή! Λάθος!! Δηλαδή: Η συνισταμένη αυτών των δυνάμεων παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης. Fκ Σωστό

Μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις

Γιατί ο διάδρομος παρουσιάζει κλίση στη στροφή ; N ΣF Γιατί ο διάδρομος παρουσιάζει κλίση στη στροφή ; ΣF=Fκ mg

Προθέτοντας κλίσεις στις στροφές των δρόμων μειώνεται η πιθανότητα να γλιστρήσουν να αυτοκίνητα στις στροφές (όταν οι κλίσεις έχουν τη σωστή φορά). xx΄ yy΄ Figure 5-24. Caption: Normal force on a car rounding a banked curve, resolved into its horizontal and vertical components. The centripetal acceleration is horizontal (not parallel to the sloping road). The friction force on the tires, not shown, could point up or down along the slope, depending on the car’s speed. The friction force will be zero for one particular speed.

N ΣF= FΚ mg

ΣF mg

N ΣF mg

Πρέπει η ΣF να είναι οριζόντια. Πόσο πρέπει να γείρει; N Πρέπει η ΣF να είναι οριζόντια. ΣF θ mg

Τώρα καταλαβαίνω γιατί γέρνουν τόσο!

Fκ = Fν + w = Fν + m.g Fκ = Fν – w = Fν – m.g Στην ομαλή κυκλική κίνηση, η κεντρομόλος δύναμη είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα και βρίσκεται στη διεύθυνση της ακτίνας. Θέση Γ Γ Α Fκ = Fν + w = Fν + m.g mg Fκ Fν Θέση Α Fν Fκ Fκ = Fν – w = Fν – m.g mg Παράδειγμα: Το σημειακό αντικείμενο του σχήματος είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος και κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά. Να σχεδιάσετε την κεντρομόλο δύναμη στις θέσεις Α και Γ.

Δυναμική τής Ομαλής Κυκλικής Κίνησης Η κεντρομόλος δύναμη είναι απαραίτητη προκειμένου το αντικείμενο να μην κινείται σε ευθεία. Όταν πάψει να υπάρχει κεντρομόλος δύναμη (π.χ. κοπεί το σκοινί) το αντικείμενο συνεχίζει την πορεία του κατά μήκος της εφαπτομένης στο σημείου στο οποίο «κόπηκε» το σκοινί. ΝΑΙ Figure 5-16. Caption: If centrifugal force existed, the revolving ball would fly outward as in (a) when released. In fact, it flies off tangentially as in (b). For example, in (c) sparks fly in straight lines tangentially from the edge of a rotating grinding wheel. ΟΧΙ

Αυτοκίνητο σε οριζόντιο δρόμο

Από άλλη οπτική γωνία N T Στατική Τριβή mg

Εάν η τριβή δεν είναι επαρκής, το αυτοκίνητο θα συνεχίσει ευθεία, όπως δείχνουν και τα σημάδια στο δρόμο Figure 5-22. Caption: Race car heading into a curve. From the tire marks we see that most cars experienced a sufficient friction force to give them the needed centripetal acceleration for rounding the curve safely. But, we also see tire tracks of cars on which there was not sufficient force—and which unfortunately followed more nearly straight-line paths.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Ένα αυτοκίνητο μάζας 1000kg επιχειρεί στροφή ακτίνας 100m σε επίπεδο οδόστρωμα με ταχύτητα 20m/s (72km/h). Θα τα καταφέρει η θα «γλιστρήσει»; Υποθέστε (α) στεγνό οδόστρωμα με συντελεστή στατικής τριβής μs=0,60 και (β) παγωμένο οδόστρωμα με μs=0,25. ΛΥΣΗ Η κεντρομόλος δύναμη που απαιτείται για τη στροφή είναι Δηλαδή FΚ =4.000Ν Το ρόλο της κεντρομόλου θα τον έχει η τριβή η οποία είναι: Τ = μsFN= μsmg Figure 5-23. Caption: Example 5–14. Forces on a car rounding a curve on a flat road. (a) Front view, (b) top view. Solution: The normal force equals the weight, and the centripetal force is provided by the frictional force (if sufficient). The required centripetal force is 4500 N. The maximum frictional force is 5880 N, so the car follows the curve. The maximum frictional force is 2450 N, so the car will skid. Στο στεγνό οδόστρωμα Τ=6.000Ν, άρα το αυτοκίνητο θα πάρει τη στροφή με ασφάλεια. Με παγωμένο, όμως, οδόστρωμα Τ=2.500Ν. Το αυτοκίνητο θα κάνει στροφή μεγαλύτερης ακτίνας (περίπου 160m), δηλαδή θα φύγει από το δρόμο.

Δέχομαι δύναμη προς τα μέσα κι’ όμως δεν κινούμαι... Μέσα στο βαρέλι …

Ν=mω2R (1) (1),(2) μmω2R=mg T N Τ=mg μΝ=mg (2) R mg ω Πόση πρέπει να είναι η ω για να μην πέσει ο άνθρωπος; T Η Ν θα παίξει το ρόλο της κεντρομόλου Ν=mω2R (1) N Στον κατακόρυφο άξονα Τ=mg μΝ=mg (2) (1),(2) μmω2R=mg R mg ω

Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση Δεν είναι σταθερή Υπάρχει και επιτρόχια επιτάχυνση: Συνισταμένη επιτάχυνση: κλπ… Γωνιακή επιτάχυνση …εκτός των άλλων, βγάζει και