Vijetove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce Lidija Boroš, ml03028

1. Vijetove formule * Pomoću koeficijenata kvadratne jednačine izražavamo njena rešenja; Vijetove formule su upravo veze izmedju koeficijenata kvadratne jednačine i njenih rešenja.

Brojevi x1 i x2 su rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0 ako i samo ako je x1+x2=-b/a i x1x2=c/a. Ove dve jednakosti se nazivaju Vijetove formule. Dokaz: Pretpostavimo da su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0. Tada je pa će biti x1+x2= i x1x2 = .

Sada pretpostavimo da važi x1+x2= i x1x2= ,  b= -a(x1+x2) i c= ax1x2 pa našu kvadratnu jednačinu ax²+ bx +c=0 možemo zapisati ovako: ax²- a(x1+x2)x+ ax1x2=0 a[x²- (x1+x2)x+ x1x2]=0 a[x(x-x1)- x2(x-x1)]=0 a[(x-x1)(x-x2)]=0 što upravo znači da su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax²+ bx +c=0.

Primer 1 Napisati kvadratnu jednačinu a) čija su rešenja x1= 4 i x2= -6 b) čije je jedno rešenje x1= 3-2i. Rešenje: a) x1= 4 i x2= -6 x1 +x2 = 4+(-6)= -2 i x1 x2 = 4*(-6)= -24 naša jednačina je oblika a[x²- (x1+x2)x +x1x2]=0 a[x²- (-2)x +(-24)]=0 a[x²+ 2x- 24]=0 pa za na primer a=1 dobijamo jednačinu: x²+ 2x- 24=0.

b) Ako je x1= 3-2i jedno rešenje kvadratne jednačine, tada je drugo rešenje njemu konjugovano x2= 3+2i, pa će biti x1 +x2 = 6 i x1 x2 = 13. Koristeći Vijetove formule dobijamo da je naša jednačina oblika: a[x²- (x1+x2)x +x1x2]=0 a[x²- 6x +13]=0 pa za na primer a= 1 jednačina je: x²- 6x +13=0.

Primer 2: U jednačini mx² -3mx +2=0 odrediti vrednost realnog parametra m tako da njena rešenja zadovoljavaju uslov x1²+x2²= 5. Rešenje: Iz jednačine vidimo da je x1+x2=3 i x1x2= . x1²+x2²= 5 (x1+x2)²- 2x1x2= 5 9- = 5  4=  m= 1.

Primer 3: Neka su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine 2x²+3x-4=0. Koristeći Vijetove formule izračunati vrednost izraza 8x1²-3x1x2+8x2². Rešenje: x1+x2=-3/2, x1x2=-2  8x1²-3x1x2+8x2²=8(x1²+x2²)-3x1x2 =8(x1+x2)²-19x1x2 =8*(9/4)-19*(-2) =18+38 =56.

Zadaci za vežbu: Napisati kvadratnu jednačinu ako su joj rešenja: x1 =2, x2 =3; b) x1=-1, x2=-6; c) jedno rešenje je x1 =1-i; d) jedno rešenje je x1=4+2i. 2. Koristeći Vijetove formule naći rešenja kvadratnih jednačina a) x²-9x+18=0 b) 2x²+7x-4=0 c) x²-x-2=0. 3. Odrediti vrednost realnog parametra k za koje rešenja x1 i x2 jednačine (k+4)x²+(4k-3)x+3k=0 zadovoljavaju jednakost a) x1=-x2 b) x1x2=1 c)x1=1-x2.

2. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce Kvadratni trinom po x je izraz oblika ax²+bx+c gde su a, b, c brojevi i a≠0. Brojeve a, b, c nazivamo koeficijentima kvadratnog trinoma ax²+bx+c.

ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2). **Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0, tada se kvadratni trinom po x: ax²+bx+c može rastaviti na linearne činioce na sledeći način: ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2). Dokaz: Koristeći Vijetove formule dobijamo ax²+bx+c=a(x²+xb/a+c/a) =a(x²-(x1+x2)x+x1x2) =a(x-x1)(x-x2).

Važi i obrnuto: Ako je ax²+bx+c=a(x-α)(x-β), tada su α i β rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0. Činioci (x-x1) i (x-x2) su linearni po x pa je sa a(x-x1)(x-x2) dato rastavljanje kvadratnog trinoma ax²+bx+c na linearne činioce.

Primer 1: Rastaviti kvadratni trinom a) 3x²+8x-3 b) x²-4x+5 na linearne činioce. Rešenje: a) Rešenja kvadratne jednačine 3x²+8x-3=0 su x1=-3 i x2=1/3 pa će biti 3x²+8x-3 =3(x+3)(x-1/3) =(x+3)(3x-1). b) Rešenja kvadratne jednačine x²-4x+5=0 su x1=2-i i x2=2+i pa kvadratni trinom x²-4x+5 možemo faktorisati ovako: x²-4x+5=[x-(2-i)][x-(2+i)] =[x-2+i][x-2-i].

Primer 2: Skratiti razlomak: 3x²-7x+2 2x²-5x+2 Rešenje: Rešenja kvadratne jednačine 3x²-7x+2=0 su x1=1/3 i x2=2 3x²-7x+2=3(x-1/3)(x-2)=(3x-1)(x-2); slično, rešenja jednačine 2x²-5x+2=0 su x1=1/2 i x2=2 pa je 2x²-5x+2=(2x-1)(x-2) 

Zadaci za vežbu Rastaviti na linearne činioce sledeće kvadratne trinome: 2x²+7x+6 b) 4x²+19x-5 c)x²-kx-6k², za neki realan broj k 2. Skratiti razlomke: a) b) c)

3. Primena Vijetovih formula Pored već pomenute upotrebe Vijetovih formula pri formiranju kvadratnih jednačina ako su joj data rešenja i rastavljanja kvadratnog trinoma na linearne činioce, Vijetove formule se mogu upotrebiti i za utvrđivanje znaka realnih rešenja kvadratne jednačine.

**Rešenja x1 i x2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima ax²+bx+c=0 su realna i pozitivna ako i samo ako je b²-4ac≥0, b/a<0, c/a>0. Dokaz: Neka su x1 i x2 realna i pozitivna rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0  D=b²-4ac≥0. Kako važi x1≥0 i x2≥0  x1+x2≥0, x1x2≥0 -b/a≥0, c/a≥0  b/a<0, c/a >0. Neka je sada b²-4ac≥0, b/a<0, c/a>0. Na osnovu Vijetovih formula dobijamo sledeće: -(x1+x2)<0, x1x2>0 tj. x1+x2>0, x1x2>0 x1>0 x2>0.

**Rešenja x1 i x2 kvadratne jednačine ax²+bx+c=0 su realna i negativna ako i samo ako je b²-4ac≥0, b/a>0, c/a>0. Dokaz sličan malopređašnjem. **Slično, važi: Rešenja kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su realna i različita ako i samo ako je b²-4ac≥0, c/a<0. Ako je pri tome ~ <0, veće je po apsolutnoj vrednosti pozitivno rešenje; ~ >0, veće je po apsolutnoj vrednosti negativno rešenje; ~ =0, rešenja su dva suprotna realna broja.

Primer 1. Koristeći Vijetove formule, odrediti znak rešenja kvadratne jednačine 3x²+ 7x +2=0. Rešenje: Iz kvadratne jednačine možemo videti da su nam dati koeficijenti: a= 3, b= 7, c= 2  D= b²-4ac= 7²-4*3*2= 49-24= 25>0  Rešenja su realna. = 2/3 >0  rešenja su istog znaka = 7/3 >0  rešenja su negativna.

Primer 2: Koristeći Vijetove formule odrediti znak rešenja kvadratne jednačine x²- (k-1)x- k=0 u zavisnosti od realnog parametra k. Rešenje: D= (k-1)²+ 4k= (k+1)² ≥0, za svako k iz R. Jednačina ima realna rešenja. x1+x2= k-1, x1x2= -k. » Za k-1<0 i k<0: oba rešenja su negativna, x1<x2<0; » za k-1<0 i k>0  x1 <0< x2, |x1|>|x2|; » za k-1>0 i k>0  x1 <0< x2, |x1|<|x2|; » za k=0  x²+x= 0  x(x+1)= 0  x= 0 ili x= -1; » za k=1  x²-1= 0  (x-1)(x+1)=0  x1= 1 ili x2= -1.

Primer 3: Dokazati da brojevi √2 i 1/√2 ne mogu biti rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koeficijentima. Rešenje: Pretpostavimo da x1=√2 i x2=1/√2 jesu rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koefocijentima ax²+bx+c=0  x1+x2=√2+1/√2=-b/a 3/√2=-b/a  -3a/b=√2. Mora biti b≠0, jer bi u suprotnom bilo 0=3/√2, a to nije tačno  √2 je racionalan, kontradikcija √2 i 1/√2 nisu rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koeficijentima.

Zadaci za vežbu: Ne koristeći formule za dobijanje rešenja kvadratne jednačine, utvrditi kakvog su znaka njena rešenja: a) 5x²-2x-10=0 b) 2x²+7x+3=0. 2. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje su koreni kvadratne jednačine (m-2)x²-2mx+2m+2=0 realni i različitog znaka je: a) (-1, 2); b) (2, ∞); c) (-7, -2). 3. Skup svih vrednosti realnog parametra a za koje su rešenja kvadratne jednačine x²-(a+2)x+a+5=0 negativna je podskup skupa a) (-∞, -6]; b) [-6, -5]; c) (-5, -4].

Kraj!!!