Išvestinė Paruošė: Vaida Muleronkaitė, IVe Mokytoja: Drąsutė Jatkonienė

Reikalavimai egzaminui Suprasti terminus argumento pokytis, funkcijos pokytis; išvestinę suvokti kaip funkcijos reikšmių kitimo greitį ir taikyti šią sampratą nesudėtingiems uždaviniams spręsti. Naudojantis išvestinių skaičiavimo taisyklėmis mokėti apskaičiuoti daugianarių išvestines. Naudojantis išvestinėmis mokėti tirti daugianariais apibrėžtas funkcijas (rasti reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus, ekstremumų taškus, ekstremumus, didžiausią ir mažiausią reikšmes duotame intervale, nubraižyti grafiką). Nesudėtingais atvejais taikyti laipsninės, tiesioginių trigonometrinių, rodiklinės, logaritminės funkcijų išvestinių formules ir funkcijos sumos, skirtumo, sandaugos, santykio, sudėtinės funkcijos išvestinių skaičiavimo taisykles. Taikyti išvestines paprasčiausiems realaus turinio uždaviniams spręsti.

Užrašyti funkcijos grafiko liestinės taške lygtį ir gebėti ją taikyti uždaviniams spręsti. Gebėti atlikti funkcijos tyrimą ir jį argumentuoti. Taikyti išvestines braižant funkcijų grafikus ir sprendžiant nesudėtingas problemas. Gebėti rasti paprasčiausių funkcijų pirmykštes funkcijas. Mokėti apskaičiuoti paprastus apibrėžtinius integralus ir juos taikyti paprastųjų kreivinių trapecijų plotams apskaičiuoti.

Argumento pokytis - sumažėjusi arba padidėjusi nepriklausomojo kintamojo reikšmė. Žymima Δx. Δx = x – x0. Skirtumą f(x0 + Δx) – f(x0) vadiname funkcijos f (x) reikšmių pokyčiu taške x0, atitinkančiu kintamojo x pokytį Δx, ir žymime Δf(x0): Δf(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0). y y Δy y0 Δx x x0 x Pavyzdys. Apskaičiuokime funkcijos f(x) = x3 reikšmių pokytį taške x0 = 1, kai argumento x pokytis yra Δx = 0,2. Sprendimas. Δf(1) = f(1 + 0,2)3 – f(1)3 = 1,23 – 13 = 0,728.

Tolydžios funkcijos y = f(x) pokyčio Δy ir jį atitinkančio argumento pokyčio Δx santykio baigtinė riba, kai Δx artėja prie nulio, vadinama funkcijos f(x) išvestine (x atžvilgiu) taške x = a. Ją žymime f ’(a) arba y’(a). = = tg α = kliest Δx0 Δx0 Pavyzdys. Nustatykite funkcijos f(x) = x2 liestinės statumą taške x = 1. Sprendimas. tg α = = = = Δx0 Δx 0 Δx0 = = = Δx0 Δx0 = = lim (Δx + 2) = 2. Δx0 Δx0 Ats.: Taške x = 1 tg α = 2.

Judėjimo greitis Jeigu funkcija s(t) reiškia materialaus taško nueitą kelią iki laiko momento t, tai momentinis greitis v(t) laiko momentu t lygus funkcijos s(t) išvestinei, momentinis pagreitis a(t) – funkcijos v(t) išvestinei: v(t) = s’(t), a(t) = v’(t). Pavyzdys. Materialusis taškas juda tiese pagal dėsnį s(t) = (6 – t)(2t – – 4) + 10, kol visiškai sustoja, s(t) – nueitas kelias(m), t – laikas(s). Kokį kelią taškas nueina, kol sustoja? Sprendimas. s(t) = (6 – t)(2t – 4) + 10 = 12t – 24 – 2t2 + 4t + 10 = – 2t2 + 16t – 14 v(t) = (– 2t2 +16t – 14)’ = – 4t + 16; po kurio laiko v(t) = 0? 16 – 4t = 0 4t = 16 t = 4(s) s(4) = (6 – 4)(8 – 4) + 10 = 2  4 + 10 = 80(m). Ats.: Kol sustoja, taškas nueina 80 metrų.

Išvestinių skaičiavimas Taisyklės Formulės C’  0 X’  1 (u + v)’  u’ + v’; čia u  u(x), v  v(x) (u1 + u2 +...+ un)’  u1 ’+ + u’2 + +...+ u’ n (u  v)’  u’v + v’u; čia u  u(x), v  v(x) (c  u)’  c  u’, čia u  u(x) (xn)’  n  xn-1 (ax)’  ax ln a (ex)’  ex (loga x)’  (ln x)’ (sin x)’  cos x (cos x)’  -sin x (tg x)’ 9. (ctg x)’  =

Sudėtinės funkcijos išvestinės skaičiavimas Jeigu y = f(u), o u(x) yra diferencijuojamosios funkcijos, tai sudėtinės kintamojo x funkcijos y = f(u(x)) išvestinė lygi išvestinių f (u) ir u(x) sandaugai: (f(u(x)))’ = f ’(u)  u’(x), arba y’(x) = y’(u)  u’(x). Pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijų išvestines: a) f(x) = sin4(x × ln x); b) f(x) = e1–4x. Sprendimas. a) f ’(x) = ((sin (x  ln x))4)’ = = 4sin3 (x × ln x)  sin(x × ln x)’ = 4sin3 (x × ln x)  cos (x × ln x) × (x × ln x)’ = = 4sin3 (x × ln x)  cos (x × ln x) × (ln x + 1). b) f ’(x) = e1–4x  (1– 4x)’ = – 4e1–4x.

Liestinės lygtis Liestinės lygtis: y = f(x0) + f ’(x0)  (x – x0). Pavyzdys. Parašykite funkcijos f(x) = x3 – 3x2 grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką, kurio abscisė x0 = –1, lygtį. Sprendimas. 1) f(x0) = f(–1) = (– 1)3 – 3  (–1)2 = – 4, 2) f ’(x) = 3x2 – 6x, 3) f ’(–1) = 3  (–1)2 – 6  (–1) = 9, 4) Liestinės lygtis: f(x) = – 4 + 9(x – (–1)) f(x) = – 4 + 9x + 9 f(x) = 9x + 5. Ats.: f(x) = 9x + 5.

Funkcijos monotoniškumas Jei funkcija f(x) intervale (a; b) turi išvestinę ir išvestinė yra teigiama, tai šiame intervale funkcija yra didėjanti. Jei funkcija f(x) intervale (a; b) turi išvestinę ir išvestinė yra neigiama, tai šiame intervale funkcija yra mažėjanti. Pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = x3 – 3x monotoniškumo intervalus. Sprendimas. f ’(x) = (x3 – 3x)’ = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) pastovaus ženklo intervalai Kritiniai taškai: 3(x2 – 1) = 0, 3(x – 1)(x + 1) = 0 x1 = – 1, x2 = 1.    + – + x –1 1 Ats.: Funkcija didėja, kai x (–; –1) (1; +), mažėja, kai x (–1; 1).

Funkcijos ekstremumai Jeigu funkcijos f(x) išvestinės f ’(x) reikšmės keičia ženklą, kai x didėdamas praeina kritinį tašką x0, tai funkcija šiame taške turi ekstremumą. Taškas x0 yra maksimumo taškas, jeigu praeinant x0 išvestinės f ’(x) reikšmių ženklas keičiasi iš pliuso į minusą. Šiuo atveju funkcijos reikšmė vadinama funkcijos maksimumu. Taškas x0 yra minimumo taškas, jeigu praeinant x0 išvestinės f ’(x) reikšmių ženklas keičiasi iš minuso į pliusą. Šiuo atveju funkcijos reikšmė vadinama funkcijos minimumu. Jei praeinant x0 išvestinės reikšmių ženklas nesikeičia, tai taškas nėra ekstremumo taškas. Funkcijos maksimumas ir minimumas kartu vadinami funkcijos ekstremumais, o argumento reikšmės, kurias atitinka minimumas bei maksimumas, – ekstremumų taškais. Funkcija gali turėti vieną ar keletą ekstremumų arba jų neturėti nė vieno. Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami tos funkcijos kritiniais taškais.

Pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = x2 – 6x + 5 ekstremumus. Sprendimas. f ’(x) = 2x – 6 Kritiniai taškai: 2x – 6 = 0 2x = 6 x = 3 f ’(x) = 2x – 6 pastovaus ženklo intervalai min  – + x 3 fmin (x) = f(3) = 9 – 18 + 5 = – 4 Ats.: fmin (x) = f(3) = – 4.

Funkcijos tyrimas ir jos grafiko braižymas Tirti funkcijos savybes patogu tokia tvarka: Nustatome funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis. Išsiaiškiname, ar funkcija yra lyginė, ar nelyginė, ar ji yra periodinė. Randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis (tokių taškų gali ir nebūti). Nustatome funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus, ekstremumus.

Pavyzdys. Ištirkite funkciją y = x2 – 6x + 5 ir nubraižykite jos grafiką. Sprendimas. Apibrėžimo sritis: x (– ; + ). Reikšmių sritis: y (– 4; + ). Lyginumas: y(–x) = (–x)2 – (–x) + 5 = x2 + 6x + 5; funkcija nei lyginė, nei nelyginė. Funkcijos nuliai: 4.1) Kur kerta x ašį ? x2 – 6x + 5 = 0 D = 36 – 20 = 42 x1 = 5, x2 = 1. 4.2) Kur kerta y ašį ? y(0) = 0 – 0 + 5 = 5

5) Funkcijos išvestinė: y’(x) = 2x – 6. 6) Kritiniai taškai: 2x – 6 = 0 x = 3. 7) y’(x) = 2x – 6 pastovaus ženklo intervalai  min   – + x 3 8) Monotoniškumo intervalai: funkcija didėja, kai x (3; + ), mažėja, kai x (– ; 3). 9) Ekstremumai: fmin (x) = f(3) = 9 – 18 + 5 = – 4.

10) Lentelė: x (– ; 3) 3 (3; + ) f ’(x) – + f(x)  – 4 min 

11) Grafikas:

Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmė uždarame intervale Funkcija uždarame intervale didžiausią arba mažiausią reikšmę gali įgyti kritiniame taške, arba intervalo pradžios ar galo taške. Taigi norint sužinoti mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmę uždarame intervale [a; b, reikia: 1) rasti kritinius taškus xi, priklausančius tam intervalui; 2) apskaičiuoti funkcijos reikšmes f(xi) tuose taškuose; 3) apskaičiuoti funkcijos reikšmes f(a) ir f(b) intervalo galuose; 4) iš visų gautų reikšmių išrinkti didžiausią ir mažiausią. Pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = –x2 + 4x – 3 didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [0; 3]. Sprendimas. Apibrėžimo sritis: xR

f ’(x) = – 2x + 4 Kritiniai taškai: – 2x + 4 = 0 – 2(x– 2) = 0 x = 2. Apskaičiuojame: f(2) = – 4 + 8 – 3 = 1 f(0) = – 3 f(3) = – 9 + 12 – 3 = 0 Ats.: Didžiausia funkcijos reikšmė intervale [0; 3] yra f(2) = 1, mažiausia funkcijos reikšmė duotame intervale yra f(0) = – 3.

Pirmykštė funkcija Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija, kai F’(x) = f(x). Jeigu F(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė funkcija, t.y. F’(x) = f(x), tai bet kurią kitą funkcijos f(x) pirmykštę funkciją galima užrašyti taip: F(x) + C, čia C yra skaičius. Pavyzdys. Įrodykite, kad funkcija F(x) = 4 – 3cos x yra funkcijos f(x) = 3sin x pirmykštė. Sprendimas. F’(x) = (4 – 3cos x)’ = 0 – (–3sin x) = 3sin x, taigi F’(x) = f(x); Tą ir reikėjo įrodyti.

Neapibrėžtinis integralas Reiškinys F(x) + C, nusakantis visų funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų aibę, vadinamas funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu, o pats pirmykščių funkcijų radimo veiksmas – integravimu. Neapibrėžtinis integralas žymimas simboliu  f(x)dx. Pagrindinių integralų formulės 1) , 6) ∫cos x dx = sin x + C; = ; 7) = ; 2) = ; 8) = . 3) = , > , ; 4) ∫ex dx = ex + C; ∫sin x dx = – cos x + C; 5)

Integravimo taisyklės Baigtinio skaičiaus funkcijų algebrinės sumos integralas lygus algebrinei tų funkcijų integralų sumai: ∫(u(x) + v(x) +...+ w(x))dx = ∫ (u(x)dx + ∫v(x)dx +...+ ∫(x)dx. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą; a) ∫c × f(x)dx = c ∫f(x)dx; čia c – bet koks skaičius. b) = ; čia F' (x) = f(x). Integralų formulės yra invariantiškos (nesikeičiančios): jei ∫f(x)dx = F(x) + C, tai ∫f(u)du = F(u) + C; čia u = u(x) – diferencijuojama kintamojo x funkcija.

1 pavyzdys. Raskite visas funkcijos f(x) = pirmykštes funkcijas. Sprendimas. F(x) = dx = = = = = = = , = . . 2 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą Sprendimas. = , = .

Apibrėžtinis integralas Bet kurios pirmykštės funkcijos F(x) + C pokytis intervale [a; b] vadinamas tos funkcijos apibrėžtiniu integralu. = = . Pavyzdys. Apskaičiuokite apibrėžtinį integralą . . Sprendimas. = = = = = = = = .

Figūrų ploto skaičiavimas y f(x) S x a b Kreivinės trapecijos,apribotos tiesių x = a ir x = b, plotą apskaičiuojame pagal formulę: = = =

Pavyzdys. Apskaičiuokite kreivinės trapecijos, ribojamos linijų y = x2 – 3x + 4 ir y = 4 – x, plotą. Sprendimas. Kur kertasi grafikai? x2 – 3x + 4 = 4 – x, x2 – 3x + 4 – 4 + x = 0, x2 – 2x = 0, x(x – 2) = 0, x = 0 arba x = 2. f(x)=4-x f(x)=x^2-3*x+4 Shade 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x f(x) = = = = = = = = Ats.: S =

Geometrinių kūnų tūrio skaičiavimai Sukinio, kurį gauname apie Ox ašį sukadami kreivinę trapeciją, apribotą tiesėmis y = 0, x = a, x = b (a < b) ir tolydžios funkcijos f(x) grafiku, tūris V = π Pavyzdys. Kreivinė trapecija, apribota funkcijos y = f(x) grafiko, Ox ašies atkarpos [a; b] ir tiesių x = a ir x = b, sukama apie Ox ašį. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį, kai f(x) = 5 – x, a = 0, b = 5. Sprendimas. y V = π = π = f(x) = 5 – x 5 = π = π = x 5 π. = π kub. vnt. Ats.: V = = –5

Savarankiškas darbas I variantas Raskite sudėtinės funkcijos f(x) = = sin(1 – x3) išvestinę. 2. Apskaičiuokite f ’(1) + f ’(–1) + f ’(0), kai f(x) = x4 +2x3 – 3x2 + 1. Raskite intervalus, kuriuose funkcijos f(x) = x3 + x2 reikšmės didėja, kuriuose mažėja. Raskite funkcijos f(x) = 3x2 – 2x pirmykštę funkciją, kurios grafikas eina per tašką A(0; 1). Raskite plotą figūros, apribotos funkcijų f(x) = x ir g(x) = x3 grafikais. II variantas Raskite sudėtinės funkcijos f(x) = = cos(ex) išvestinę. Apskaičiuokite f ’(1) + f ’(–1) + f ’(0), kai f(x) = 2x4 – 4x3 + 3x2 – 2. Raskite funkcijos f(x) = x3 + 3x ekstremumus. Raskite funkcijos f(x) = 2x + 4 pirmykštę funkciją, kurios grafikas eina per tašką A(–1; 1). Raskite tūrį sukinio, gauto sukant apie abscisių ašį figūrą, apribotą kreive y = x2 ir tiesėmis x = –1, x = 1, y = 0.