Προβλήματα Μεταφοράς: Παραδείγματα και Εφαρμογές Μεταφοράς / Εκχώρησης Ελαχιστοποίησης κόστους ροής Εφαρμογές σε Προβλήματα εύρεσης δέντρου επικάλυψης ελαχίστου κόστους υπολογισμού μέγιστης ροής από δίκτυο εύρεσης βέλτιστης διαδρομής

Δικτυακή Simplex [0] A B C D E F [30] [60] [-50] [-40] 4 5 2 3 Δεδομένης μίας διατύπωσης προβλήματος σε μορφή δικτύου, τότε η δικτυακή simplex μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την γρήγορη εύρεση της βέλτιστης λύσης Η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προβλήματα με και χωρίς φραγμούς

Δέντρο επικάλυψης Ελάχιστου Κόστους (Minimum Spanning Tree) 1 3 2 4 5 6 7 8 9 8 1 3 2 5 7 6 4 Πρόβλημα: Θέλουμε να ενώσουμε όλους τους κόμβους με καλώδιο έτσι ώστε να μπορούν να επικοινωνούν μεταξύ τους. Ποίος είναι ο καλύτερος τρόπος που μπορούμε να το επιτύχουμε;

Διατύπωση ΓΠ 1 3 2 4 5 6 7 8 9 Μεταβλητές 6 7 8 9 Μεταβλητές xij =1 εάν το τόξο (i-j) ανήκει στο δέντρο xij =0 εάν το τόξο (i-j) δεν ανήκει στο δέντρο Αντικειμενική Συνάρτηση Περιορισμοί

Αλγόριθμος Ελαχίστου δέντρου επικάλυψης (Minimum Spanning Tree Algorithm) Τυχαία επιλέξτε ένα αρχικό κόμβο Από όλους τους κόμβους που «γειτονεύουν» με τον αρχικό κόμβο, διαλέξτε αυτόν που ενώνεται χρησιμοποιώντας το τόξο με το ελάχιστο κόστος Σε κάθε βήμα, διαλέξτε τον «ελεύθερο» κόμβο που γειτονεύει με κόμβους του υπό κατασκευή δέντρου χρησιμοποιώντας πάλι το τόξο με το μικρότερο κόστος. Σταματήστε μόλις ενωθούν όλοι οι κόμβοι.

Παράδειγμα 1 3 2 4 5 6 7 8 9 8 1 3 2 5 7 6 4 Πρόβλημα: Θέλουμε να ενώσουμε όλους τους κόμβους με καλώδιο έτσι ώστε να μπορούν να επικοινωνούν μεταξύ τους. Ποίος είναι ο καλύτερος τρόπος που μπορούμε να το επιτύχουμε;

Εφαρμογές Δέντρων επικάλυψης Ελάχιστου Κόστους Σχεδιασμός δικτύων τηλεπικοινωνιών Σχεδιασμός δικτύων μεταφοράς Σχεδιασμός δικτύων παροχής ηλεκτρισμού Καλωδίωση εργοστασίου Σχεδιασμός δικτύων αγωγών (π.χ., υδατοπρομήθεια και αποχετευτικό σύστημα) …

Πρόβλημα Μέγιστης Ροής (Maximum Flow Problem) 1 3 4 2 5 6 S 7 8 F (9) (8) (2) (3) (4) (7) (1) Πρόβλημα: Ποιος ο μέγιστος αριθμός μονάδων που μπορούν να μεταφερθούν από το S στο F. Το πρόβλημα παρουσιάζεται εξ’ αιτίας των άνω φραγμών σε κάθε τόξο.

Maximum Flow Problem 1 3 4 2 5 6 S 7 8 F (9) (8) (2) (3) (4) (7) (1)

Θεώρημα Μέγιστης Ροής 1 3 4 2 5 6 S 7 8 F (9) (8) (2) (3) (4) (7) (1) Τομή (cut) ενός δικτύου είναι ο διαμερισμός του δικτύου σε δύο μέρη έτσι ώστε S και F βρίσκονται σε διαφορετικά μέρη. Θεώρημα μέγιστης ροής-ελάχιστης τομής: Η μέγιστη ροή είναι ίση με την δυναμικότητα της ελάχιστης τομής.

Αλγόριθμος Εύρεσης Μέγιστης Ροής i j Εάν σε κάποιο βήμα υποθέσουμε ροή xij τότε γράφουμε Βρέστε μία αύξουσα διαδρομή από την πηγή στον προορισμό Βρείτε την μέγιστη δυναμικότητα της αύξουσας διαδρομής (έστω t). Αυξήστε την ροή κάθε τόξου που ανήκει στην αύξουσα διαδρομή κατά t. Μειώστε την υπόλοιπη δυνατότητα κάθε τόξου της αύξουσας διαδρομής κατά t. Αυξήστε την υπόλοιπη δυνατότητα κάθε τόξου που βρίσκεται πάνω στην αύξουσα διαδρομή αλλά κατευθύνεται στην αντίθετη φορά

Παράδειγμα A D B C E O T 4 2 5 7 1 3 9 6 Ποιος ο μέγιστος αριθμός λεωφορείων που μπορεί να διακινηθεί μέσα στο πάρκο;

Παράδειγμα Αρχική Μορφή Ολική Ροή: A D B C E O T 4 2 5 7 1 3 9 6 T Βρέστε μία αύξουσα διαδρομή. Πια ή δυναμικότητα αύξησης;

Παράδειγμα Ολική Ροή: A D B C E O T Βρέστε μία νέα αύξουσα διαδρομή. 4 2 1 5 3 9 T Βρέστε μία νέα αύξουσα διαδρομή. Πια ή δυναμικότητα αύξησης;

Παράδειγμα Ολική Ροή: A D B C E O T Βρέστε μία νέα αύξουσα διαδρομή. 1 2 3 4 6 8 7 T Βρέστε μία νέα αύξουσα διαδρομή.

Εφαρμογές Προβλημάτων Μέγιστης Ροής Υπολογίστε τη μέγιστη ροή δεδομένων σε ένα δίκτυο τηλεπικοινωνιών. Υπολογίστε τη μέγιστη ηλεκτρική ενέργεια που μπορεί να μεταφερθεί από ένα δίκτυο μεταφοράς. Υπολογίστε τη μέγιστη ροή προϊόντων στο δίκτυο διανομής μίας εταιρείας Υπολογίστε τη μέγιστη ροή πετρελαίου μέσα από ένα δίκτυο αγωγών Υπολογίστε τη μέγιστη ροή οχημάτων μέσα από το οδικό δίκτυο …

Πρόβλημα Ελαχίστης Διαδρομής (Shortest Path Problem) 1 3 4 2 5 6 S 7 8 F 9 Πρόβλημα: Βρείτε την καλύτερη διαδρομή από S στο F

Διατύπωση Απλού Προβλήματος Simple Shortest Path Problem Μεταβλητές xij =1 εάν το τόξο (i-j) ανήκει στη διαδρομή xij =0 εάν το τόξο (i-j) δεν ανήκει στη διαδρομή 1 4 3 2 5 Αντικειμενική Συνάρτηση

Shortest Path Problem 1 3 4 2 5 6 S 7 8 F 9

Αμφίδρομα Τόξα (Bi-directional Arcs) 3 8 2 1 6 9 6 4 5 5 4 F 2 S 3 2 1 8 2 4 7 2 7 5 5

Αμφίδρομα Τόξα (Bi-directional Arcs) 1 3 2 4 5 S 6 7 F 9 8 1 3 2 5 7 6 4

Εφαρμογές Προβλημάτων Βέλτιστης Διαδρομής Ελάχιστος χρόνος συμπλήρωσης ενός έργου Ελάχιστο κόστος διεκπεραίωσης διεργασιών ...

Πρόβλημα 1-1 Supply Period 1 Period 2 Period 3 Plant A Plant B 4 8 5 9 7 11 Supply Period 1 Period 2 Period 3 Demand D Demand E Demand F 3 4 2 10 6

Πρόβλημα 1-1

Πρόβλημα 1-2 Inventory Cost = h Supply Period 1 Period 2 Period 3 Plant A Plant B 4 8 5 9 7 11 Supply Period 1 Period 2 Period 3 Demand D Demand E Demand F 3 4 2 10 6 Inventory Cost = h

Πρόβλημα 1-2

Πρόβλημα 2 Unit Cost Prod. Limit Prod. Loc. Per. 1 Per. 2 L1 L2 $25 $30 $35 $42 6 10 2 9 Demand Con. Loc. Per. 1 Per. 2 C1 C2 3 5 1 4 Shipping Cost Period 1 Period 2 C1 C2 L1 L2 $50 $40 $60 $70 $80 $90 L1 L2 C1 C2 Inv. Cost Limit $1 2 $2 3 $3 1 $4

Πρόβλημα 2

XYZ Co. Ltd Η εταιρεία XYZ κατασκευάζει ένα προϊόν σε 2 εργοστάσια (F1, F2) με μέγιστη παραγωγή 50 και 100 μονάδες αντίστοιχα. Τα παραχθέντα προϊόντα μπορούν να σταλούν στο κέντρο διανομής W χωρητικότητας 100 μονάδων, ή μπορούν να διοχετευτούν απευθείας στα σημεία κατανάλωσης D1, D2, D3 τα οποία έχουν ζήτηση 40, 20 και 80 μονάδες αντίστοιχα. Για προϊόντα από τα εργοστάσια, το κόστος μεταφοράς κάθε μονάδας υπολογίζεται ως ακολούθως: Για 0-20 μονάδες $1 για κάθε 100Km, για 20-40 μονάδες $2 για κάθε 100Km και για περισσότερες από 40 μονάδες $3 για κάθε 100Km. Από το κέντρο διανομής, το κόστος είναι $2 για κάθε 100Km ανεξάρτητα από την ποσότητα. Οι αποστάσεις των εργοστασίων έχουν ως εξής (Km) W D1 D2 D3 F1 F2 1000 2000 - 4000 1500 3000

XYZ Co. Ltd

Πρόβλημα 3: Ανανέωση Μηχανημάτων Πρόβλημα 3: Ανανέωση Μηχανημάτων Period P1 P2 P3 P4 Purchase pi 100 120 130 140 Salvage vi 50 25 10 Run Cost ri 30 70

Πρόβλημα 3 (Ανανέωση Μηχανημάτων) Κάθε κόμβος αντιπροσωπεύει την αρχή της περιόδου κατά την οποία η μηχανή ανανεώθηκε.