Βασικές αρχές Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Διάλεξη 7η Διδάσκων Εμμανουήλ Κ. Οικονόμου
Στοιχεία θεωρίας σφαλμάτων Αναλογικό σφάλμα Ισοβαρείς παρατηρήσεις Καλύτερη τιμή μετρήσεων Πιθανό σφάλμα μιας μέτρησης Τυπικό σφάλμα μετρήσεων Ιστόγραμμα σφαλμάτων Μετάδοση σφαλμάτων Τυπικό σφάλμα καλύτερης τιμής ισοβαρών παρατηρήσεων Τυπικό σφάλμα γενικευμένου μέσου όρου ανισοβαρών παρατηρήσεων
Αναλογικό σφάλμα Τα σφάλμα γραμμικών μεγεθών που συνήθως εξαρτώνται από τα μεγέθη που αναφέρονται εκφράζονται συχνά σαν αναλογικά σφάλματα δηλαδή ως κλάσματα και ως ppm (parts per million) σs = οποιοδήποτε σφάλμα μήκους S = μήκος
Ισοβαρείς παρατηρήσεις Ισοβαρείς είναι οι μετρήσεις ενός μεγέθους που έγιναν όλες με το ίδιο σύστημα (δηλ. όργανο μέτρησης, μέθοδος παρατήρησης, παρατηρητής, συνθήκες μετρήσεις) και μπορεί να θεωρηθεί ότι έχουν όλες την ίδια ακρίβεια και θα πρέπει να συμβάλουν όλες το ίδιο στο τελικό αποτέλεσμα. Ανισοβαρείς είναι οι μετρήσεις στις οποίες έχει διαφοροποιηθεί το όργανο ή ο παρατηρητής ή οι συνθήκες ή και άλλοι «παράγοντες». Οι ανισοβαρείς μετρήσεις ΔΕΝ συμμετέχουν το ίδιο η κάθε μια στη μέση τιμή
Ισοβαρείς παρατηρήσεις Από την θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικής γνωρίζουμε ότι: Η συχνότητα εμφάνισης ενός θετικού σφάλματος είναι ίδια με την συχνότητα εμφάνισης ενός αρνητικού σφάλματος Τα μικρά σφάλματα εμφανίζονται πιο συχνά από ότι τα μεγάλα Μεγάλα σφάλματα είτε δεν εμφανίζονται καθόλου είτε έχουν μικρή πιθανότητα εμφάνισης
Ισοβαρείς παρατηρήσεις Καλύτερη τιμή καλύτερη εκτίμηση της αληθινής τιμής ενός μεγέθους Πιθανό σφάλμα μιας μέτρησης xi Τυπικό σφάλμα μιας σειράς n μετρήσεων Μεταβλητότητα σ2 Βαθμός ελευθερίας n-1
Ιστόγραμμα Ιστόγραμμα λέγεται η απεικόνιση της κατανομής μιας συγκεκριμένης σειράς μετρήσεων ή σφαλμάτων. Στον άξονα των ψ υπάρχει η συχνότητα ( πόσες μετρήσεις αντιστοιχούν) στο διάστημα τιμών ή σφαλμάτων που ορίζεται στον άξονα των τετμημένων σε ένα μικρό διάστημα (βήμα) Μεταξύ - 2σ και 2σ η πιθανότητα των τιμών είναι 95.4% και μεταξύ -3σ και 3σ είναι 99.7% Τα πιθανά σφάλματα θεωρείται ότι συμπεριφέρονται όπως τα τυχαία και ακολουθούν την στατιστική κατανομή Gauss
Ιστόγραμμα Εάν το ύψος της καμπύλης h είναι μικρό τότε η καμπύλη Gauss είναι πλατειά και σημαίνει ότι υπάρχει διασπορά των τιμών των μετρήσεων. Εάν το ύψος της καμπύλης h είναι μεγάλο σημαίνει ότι οι πιο πολλές μετρήσεις βρίσκονται κοντά στη μέση τιμή h1 h2 h3
Έστω ότι η μετρούμενη ποσότητα γ είναι μια συνάρτηση μιας μεταβλητής γ = γ (x), η οποία έχει τη μορφή του σχήματος: Αν θεωρήσουμε ότι η καμπύλη μεταξύ x0-δx και x0+δx προσεγγίζει ευθύγραμμο τμήμα (με δx μικρό → dx), τότε ισχύει γ(x) x0 x0+δx x0-δx γ0 γmin γmax x Επομένως το σφάλμα μπορεί να προσεγγιστεί με Δηλαδή το σφάλμα δγ εξαρτάται τόσο από το σφάλμα στην μεταβλητή x όσο και από το πόσο μεταβάλλεται η τιμή της συνάρτησης γ(x) γύρω από την τιμή γ0
Σφάλματα: Συνοπτική παρουσίαση Μέση (Καλύτερη) Τιμή Σφάλμα μέτρησης Τυπικό σφάλμα μετρήσεων Μεταβλητότητα Ισοβαρείς Παρατηρήσεις Ίδια μέθοδος παρατήρησης Ίδιος παρατηρητής Ίδιες καιρικές συνθήκες Ίδια μέρα Ίδιο όργανο μέτρησης
Σφάλματα: Συνοπτική παρουσίαση Μέση (Καλύτερη) Τιμή σετ μετρήσεων i όπου ο συνολικός αριθμός μετρήσεων είναι N Μέση (Καλύτερη) Τιμή όλων των μετρήσεων Βάρος σετ μετρήσεων i Ανισοβαρείς Παρατηρήσεις Διαφορετικά όργανα μέτρησης Διαφορετικές καιρικές συνθήκες Διαφορετική μέρα μέτρησης Διαφορετικοί παρατηρητές κλπ.
Σφάλματα: Συνοπτική παρουσίαση Μέση (Καλύτερη) Τιμή σετ μετρήσεων i όπου ο συνολικός αριθμός μετρήσεων είναι N Γενικευμένος Μέσος Όρος όλων των μετρήσεων Τυπικό σφάλμα μονάδας βάρους Τυπικό σφάλμα Γενικευμένου Μέσου όρου Ανισοβαρείς Παρατηρήσεις Διαφορετικά όργανα μέτρησης Διαφορετικές καιρικές συνθήκες Διαφορετική μέρα μέτρησης Διαφορετικοί παρατηρητές κλπ.
Σφάλματα: Συνοπτική παρουσίαση Διάδοση σφαλμάτων Αν έχουμε μια συνάρτηση y=f(x1, x2,…, xn) τότε το σφάλμα της καλύτερης τιμής είναι