dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Univerzitet u Novom Sadu Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin” Zrenjanin TEORIJSKA MEHANIKA KINEMATIKA dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Zrenjanin, 2016/2017.

Složeno kretanje tačke Koriolisova teorema

Ima smisla govoriti o složenom kretanju tačke onda, kada postoji kretanje tela, a takođe postoji i kretanje tačke u odnosu na to telo. Složeno kretanje podrazumeva kretanje tela u odnosu na dva koordinatna sistema pri čemu jedan stoji a drugi se kreće (primer: kretanje kugle po brodu koji se kreće, nepokretni sistem je obala a pokretni brod).

Kretanje koje vrši tačka M u odnosu na pokretni koordinatni sistem Oxyz zvaćemo relativno kretanje. Putanja AB koju opisuje tačka M pri svom relativnom kretanju zove se relativna putanja. Kretanje koje vrši pokretni koordinatni sistem Oxyz i zajedno sa njim čvrsto vezane pojedine tačke prostora u odnosu na nepokretni koordinatni sistem O1x1y1z1 za tačku M je prenosno kretanje. Brzina tačke koja je čvrsto vezana za pokretni koordinatni sistem Oxyz i sa kojom se u datom trenutku poklapa tačka M zove se prenosna brzina tačke M u tom trenutku i nju označavamo sa Kretanje koje vrši tačka u odnosu na nepokretni koordinatni sistem O1x1y1z1 zove se apsolutno ili pak složeno kretanje. Putanja CD tog kretanja zove se apsolutna putanja, brzina-apsolutna brzina a ubrzanje apsolutno ubrzanje

Primer: Na slici je prikazan prenosni element (ploča) koji vrši obrtanje oko nepomične ose, koja je upravna na ravan crteža i prolazi kroz tačku B. Sa prenosnim elementom se zajedno kreće i pokretni koordinatni sistem vezan za njega. Takođe je prikazan i nepokretni koordinatni sistem yOx, fiksiran za nepokretnu okolinu, kao i dve tačke koje vrše složeno kretanje, to su tačke M i N. Relativno kretanje tačke M je pravolinijsko, s obzirom da se ona kreće po pravolinijskom žljebu urezanom u prenosni element. Relativno kretanje tačke N je kružno, s obzirom da se ta tačka kreće po kružnom žljebu urezanom u prenosni element. U problemima će biti jako važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska, jer od toga zavise važni podaci koji se tiču vektora relativne brzine i relativnog ubrzanja.

Vektori relativne, prenosne i apsolutne brzine i jednakost koja ih povezuje Tačka M vrši složeno kretanje i kreće se duž svoje relativne putanje, i na toj putanji izvrši realivno pomeranje određeno vektorom I putanja AB izvrši pomeranje do A1B1, pa se dešava i prenosno pomeranje Kao rezultat ovih dvaju pomeranja, tačka M se pomeri u položaj M1 i izvrši apsolutno pomeranje

Po definiciji je: kada →0 Pravci brzina se poklapaju sa tangentama na odgovarajuće putanje. Prema teoriji, vektor apsolutne brzine tačke, koja vrši složeno kretanje, jednak je zbiru vektora njene prenosne brzine i relativne brzine.

Primer: Prenosna brzina je brzina one tačke prenosnog elementa na kojoj se (odnosno, nad kojom se), posmatranom trenutku vremena, nalazi tačka koja vrši složeno kretanje. Ako sa M’ označimo tu tačku prenosnog elementa nad kojom se u posmatranom trenutku vremena nalazi tačka M, koja vrši složeno kretanje, onda je jasno da je vektor prenosne brzine jednak vektoru brzine tačke M’, dakle Pošto prenosni elementi na ovim slikama vrše obrtanja oko nepomičnih osa, pravci prenosnih brzina su upravni na duži BD , dok su im smerovi u skladu sa smerovima ugaonih brzina ω prenosnih elemenata. Za relativnu brzinu je veoma važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska. Ako je pravolinijska, pravac vektora relativne brzine mora biti isti kao i pravac pravolinijske relativne putanje (Sl.1). Ako je relativna putanja krivolinijska, pravac vektora relativne brzine mora se poklopiti sa pravcem tangente na relativnu putanju (Sl.2).

Vektori relativnog, prenosnog, Koriolisovog i apsolutnog ubrzanja tačke koja vrši složeno kretanje i jednakost koja ih povezuje - relativno ubrzanje pri relativnom kretanju - prenosno ubrzanje pri relativnom kretanju Apsolutno ubrzanje tačke pošto je pri složenom kretanju sledi

a) Slučaj translatornog prenosnog kretanja Slika pokazuje kretanje koordinatnog sistema xyz i krive AB zajedno sa njim, i kriva AB preći će u položaj A1B1. Apsolutno ubrazanje tačke u ovom slučaju jednako je

b) Slučaj kada prenosno kretanje nije translatorno javlja se Koriolosovo (obrtno) ubrzanje tačke ac pa je apsolutno ubrzanje: Iz ove formule proizilazi Koriolosova teorema koja glasi: Ako prenosno kretanje nije translatorno onda je apsolutno ubrzanje tačke jednako geometrijskom zbiru tri ubrzanja: relativnog koje karakteriše promena relativne brzine pri relativnom kretanju, prenosnog koje karakteriše promenu prenosne brzine pri prenosnom kretanju i koriolisovog, koje karakteriše promenu relativne brzine pri prenosnom kretanju i prenosne brzine pri relativnom kretanju.

Prenosno ubrzanje je ubrzanje one tačke prenosnog elementa na kojoj se (odnosno, nad kojom se), u posmatranom trenutku vremena, nalazi tačka koja vrši složeno kretanje. Ako sa M’ označimo tu tačku prenosnog elementa nad kojom se u posmatranom trenutku vremena nalazi tačka M, koja vrši složeno kretanje, onda je jasno da je vektor prenosnog ubrzanja jednak vektoru ubrzanja tačke M’, dakle Ako prenosni element vrši obrtanje oko nepomične ose, vektor ubrzanja tačke M’, nad kojom se nalazi tačka M, koja vrši složeno kretanje, mora biti razložen na normalnu i tangencijalnu komponentu. S obzirom da bi u takvom slučaju imali da je samim tim bi pisali:

Za relativno ubrzanje je veoma važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska. Ako je pravolinijska, pravac vektora relativnog ubrzanja mora biti isti kao i pravac pravolinijske relativne putanje (Sl.1). Ako je relativna putanja krivolinijska, pravac tangencijalne komponente vektora relativnog ubrzanja mora se poklopiti sa pravcem tangente na relativnu putanju (Sl.2). Ali, osim tangencijalne komponente vektor ima i svoju normalnu komponentu koja je usmerena ka centru krivine relativne putanje i čiji je intenzitet određen formulom gde je Rk poluprečnik krivine relativne putanje.

U velikom broju primera relativna krivolinijska putanja je kružna pa je u takvom slučaju Rk jednako poluprečniku kruga R relativne kružne putanje. U takvom slučaju vektor je usmeren ka centru tog kruga. Koriolisovo ubrzanje Prema teoriji Koriolisovo ubrzanje određuje formula gde je ω vektor ugaone brzine prenosnog elementa. Pravac i smer vektora ugaone brzine određuje pravilo desne ruke (sl.1)

U cilju određivanja pravca i smera Koriolisovog ubrzanja treba uočiti ravan π koju obrazuju prvi i drugi član u vektorskom proizvodu (sl.2 i sl.3). Zatim se pravilom desne ruke odrede pravac i smer Koriolisovog ubrzanja (Prste desne ruke postaviti u ravni π tako da su prsti usmereni od prvog vektora u vektorskom proizvodu ka drugom najkraćim putem. Palac desne ruke pokazaće pravac i smer Koriolisovog ubrzanja). Intenzitet Koriolisovog ubrzanja:

U slučaju kakvi se često sreću u praksi, kada je u pitanju ravanski mehanizam, gde je vektor ω upravan na ravan crteža, a u samoj ravni crteža leži vektor vr, ugao θ je 90o i samim tim, intenzitet Koriolisovog ubrzanja je U takvom slučaju (sl.4), pravac i smer Koriolisovog ubrzanja acor mogu se dobiti, okretanjem vektora vr u smeru ω za 90o

Hvala na pažnji!