POLINOMI :-) III℠, X 2016. Силвија Мијатовић
DEFINICIJA.
Polinom ciji su svi koeficijenti jednaki nuli, tj Polinom ciji su svi koeficijenti jednaki nuli, tj. a(x)=0 naziva se nula-polinom. Stepen nula-polinoma nije definisan. Dva polinoma su jednaka ako su jednakog stepena i ako su im koeficijenti uz iste stepene jednaki.
Primer.
ZADACI
TEOREMA (BEZUOVA.Ostatak koji se dobija pri deljenju polinoma a(x) polinomom x-c iznosi a(c). PRIMER.
ZADACI.
NULE POLINOMA. OSNOVNI STAV ALGEBRE DEF. Nula(koren) polinoma p(x) je bilo koje resenje jednacine p(x)=0. TEOREMA. Broj α je NULA polinoma p(x) akko (x-α)|p(x), tj ako je p(x) = (x-α)q(x)
TEOREMA.Ako su α i β dve razlicite nule polinoma p(x), tada je polinom p(x)=(x- α)(x- β). PRIMERI.
TEOREMA. Broj α je nula n-tog reda (ili n-tostruka nula) polinoma p(x), nϵN, ako (x-α)n deli p(x) i (x-α)n+1ne deli p(x) PRIMER. Odrediti bar jedan polinom cije su nule:
ZADACI
TEOREMA (OSNOVNI STAV ALGEBRE). Svaki polinom sa kompleksnim koeficijentima stepena veceg ili jednakog od 1, ima bar jedan koren u skupu kompleksnih brojeva. POSLEDICA 1.
Moze se dogoditi da neki od brojeva α1,α2,…,αn budu medjusobno jednaki Moze se dogoditi da neki od brojeva α1,α2,…,αn budu medjusobno jednaki. Tada se navedena faktorizacija moze napisati u obliku: gde su α1,α2,…,αn medjusobno razlicite nule polinoma p(x), k1,k2,…,kn su prirodni brojevi pri cemu vazi k1+k2+…+kn=n=st(p(x)) Ovo se naziva KANONSKA FAKTORIZACIJA POLINOMA P(X).
POSLEDICA 2. Polinom a(x) deljiv je polinomom b(x) akko je svaka nula α polinoma b(x) ujedno i nula polinoma a(x) i pri tom red visestrukosti broja α kao nule polinoma b(x) nije veci od reda visestrukosti kao nule polinoma a(x)
ZADACI
VIETOVE FORMULE
Posmatrajmo polinom treceg stepena Ako su x1,x2,x3 koreni ovog polinoma, onda se on moze zapisati u obliku:
Izjednacavanjem dobijamo sledece: odakle je:
TEOREMA.
ZADACI
POLINOMI SA REALNIM KOEFICIJENTIMA TEOREMA.
Dokaz.
Primer.
TEOREMA. Dokaz se izvodi iz nekoliko prethodnih teorema.
TEOREMA. Polinom sa realnim koeficijentima neparnog stepena ima bar jednu realnu nulu, a ako ih je vise onda je njihov broj neparan.
TEOREMA. DOKAZ.
TEOREMA.
DOKAZ.
SISTEMI JEDNACINA VISEG REDA