Normalna raspodela

Raspodele verovatnoće Raspodela kontinuirane verovatnoće Binomna Hipergeometrijska Poisson-ova Raspodele verovatnoće Raspodela diskretne verovatnoće Normalna Uniformna Eksponencijalna

Normalna raspodela Normalna gustina raspodele verovatnoće: srednja vrednost standardna devijacija

Osobine normalne raspodele zvonastog” oblika simetrična unimodalna asimptotska srednja vrednost, medijana i modus su jednaki Raspodelu definišu srednja vrednost, m, i standardna devijacija, s. Srednja vrednost kontroliše centar, a standardna devijacija širinu

Osobine normalne raspodele Standardna devijacija je rastojanje od srednje vrednosti do tačke gde kriva menja oblik od konkavne na dole u konkavnu na gore

Mnogo normalnih raspodela Postoji beskonačan broj normalnih raspodela Promenom parametara μ i σ, dobijaju se različite normalne raspodele

Primeri podataka sa normalnom raspodelom očekivani životni vek osoba u populaciji visina težina IQ visina plata parametri vremenske prognoze podaci iz proizvodnje društvenih nauka i dr.

Standardizovano odstupanje (z-score) Odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraženo u broju standardnih devijacija z-score je razlika između posmatrane vrednosti i srednje vrednosti podeljena sa standardnom devijacijom na primer: ako je z = 2, vrednost je udaljena 2 standardne devijacije od srednje vrednosti Ako je -3,0 > z-score > 3,0 vrednost se smatra ekstremnom

Z-score - primer Prosečan unos proteina 77 g/dan, Sd = 8 g, N = 500 Gde se nalazi osoba koja unosi 93 g/dan ? Osoba koja unosi 93 g/dan ima vrednost koja je za 2 Sd veća od prosečnog unosa proteina Negativan z-score znači da je vrednost manja od srednje vrednosti

Standardizovana normalna raspodela z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednošću 0 i standardnom devijacijom 1 standardizovana normalna raspodela standardizovana normalna kriva = 0  = 1 ≠ 0  ≠ 1 standardizovana normalna kriva je simetrična oko nule najveći deo površine ispod krive leži izmedju -3z i 3z površina ispod standardne normalne krive je 1 krajevi krive se asimptotski približavaju x-osi

Primer Ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću μ = 5 i standardnom devijacijom σ = 2, z vrednost za x = 6,2 je Ovo znači da se vrednost x = 6,2 nalazi 0,6 standardnih devijacija (0,6 inkremenata od 2 jedinice) iznad srednje vrednosti

Standardizovana normalna raspodela Primer Normalna raspodela Standardizovana normalna raspodela 6,2 x 0,6 σ = 2 σz = 1 μ = 5 μz = 0 z

Standardizovana normalna raspodela Primer Normalna raspodela Standardizovana normalna raspodela x z σ = 2 σz = 1 μ = 5 μz = 0 2,5 7,5 -1,25 1,25

Nalaženje verovatnoće Verovatnoća je površina ispod krive! f(x) c d x

Verovatnoća kao površina ispod krive Ukupna površina ispod krive je 1,0 Raspodela je simetrična f(x) x μ 0,5

Tabela standardizovane normalne raspodele Tablica standardizovane normalne raspodele daje verovatnoću, odnosno površinu za vrednosti manje od željene vrednosti z (od - ∞ do z) primer: P(z < 2,00) = 0,9772 0.9772 z 2,00

Tabela standardne normalne raspodele U kolonama su vrednosti z na drugom decimalnom mestu Z 0,00 0,01 0,02 … 0,0 0,1 U redovima su vrednosti z do prvog decimalnog mesta Verovatnoća/površina za vrednosti manje z manje od željene vrednosti z . 2,0 0,9772 P(z < 2,00) = 0,9772 2.0

Procedura za određivanje verovatnoće Za određivanje P(x < b) kada je varijabla x normalno distribuirana: varijabla x se prevede u z koristi se tabela standardne normalne raspodele Primer: Odrediti P(x < 8,6), ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5 8,6 x 8,0

Određivanje verovatnoće levo od z - Primer Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. Ako je potrebno 8,6 poena da se ispit položi, koji procenat studenata nije položio ispit? Ako je ispit je polagalo 250 studenata, koji broj studenata nije položio ispit? 1. Izračunati vrednost z 2. Odrediti površinu levo od z i izraziti je u procentima 3. Izračunati broj studenata iz dobijenog procenta

Određivanje površine za z < 0,64 x 8,6 8 μ = 8 σ = 2,5 μ = 0 σ = 1 P(x < 8,6) P(z < 0,64)

Površina za z < 0,64) Z ,00 .... 0,0 0,5000 0,5080 0,5398 0,6 0,7257 0,7389 ,04 0,1 0,5478 Tabela standardizovane normalne raspodele P(x < 8,6) ) = P(z < 0,64) = 0,7389 0,7389 z 0,64 0,00 73,89% studenata ima manje od 8,6 poena 185 (250 x 0,7389) studenata ima manje od 8,6 poena

Površina i.e. verovatnoća Koja je verovatnoća da student ima tačno 8,6 poena? P(x = 8,6) ) = P(z = 0,64) = 0

Određivanje površine desno od z Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. Odrediti P(x > 8,6) x 8,6 8,0

Određivanje verovatnoće desno od z P(x > 8,6) = P(z > 0,64) = 1,0 – P(z ≤ 0,64) = 1,0 – 0,7389 = 0,2611 Z 0,64 0,7389 1,000 1,0 – 0,7389 = 0,2611 26,11% studenata ima više od 8,6 poena 65 (250 x 0,2611) studenata ima više od 8,6 poena

Određivanje površine između dve vrednosti z Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. Odrediti P(8,0 < x < 8,6) z 0,64 x 8,6 8 Izračunati vrednost z : P(8 < x < 8,6) = P(0 < z < 0,64)

Rešenje: Određivanje P(0 < z < 0,12) P(8 < X < 8.6) = P(0 < z < 0,64) = = P(z < 0,64) – P(z ≤ 0) = = 0,7389 – 0,500 = 0,2389 Z ,00 .... 0,0 0,5000 0,5080 0,5398 0,6 0,7257 0,7389 ,04 0,1 0,5478 Tabela standardizovane normalne raspodele z 0,64 0,2389 0,00 0,5000

Važne površine ispod krive Površina između -1z i +1z = 0,6826 = 68,3% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -1z i +1z : P = 0,6826 = 68,3%

Važne površine ispod krive U rasponu μ ± 1σ je 68,3% površine ispod krive 68,3% svih vrednosti f(x) x μ μ+1σ μ-1σ σ 68,26%

Važne površine ispod krive Površina između -2z i +2z = 0,9544 = 95,4% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -2z i +2z : P = 0,9544 = 95,4% Površina između -3z i +3z = 0,9974 = 99,7% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -3z i +3z : P = 0,9974 = 99,7%

Važne površine ispod krive U rasponu μ ± 2σ je 95,4% površine ispod krive 95,4% svih vrednosti U rasponu μ ± 3σ je 99,7% površine ispod krive 99,7% svih vrednosti x μ 2σ 95.44% μ+2σ μ-2σ x μ 3σ 99.73% μ-3σ μ+3σ

Određivanje vrednosti x iz verovatnoće Određivanje vrednosti x iz poznate verovatnoće: pronaći vrednost z za poznatu verovatnoću (površinu) konvertovati vrednost z u vrednost x

Određivanje vrednosti x iz verovatnoće Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. Odrediti vrednost x tako da je 20% svih vrednosti manje od x (P = 0,2) x ? 8,0 0,2000 Z

Određivanje vrednosti x iz verovatnoće Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. Koji je granični broj poena koji ima 20% studenata sa najmanjim brojem poena? 1. Izračunati vrednost z iz date verovatnoće/površine 2. Izračunati vrednost x

Nalaženje vrednosti z iz tabele 1. Pronalaženje vrednost z za poznatu verovatnoću 20% površine (P = 0,2) u levom delu raspodele odgovara vrednosti z = - 0,84 Z ,03 -0.9 ,1762 ,1736 ,2033 -0.7 ,2327 ,2296 ,04 -0.8 ,2005 Tabela standardizovane normalne raspodele ,05 ,1711 ,1977 ,2266 … x ? 8.0 0,2000 Z -0,84

Određivanje vrednosti x 2. Konvertovanje vrednosti z u vrednost x U raspodeli sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5 , 20% vrednosti je manje od 5,9 20% studenata ima manje od 5,9 poena

Domaći zadatak Prosečna težina beba rođenih u jednoj bolnici je 3,25 kg sa standardnom devijacijom od 0,75 kg. Raspodela težina 10000 beba rođenih tokom 10 godina u toj bolnici je normalna. Izračunati sledeće: Verovatnoću da se u toj bolnici rodi beba koja ima težinu između 3 i 3,5 kg? Koji procenat beba ima težinu najmanje 4 kg? Koliko je dečaka rođeno sa težinom najmanje 3.5 kg? (računati kao da je rođen podjednak broj dečaka i devojčica) Bebe sa malom težinom zahtevaju specijalnu negu. Ako je bolnica definisala kao kritično malu težine u prvom kvintilu, izračunati koja je maksimalna težina na rođenju koja će bebu kvalifikovati za specijalnu negu (inkubator i sl.)