JEDNAČINA PRAVE Begzada Kišić

Osnovni zadaci analitičke geometrije su : - nacrtati liniju čija je jednačina data - naći jednačinu date linije. Postoje razni oblici jednačine prave u zavisnosti od toga čime je ona određena.

Eksplicitni (glavni) oblik Položaj prave u koordinatnom sistemu jednoznačno je određen: - uglom α koji prava zatvara (gradi) sa pozitivnim smjerom ose x i - odsječkom n koji prava odsijeca na osi y.

Ako posmatramo jednu pravu i znamo ugao α i odsječak n naš zadatak je odrediti njenu jednačinu. Uzećemo proizvoljnu tačku date prave M(x,y). Veza između koordinata x i y predstavljaće jednačinu date prave.

U pravouglom trouglu imamo ugao α pa primjenom trigonometrije dobijamo:

Jednačina (1) : y=kx+n predstavlja eksplicitni ili glavni oblik jednačine prave. Da bi neka tačka pripadala datoj pravoj njene koordinate moraju zadovoljiti jednačinu prave. Parametri k i n su za datu pravu konstante i od njih zavisi položaj prave u koordinatnom sistemu.

Specijalni slučajevi

Primjer 1. Napisati jednačinu prave koja sa osom x gradi ugao α=60˚, a na osi y odsijeca odsječak n=-2. Rješenje: Tražena jednačina u eksplicitnom obliku je y=kx+n pri čemu je:

Segmentni oblik Položaj prave jednoznačno je određen odsječcima (segmentima) koje prava odsijeca na koordinatnim osama. Postoji samo jedna prava koja na osi x odsijeca odječak m, a na osi y odsijeca odsječak n. Treba odrediti jednačinu te prave.

Kod sličnih trouglova stranice su proporcionalne pa je:

Jednačina (2) predstavlja segmentni oblik jednačine prave. Primjer 2. Nacrtaj grafik prave čija je jednačina Rješenje: Datu jednačinu možemo napisati u obliku:

Zaključujemo da data prava odsijeca na koordinatnim osama odsječke n=1 i m=3.

Implicitni (opći) oblik Svaka linearna jednačina: ax+by+c=0 (3) sa dvije nepoznate predstavlja jednačinu prave u implicitnom obliku.

Implicitni oblik možemo prevesti u eksplicitni oblik

Takođe implicitni oblik možemo prevesti u segmentni oblik

Primjer 3. Data je jednačina prave u implicitnom obliku 2x-3y+6=0. Odredi njen koeficijent pravca k i odsječke m i n koje ona odsijeca na koordinatnim osama. Rješenje: Da bismo odredili parametre k, m i n moramo jednačinu prave napisati u eksplicitnom i segmentnom obliku.

a)

Sad kad znamo odsječke lako je nacrtati pravu.

Zaključak: Da bismo napisali jednačinu date prave moramo iskoristiti podatke da odredimo njene parametre. Ako odredimo koeficijent pravca k i odsječak n na osi y možemo je napisati u eksplicitnom obliku. Ako izračunamo njene odsječke m i n na koordinatnim osama možemo je napisati u segmentnom obliku. Svaki oblik jednačine prave možemo transformisati u ostale oblike.

Zadaci: 1. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(6,-4) i na osi x odsijeca odsječak 3. 2. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(3,-7) i na koordinatnim osama odsijeca jednake odsječke. 3. Prava prolazi kroz tačku M(-5,4) i sa koordinatnim osama gradi trougao površine P=5. Odredi njenu jednačinu. 4. U jednačini 2x-(5p-2)y-3=0, odrediti parametar p tako da grafik prave sa osom x gradi ugao α=45˚.

HVALA NA PAŽNJI!