Giáo viên: Lâm Thị Ngọc Châu GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH f(x)=0 Bằng 3 phương pháp Phương pháp lặp đơn Phương pháp dây cung Phương pháp tiếp tuyến Tên SV: Tống Minh Hải – MSSV: LT11733 Mã học phần: CT124 Lớp: 01

x = φ(x); Phương pháp lặp đơn: 1.1 Nguồn gốc: Đầu tiên, phương pháp lặp đi lặp lại có lẽ để giải quyết một hệ thống tuyến tính xuất hiện một lá thư của Gauss đến một sinh viên của mình. Ông đề xuất giải quyết một chương trình hệ thống 4-by-4 bằng cách giải quyết lặp đi lặp lại nhiều lần các thành phần trong đó thặng dư là lớn nhất. 1.2 Giải thuật: Xét phương trình f(x) = 0 Giả sử rằng phương trình có nghiệm trên đoạn [a, b] * Ta đưa phương trình trên về dạng như sau: x = φ(x);

1.2 Giải thuật (tt): * Bước lặp: Chọn giá trị ban đầu Xây dựng dãy {xn} như sau: x1 = φ(xo); x2 = φ(x1); …………… xn = φ(xn-1); (với n = 1,2,3,….) * Nếu dãy {xn} hội tụ đến nghiệm của phương trình thì người ta nói rằng đã giải gần đúng phương trình và xn là nghiệm gần đúng của phương trình.

* Định lý: Nếu phép biến đổi x = φ(x) thỏa các điều kiện: Thì ta có những kết luận sau: + Phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x* thuộc đoạn [a, b]. + Dãy xn = φ(xn-1) hội tụ về x*.

+ Khi đó xn được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình và sai số được ước lượng bởi công thức: Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình chính xác đến cho trước, ta phải thực thi bước lặp cho đến khi sai số nhỏ hơn hoặc bằng độ chính xác.

1.3 Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau đây bằng phương pháp lặp đơn trên đoạn [9, 10] với x3 + x – 1000 = 0 Giải: Đặt f (x) = x3 + x – 1000 Ta có: f (9) = 93 + 9 – 1000 = -262 f (10) = 103 + 10 – 1000 = 10 Vì f(9).f(10) < 0 nên phương trình có nghiệm trên đoạn [9, 10]

* Có nhiều cách đưa phương trình trên về dạng x = φ(x) như sau: Xét từng trường hợp ta được: . với φ(x) = 1000 - x3 ta có: Vậy thì không thỏa điều kiện

. với ta có: Vậy thì không thỏa điều kiện

. với ta có: * Như vậy với thỏa điều kiện với q = 0.00335

* Áp dụng công thức lặp: + Với n=0 thì x0 = 10 + Với n=1 thì Với sai số được tính: Do sai số > nên qua bước lặp tiếp theo.

+ Với n=2 thì Với sai số = 3,77.10-7 > , qua bước lặp tiếp theo + Với n=3 thì x3 = φ(x2) = 9.96666679, sai số = 1,27.10-9 < Ta có: tại vòng lặp n = 3, thì sai số tại vòng lặp này thỏa điều kiện ≤ cho trước Vậy nghiệm gần đúng của phương trình: x3 = 9.96666679

Ta có bảng kết quả sau:

2. Phương pháp dây cung: 2.1 Giải thuật: Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn [a, b]. Giả sử rằng phương trình f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0, có đạo hàm cấp hai f”(x) > 0 (lõm), liên tục trên đoạn [a, b] (nếu ngược lại ta xét phương trình -f(x) = 0).

Ta xét 2 trường hợp sau đây: (f(a) > 0 và f(a) < 0) * Trường hợp f(a) > 0: Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(a, f(a)), B(b, f(b)) có phương trình: Và cắt trục x tại điểm có tọa độ được xác định bởi:

Từ đó ta sẽ xây dựng dãy {xn} theo cách sau: Dãy {xn} là đơn điệu giảm và bị chặn dưới vì a<….<xn<….< x0 = b nên hội tụ về x* là nghiệm của phương trình. xn được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình. (1)

* Trường hợp f(a) < 0: Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(a, f(a)), B(b, f(b)) có phương trình: Và cắt trục y tại điểm có tọa độ được xác định bởi:

Từ đó người ta sẽ xây dựng dãy {xn} theo cách sau: Dãy {xn} là đơn điệu tăng và bị chặn trên vì x0 =a>….>xn>….>b nên hội tụ về x* là nghiệm của phương trình. xn được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình. (2)

0 < m ≤ |f’(x)| ≤ M < +∞ * Định lý: Giả sử rằng f’(x) không đổi dấu trên đoạn [a, b] và xác định được: 0 < m ≤ |f’(x)| ≤ M < +∞ Thì sai số của phương pháp dây cung được ước lượng như sau: Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình chính xác đến cho trước, ta phải thực thi bước lặp cho đến khi sai số nhỏ hơn hoặc bằng độ chính xác.

2.2 Ví dụ: Giải phương trình x3 + x2 + x − 1 = 0 bằng phương pháp dây cung trên đoạn [0;1] với Giải: Ta đặt: f(x) = x3 +x2 +x −1 Tính: f(0) = 03 +12 +0 −1 = -1 f(1) = 13 +12 +1 −1 = 2 Do f(0).f(1) < 0 nên phương trình có nghiệm trên đoạn [0;1]

m=1 ≤ |f’(x)| ≤ M=6 Ta có: f’(x) = 3x2 +2x +1 Với f’(0) = 1 và f’(1) = 6 nên thỏa điều kiện f’(x) không đổi dấu trên đoạn [0;1] và xác đinh được: Mặt khác: f”(x) = 6x +2 > 0, do f”(0) = 2 và f”(1) = 8 m=1 ≤ |f’(x)| ≤ M=6 0≤x≤1

Do f(0) = -1 < 0 nên ta áp dụng công thức lặp (2) và ta có dãy {xn} như sau:

- Lặp với n=0, chọn x0=a=0 Lặp với n=1, ta có kết quả: Với sai số của x1 là: Lặp với n=2, ta có kết quả: x2 = 0.470588 Với sai số của x2 là: - Lặp với n=3, ta có kết quả: x3 = 0.519534 Với sai số của x3 là: 0.244732 > > >

- Lặp với n=4, ta có kết quả: x4 = 0.535853 Với sai số của x4 = 0.081597 - Lặp với n=5, ta có kết quả: x5 = 0.541163 Với sai số của x5 = 0.026549 - Lặp với n=6, ta có kết quả: x6 = 0.542876 Với sai số của x6 = 8,56.10-3 - Lặp với n=7, ta có kết quả: x7 = 0.543428 Với sai số của x7 = 2,79.10-3 - Lặp với n=8, ta có kết quả: x8 = 0.543605 Với sai số của x8 = 8,86.10-4 < Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là: x8 = 0.543605 > > > >

Ta có bảng kết quả sau:

3. Phương pháp tiếp tuyến: 3.1 Giải thuật: Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên đoạn [a, b]. Giả sử rằng phương trình f’(x) và f”(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a, b] Với được chọn trước, phương trình tiếp tuyến tại điểm (x0,f(x0)) có dạng: y = f’(x0)(x- x0) + f(x0) Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là:

Dựa vào kết quả trên người ta xây dựng được dãy {xn} như sau: * Định lý: Nếu f(a).f(b)<0, f’(x) và f”(x) khác không và không đổi dấu trên đoạn [a, b] thì dãy {xn} sẽ hội tụ về nghiệm x* của phương trình. xn được gọi là nghiệm gần đúng với sai số được ước lượng như sau:

Với: 0 ≤ M1 ≤ |f”(x)| và 0 ≤ M2 ≤ |f’(x)| a ≤ x ≤ b a ≤ x ≤ b Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình chính xác đến cho trước, ta phải thực thi bước lặp cho đến khi sai số nhỏ hơn hoặc bằng độ chính xác.

3.2 Ví dụ: Dùng phương pháp Newton giải phương trình x3 − 2x − 10 = 0 trên đoạn [2;3], với Giải: Đặt f (x) = x3 − 2x − 10. Khi đó ta có: f(2) = 23 − 2.2 − 10 = -6 f(3)= 33 − 2.3 − 10 = 11 Do f(2). f(3) < 0 nên phương trình có nghiệm trên [2;3]. Ta tìm nghiệm gần đúng trong khoảng này.

f’(x) = 3x2 − 2 => f’(2) = 3.22 - 2 = 10 ; f’(3) = 3.32 - 2 = 25 Ta có: f’(x) = 3x2 − 2 => f’(2) = 3.22 - 2 = 10 ; f’(3) = 3.32 - 2 = 25 f”(x) = 6x => f”(2) = 6.2 = 12 ; f”(3) = 6.3 = 18 Vì f(3).f”(3) > 0 nên ta chọn x0 = 3. Mặt khác: Do 12 ≤ |f”(x)| ≤ 18 nên có thể chọn M1 = 12 2≤x≤3 Do 10 ≤ |f’(x)| ≤ 25 nên có thể chọn M2 = 10 2≤x≤3

Ta xây dựng dãy {xn} như sau: Với n= 0, chọn x0 = 3 (Vì f(3).f”(3) > 0) Với n= 1, thì Với sai số: Với n=2, thì x2 = 2.4662; với sai số = 5,28.10-3 Với n=3, thì x3 = 2.4621; với sai số = 1,03.10-5 < Vậy nghiệm gần đúng của phương trình x3 = 2.4621 >

Ta có bảng tính sau: Nghiệm gần đúng của phương trình x3 = 2.4621

CHÂN THÀNH CẢM ƠN!