ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 12ο Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε συναρτήσεις δύο και περισσότερων μεταβλητών, υπολογίζετε μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης συναρτήσεων με δύο και περισσότερες μεταβλητές, χρησιμοποιείτε τον τύπο του διαφορικού.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Αν f(x,y)=5x+xy2-10 και g(x1,x2,x3)=x1+x2+x3 Να υπολογιστούν (1) f(0,0) (2) f(1,2) (3) f(2,1) (4) g(5,6,10) (5) g(10,5,6)

ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Έστω η συνάρτηση z=f(x,y) τότε μπορούμε να ορίσουμε τις δύο παραγώγους πρώτης τάξης της συνάρτησης: Η μερική παράγωγος της f ως προς x γράφεται 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ή 𝜕𝑓 𝜕𝑥 ή 𝑓 𝑥 Υπολογίζεται αν παραγωγίσουμε την f ως προς x, θέτοντας το y ως σταθερό. Ανάλογα ορίζουμε και υπολογίζουμε την μερική παράγωγο ως προς y.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων: f(x,y)=x2+y3 f(x,y)=x2y Λύση (α) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑦 3 𝑥 ′ =2𝑥 και 𝑓 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 3 𝑦 ′ = 3𝑦 2 (β) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑦 𝑥 ′ =2𝑥𝑦 και 𝑓 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 𝑦 ′ = 𝑥 2

ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Για μια συνάρτηση με δύο μεταβλητές z=f(x,y) η δυνατότητα παραγώγισης για δεύτερη φορά οδηγεί σε τέσσερις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης: Διπλή παραγώγιση ως προς x: 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 ή 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 ή 𝑓 𝑥𝑥 Διπλή παραγώγιση ως προς y: 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 ή 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑦 2 ή 𝑓 𝑦𝑦 Παραγώγιση πρώτα ως προς x και έπειτα ως προς y: 𝜕 2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 ή 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 ή 𝑓 𝑦𝑥 Παραγώγιση πρώτα ως προς y και έπειτα ως προς x: 𝜕 2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 ή 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 ή 𝑓 𝑥𝑦

ΘΕΩΡΗΜΑ YOUNG Για όλες τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούμε στα οικονομικά ισχύει: 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑓 𝑦𝑥

ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ Όταν σε μια συνάρτηση z=f(x,y) έχουμε μια οριακή μεταβολή των x και y, τότε προκαλείται μια ανάλογη μεταβολή στο z. Συμβολίζουμε τις μεταβολές Δx,Δy και Δz αντίστοιχα. Οι οριακές αυτές μεταβολές επίσης συμβολίζονται και με dx,dy,dz όπου τα σύμβολα αυτά ονομάζονται διαφορικά. Συνολικά ισχύει: 𝑑𝑧= 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑑𝑦 Τύπος του διαφορικού της συνάρτησης f

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Για συναρτήσεις δύο μεταβλητών z=f(x,y) υπολογίζουμε τα στάσιμα σημεία λύνοντας ταυτόχρονα τις εξισώσεις: 𝜕𝑧 𝜕𝑥 =0 και 𝜕𝑧 𝜕𝑦 =0 Το στάσιμο σημείο με συντεταγμένες (a,b) είναι ελάχιστο αν ισχύουν τρεις συνθήκες 𝑓 𝑥𝑥 𝑎,𝑏 >0, 𝑓 𝑦𝑦 𝑎,𝑏 >0, 𝑓 𝑥𝑥 𝑎,𝑏 𝑓 𝑦𝑦 𝑎,𝑏 − 𝑓 𝑥𝑦 𝑎,𝑏 2 >0 Το στάσιμο σημείο με συντεταγμένες (a,b) είναι μέγιστο αν ισχύουν τρεις συνθήκες 𝑓 𝑥𝑥 𝑎,𝑏 <0, 𝑓 𝑦𝑦 𝑎,𝑏 <0, 𝑓 𝑥𝑥 𝑎,𝑏 𝑓 𝑦𝑦 𝑎,𝑏 − 𝑓 𝑥𝑦 𝑎,𝑏 2 >0