VREMENSKI ODZIVI SISTEMA Definicija: Vremenska zavisnost izlazane promenljive za zadatu promenu ulazane promenljive Procedura Standardne ulazne funkcije za ispitivanje dinamike sistema: (a) stepenasta; (b) impulsna; (c) linearna; (d) sinusna; (e) beli šum

1. Vremenski odzivi sistema prvog reda (1) Stepenasti odziv t  2  3  4  5  y/KA 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993

(2) Impulsni odziv (3) Odziv na linearnu promenu ulaza

(4) Odziv na sinusnu promenu ulaza – frekventni odziv Frekventni odziv →frekventni domen

Odziv sistema prvog reda sa negativnom vremenskom konstantom Nestabilan sistem STABILNOST SISTEMA – DEFINICIJA Sistem je stabilan ako za svaku (bilo koju) ograničenu promenu ulaza daje ograničenu promenu izlaza. Sistem je nestabilan ako na svaku promenu ulaza daje neograničenu promenu izlaza. Sistem je na granici stabilnosti ako za neke ograničene promene ulaza daje ograničene, a za neke neograničene promene izlaza.

2. Vremenski odzivi sistema drugog reda - za ξ<-1, koreni karakteristične jednačine su realni, pozitivni i različiti; - za ξ=-1, koreni karakteristične jednačine su su realni, pozitivni i jednaki; - za -1<ξ<0, koreni karakteristične jednačine su konjugovano-kompleksni, sa pozitivnim realnim delom; - za ξ=0, koreni karakteristične jednačine su konjugovano-kompleksni sa realnim delom koji je jednak nuli; - za 0<ξ<1, koreni karakteristične jednačine su konjugovano-kompleksni; - za ξ=1, koreni karakteristične jednačine su realni, negativni i jednaki; - za ξ>1, koreni karakteristične jednačine su realni, negativni i različiti.

(1) Stepenasti odziv sistema drugog reda (a) Konjugovano-kompleksni koreni karakteristične jednačine (-1<ξ<1)

 >0: stabilan, oscilatoran sistem  =0: oscilatoran sistem Stepenasti odziv sistema drugog reda – konjugovano-kompleksni koreni: -1<  <1  >0: stabilan, oscilatoran sistem (nedovoljno prigušen sistem)  =0: oscilatoran sistem na granici stabilnosti  <0: nestabilan oscilatoran sistem

(b) Realni i jednaki koreni karakteristične jednačine( ξ=1 ili ξ=-1) ξ=1: Stabilan, neoscilatoran Kritično prigušen sistem ξ=1: ξ=-1 Nestabilan, neoscilatoran sistem ξ=-1:

ξ>1: Stabilan, neoscilatoran (c) Realni i različiti koreni karakteristične jednačine( ξ>1 ili ξ<-1) ξ>1: Stabilan, neoscilatoran Previše prigušen sistem 1 i 2 – efektivne vremenske konstante ξ<-1 Nestabilan, neoscilatoran sistem

Stepenasti odziv sistema II reda - pregled Stabilan, nedovoljno prigušen odziv - Vreme uspona - Period oscilovanja: - Prekoračenje - Vreme smirenja ts - Odnos slabljenja

(2) Impulsni odziv sistema drugog reda (a) za -1< ξ<1: (b) za ξ=1: ξ=-1 (c) za ξ>1 i ξ<-1:

(3) Odziv sistema drugog reda na linearnu promenu ulaza (b) za ξ=1: ξ=-1 (c) za ξ>1 i ξ<-1:

3. Vremenski odzivi kapacitivnog elementa (1) Stepenasti odziv (2) Impulsni odziv (3) Odziv na linearnu promenu ulaza

4. Vremenski odzivi serije više sistema prvog reda 1. Stepenasti odziv

2. Impulsni odziv 3. Odziv na linearnu promenu ulaza

DINAMIKA SISTEMA U FREKVENTNOM DOMENU Definicije modela u frekventnom domenu – frekventne karakteristike Za sistem I reda: Ako je sistem stabilan: f(t)0 kad t∞  kvazistacionarni odziv Za sistem I reda:

Dobijanje frekventnih karakteristika OSNOVNA TEOREMA: Ako se u prenosnoj funkciji sistema Laplasova kompleksna promenljiva s zameni sa jω , dobija se kompleksna funkcija čiji je moduo identičan sa amplitudnom, a argument sa faznom karakteristikom tog sistema, odnosno, dobija se frekventna prenosna funkcija sistema. Važi samo za stabilne sisteme! Primer: Sistem I reda 

Grafičko prikazivanje frekventnih karakteristika 1. Nikvistov dijagram U Dekartovom koordinatnom sistemu Re(G(jw))=f(Im(G(jw)) U polarnom koordinatnom sistemu AR(w)=f((w)) Frekvencija – parametar krive (w=0 do ∞)

2. Bodeovi dijagrami   AR=f(w) – u log-log dijagramu =f(w) – u semi-log dijagramu ( u radijanima ili stepenima)

Frekventne karakteristike elementarnih sistema 1. Proporcionalni element Bode-ovi dijagrami Nikvistov dijagram

 2. Frekventne karakteristike - Kapacitivni element Bode-ovi dijagrami -1 Nikvistov dijagram -p/2

3. Frekventne karakteristike – Element sa mrtvim vremenom  Bode-ovi dijagrami Nikvistov dijagram

4. Frekventne karakteristike – Sistem prvog reda  Bode-ovi dijagrami -1 Nikvistov dijagram

5. Frekventne karakteristike – Sistem drugog reda  Bode-ovi dijagrami wr Nikvistov dijagram -2 Za <0.707 postoji maksimum:

6. Frekventne karakteristike – Diferencijalni element Bode-ovi dijagrami  +1 Nikvistov dijagram

Frekventne karakteristike složenih sistema  U Bodeovim dijagramima: Generalizacija

PRIMER 1. Serija od n identičnih sistema prvog reda Frekventne karakteristike složenih sistema - primeri PRIMER 1. Serija od n identičnih sistema prvog reda -1 -2 -5

PRIMER 2. Redna veza sistema prvog reda i elementa sa mrtvim vremenom Frekventne karakteristike složenih sistema - primeri PRIMER 2. Redna veza sistema prvog reda i elementa sa mrtvim vremenom =1, D=0.1

PRIMER 3. Sistem sa dva pola i jednom nulom Frekventne karakteristike složenih sistema - primeri K=5, 1=1, 2=0.1, 3=10 PRIMER 3. Sistem sa dva pola i jednom nulom