VREMENSKI ASPEKT REALIZACIJE TEHNOLOŠKIH ZAHTEVA T - ANALIZA (Time) U okviru realizacije niza aktivnosti prisutnih u tokovima materijala proizvodnih procesa (i drugim delatnostima), njihove vremenske karakteristike su po pravilu posledica proizvodnog plana i programa, sa njima vezane primenjene tehnologije osnovne proizvodnje (PQR aspekt) sa jedne i tehnologije i uslova realizacije samih TZ, sa druge strane. U proizvodnim sistemima, kao izmeritelj njihove efikasnosti tipično se analizira kretanje - protok materijala, posmatrano od početka procesa (prijema na prvo radno mesto) do dobijanja finalnog proizvoda (operacije na poslednjem radnom mestu). Jasno, ono je rezultat višedimenzionalnih uticaja (tehnologija procesa, layout-a, ....) i najčešće se daje izrazom: TRM = Σo + Σ tt + Σ tw + Σ tz

T RM = Σ to + Σ tt + Σ tw + Σ tz gde su: Σ to - ukupno vreme operacija potrebno za izradu proizvoda Σ tt - ukupno vreme transporta tokom procesa izrade proizvoda Σ tw - ukupno vreme čekanja uslovljeno sistemom realizacije opsluge (transporta) tokom procesa izrade proizvoda Σ tz - ukupno vreme zastoja uslovljeno organizacijom procesa izrade proizvoda U praksi se uočava, posebno kod primene veoma visokoproduktivnih i sofisticiranih mašina i opreme, da je vreme realizacije proizvodnih operacija (obrade, prerade, montaže) u odnosu na ostala vremena izuzetno malo. U nizu primera se ukazuje i da se vreme proizvodnje na radnim mestima često kreće i ispod 5% ukupnog vremena prisustva materijala u preduzeću. Sa druge strane, vremena čekanja i zastoja su često dominantna, posebno u procesima koji imaju nizak stepen automatizacije i primenjenih IT kod proizvodnih procesa i procesa podrške proizvodnji.

Nadalje, ova vremena u praksi prati različit nivo stohastičnosti. Primena visokog nivoa automatizacije, NC/CNC mašina, obradnih centara i sl. praktično rezultuje da procesi operacija na radnom mestu (posebno kod serijske proizvodnje) imaju veoma nizak nivo stohastičnosti. Međutim, mnoge procese u praksi karakteriše prisustvo manuelnih aktivnosti/(subjektivnih uticaja), neplaniranih i/ili ekscesnih situacija (nedostatak alata, potrebnih sirovina, delova, materijala, energije, ... i dr.) . Posledica toga je da su u tim situacijama procesi najčešće sa obeležjem značajnog nivoa stohastičnosti. Nepovoljnosti koje prate obeležje stohastičnosti raznih karakteristika TZ, kako u planiranju tako i u njihovoj realizaciji, doveli su do toga da je u praksi sve više prisutna težnja za smanjenjem nivoa stohastičnosti. U praksi su poznati pristupi koji teže takvom uticaju - kroz primenu JIT, kanban principa, raznih rešenja IT i dr.

U procesima realizacije tokova unutrašnjeg transporta i rukovanja materijalima (RM), odnosno kod tehnoloških zahteva u okviru njih, vremenski aspekt je po pravilu neodvojiva komponenta. Za neke TZ/karakteristike je on od esencijalnog značaja, a to se pre svega odnosi na: - Vreme nastanka TZ - Vreme završetka realizacije TZ - Vreme trajanja realizacije TZ - Interval strpljivosti TZ Kako je navedeno, u realnim (posebno našim) uslovima, procesi vezani za realizaciju tokova materijala i RM su u znatnoj meri pod (jednovremenim) uticajem većeg broja subjektivnih i/ili objektivnih faktora, koji imaju različite nivoe slučajnosti. Posledica toga je najčešće prisutna situacija da karakteristike ovih TZ imaju izraženo obeležje stohastičnosti koju često može da prati i nestacionarnost. To je veoma uočljivo kod proizvodnih procesa sa manjim serijama ili pojedinačnoj proizvodnji, a posebno je prisutno u realizaciji nekih logističkih aktivnosti.

Iz tog razloga, za opisivanje obeležja stohastičnosti TZ, obično se koriste poznati statistički “alati” i to primenom parametarskih i neparametarskih ocena. Uobičajene parametarske ocene su: srednja vrednost standardno odstupanje, a kao izveden izmeritelj, koeficijent varijacije X σ Kv

Za neparametarske ocene se u najvećoj meri koriste, kada je to moguće, teoretske raspodele verovatnoća analiziranih veličina. One imaju za cilj da bliže opisuju obeležje karakteristike TZ. Uobičajeno prisutni u logističkim i drugim procesima (ali ne i jedini) su: Puasonov zakon raspodele verovatnoća Eksponencijalni zakon raspodele verovatnoća Binomni zakon raspodele verovatnoća Normalni zakon raspodele verovatnoća Erlangov zakon raspodele verovatnoća

Puasonov zakon raspodele verovatnoća Ova raspodela se koristi za tzv. “retke” događaje. Često može da se koristi kod opisivanja događaja sa malom verovatnoćom pojavljivanja (mala vrednost p), ali gde je prisutan veliki mogući broj potencijalnih realizacija događaja (n). U tokovima materijala i kod logističkih aktivnosti je prisutan veliki broj pojava koji se uspešno opisuje pomoću Puasonove raspodele. Naprimer, za broj prispelih kamiona/sredstava/zahteva na opslugu (ulaz ili izlaz skladišta) u nekom vremenskom intervalu; za broj defektnih proizvoda koji zahtevaju naknadnu doradu, broj angažovanja sredstava sa cikličnim dejstvom, ...

Puasonov zakon raspodele verovatnoća -nastavak Ovde je neophodno da se naglasi da je taj stav obično prisutan ali u odgovarajućem intervalu analize. Zbog "male" verovatnoće nastanka događaja, naziva se i raspodela koja opisuje retke događaje. Matematički, Puasonov zakon raspodele “nastaje" iz binomnog zakona raspodele verovatnoća, za veoma male vrednosti p i veliko n, što se matematički predstavlja na sledeći način:

P(X=x) = kada proizvod n·p teži konačnoj vrednosti Puasonov zakon raspodele verovatnoća -nastavak kada proizvod n·p teži konačnoj vrednosti Za ovaj zakon raspodele, verovatnoća broja realizacija nekog događaja (diskretna slučajno promenljiva x) pri intenzitetu λ se daje relacijom P(X=x) =

M[x] = D[x] = np = λ Zakon raspodele verovatnoća je dat je obrascem: Puasonov zakon raspodele verovatnoća -nastavak Zakon raspodele verovatnoća je dat je obrascem: Karakteristika za Puasonov zakon raspodele verovatnoća je da matematičko očekivanje i disperzija slučajno promenljive x imaju jednaku vrednost M[x] = D[x] = np = λ

Puasonov zakon raspodele verovatnoća -nastavak Primer iz prakse: U okviru predstavljenog procesa prijema robe - prijema pošiljki u skladište denčane robe na Glavnoj železničkoj stanici Beograd (1976) obrađen je, radi analize pokazatelja angažovanja viljuškara, ulazni potok zahteva za prijem paletizovanih tereta:

Tehnologija prijema i obrade pošiljki je sledeća: Primer iz prakse (nastavak) Tehnologija prijema i obrade pošiljki je sledeća: korisnik dolazi bez najave (u slučajnom momentu) i na rampi paletizuje pošiljku, ukoliko pojavni oblik robe omogućava paletizaciju. Po paletizaciji, elektro-viljuškar zahvata paletu, odvozi je do vage na koju je odlaže; meri se bruto teret radi utvrđivanja neto tereta (bruto – tara); ovaj podatak se unosi u odgovarajući dokument (radi obračuna troškova - fakturisanja). Viljuškar zahvata paletu sa vage i otprema je u odgovarajuću zonu u skladištu (gde se odlaže na pod). Teret na paleti čeka utovar u vagon za uputnu stanicu, a viljuškar se vraća na novi zahvat. Zone uputnih stanica su u to vreme bile definisane po pravcima otpreme (zapad SFRJ - pravac Zagreb, Sl. Brod, Ljubljana i dr.).

Puasonov zakon raspodele verovatnoća -nastavak U opisanom primeru analiziran je ulazni potok zahteva za angažovanjem viljuškara u ulaznom toku u skladište. Kao merodavni momenat nastanka navedenog zahteva se definiše trenutak završetka formiranja "paletnog paketa" na rampi, odnosno kada nastaje zahtev za angažovanjem viljuškara. Rezultati analize i pretpostavljene hipoteze o saglasnosti sa Puasonovom raspodelom su dati u narednoj tabeli. (pretpostavka je posledica toka klijenata koji su međusobno nezavisni po momentu prispeća, vrsti/količini tereta koji otpremaju, destinaciji i dr.

M(x) =  (fi xi)/fi =  = 47 / 79 = 0,595 (pal/2 min) Matematičko očekivanje i disperzija su: M(x) =  (fi xi)/fi =  = 47 / 79 = 0,595 (pal/2 min) D(x) =  fi · (xi - M(x))2/fi = 53,0./79 = 0,67 (pal/2 min)2 Teoretska frekvenca se proračunava po obrascu fti =N · pi , gde je N =  fi

Približna vrednost matematičkog očekivanja i disperzije ukazuje na karakteristike ulaznog potoka koje se slažu sa Pusaonovom raspodelom, što je verifikovano hi-kvadrat testom hipoteze. 2 = 0,200 < 2(1)0,05 = 3,841 Dobijeni rezultat ukazuje na veliki stepen saglasnosti empirijske i pretpostavljene teoretske raspodele. Ovakva karakteristika ulaznog potoka je bila posledica izuzetno širokog spektra faktora koji utiču na momente pojavljivanja klijenata - mogu biti pravna i fizička lica, način dopreme je proizvoljan (putničko vozilo, kolica, teretno vozilo ....), pojavni oblici i količina robe su praktično bez ikakve mogućnosti planiranja i regulacije i dr.

Na koji način se raspoloživim alatima mogu izračunati vrednosti ove raspodele – rekurzivnost p0 = λ0e-λ/0! = e-λ p1 = λ1e-λ/1! = λ e-λ /1 = λ e-λ /1 = p0 λ /1 p2 = λ2e-λ/2! = λ λ e-λ /(1*2) = (λ e-λ /1) = p1 λ /2 p3 = λ3e-λ/3! = p2 λ /3 ….. Komentar - kako to može da se radi u Excel-u - klasičan postupak - korišćenje raspoložive funkcije iz skupa statističkih funkcija U praksi je prisutan problem određivanja dužine fiksnog intervala u kojima se analizira posmatrani događaj. Ovo je prilično diskutabilno i veličine intervala treba odrediti tako da slučajna veličina, za Puasonovu raspodelu, bude redak događaj u takvom intervalu (da se u najvećem broju na intervalima realizuje broj događaja koji je bliži nuli: 0, 1, 2, 3, … ).

Sledeći primer ukazuje na karakteristike i moguće mesto primene Puasonove raspodele: Zona tehničke kontrole proizvoda (na slici) ima ukupni protok od U = 60 (kom/h) gotovih proizvoda. Prosečno je 95% (A=  U*0,95 = 57 (kom/h)) proizvoda ispravno, odnosno 5% (B =  U*0,05 = 3(kom/h)) proizvoda/h zahteva naknadnu doradu. Dorada se realizuje u odgovarajućoj zoni koja ima granični kapacitet dorade od qB = 4 (kom/h). Postavlja se pitanje je kolika je verovatnoća preopterećenja zone dorade i potrebe formiranja odgovarajuće zone čekanja, koja je tačkastom ivicom predstavljena na narednoj slici. proces proizvodnje montaža (U=A+B) Zona dorade qB čekanje ? Kontrola rezultat B A

čekanje ? proces proizvodnje qBmax= 4 (kom/h) montaža (U=A+B) Zona dorade qBmax= 4 (kom/h) čekanje ? Kontrola rezultat B A A=57 (kom/h) (q=0,95) B=3 (kom/h) p = 0,05

čekanje ? proces proizvodnje qBmax= 4 (kom/h) montaža (U=A+B) Zona dorade qBmax= 4 (kom/h) čekanje ? Kontrola rezultat B A A=57 (kom/h) (q=0,95) B=3 (kom/h) p = 0,05

čekanje ? proces proizvodnje qBmax= 4 (kom/h) montaža (U=A+B) Zona dorade qBmax= 4 (kom/h) čekanje ? Kontrola rezultat B A A=57(kom/h) (q=0,95) B=3(kom/h) p = 0,05

čekanje ? proces proizvodnje qBmax= 4 (kom/h) montaža (U=A+B) Zona dorade qBmax= 4 (kom/h) čekanje ? Kontrola rezultat B A A=57(kom/h) (q=0,95) B=3(kom/h) p = 0,05

čekanje ? proces proizvodnje qBmax= 4 (kom/h) montaža (U=A+B) Zona dorade qBmax= 4 (kom/h) čekanje ? Kontrola rezultat B A A=57(kom/h) (q=0,95) B=3(kom/h) p = 0,05

U regularnom stanju, zona naknadne dorade nije preopterećena, a njen stepen angažovanja je: ρ = λB/qB = 3/4 < 1 Međutim, to ne znači da se u vremenu neće pojaviti preopterećenje ove zone u vremenu, što treba na odgovarajući način da se ispita. Eventualno preopterećenje (verovatnoća da se pojavi više defektnih delova od kapaciteta zone dorade) se matematički može formulisati relacijom: ppreopt. prerade = P(X > 4) odnosno verovatnoćom da se za doradu, u intervalu, pojavi više zahteva od kapaciteta zone prerade

Uz pretpostavku da je pojavljivanje defektnih pozicija po Puasonovom zakonu raspodele verovatnoća (logično je da su pojave defektnih delova retki događaji), definisanje parametra Puasonove raspodele se u ovom slučaju utvrđuje na sledeći način: pB = 0,05 (verovatnoća pojave proizvoda za doradu), za n = 60 (kom/h) sledi da je intenzitet ulaznog potoka proizvoda za doradu: λB = npB = 60*0,05 = 3 (kom/h).

Verovatnoća preopterećenja zone dorade (pojave broja defektnih proizvoda u vremenskom intervalu većeg od kapaciteta zone x = 5, 6, ..... ) se izražava preko komplementarne verovatnoće: P(X > 4) = 1 - P(X ≤ 4) = 1- za λ = λB = np = 3 sledi: P(X > 4) = 1 - e-3 (30/0! + 31/1! + 32/2! + 33/3! + 34/4!) ~ 0,18 Na osnovu ovog rezultata se može zaključiti da će tokom rada u oko 18% slučajeva (intervala) zona dorade da bude u stanju preopterećenja. Iz toga proističe analiza potrebe uvođenja zone čekanja (skladišta pozicija) za doradu i relevantnih parametara pri njenom uvođenju. Za takvu analizu se može primeniti neka od odgovarajućih metoda (TMO, simulacija,…).

Eksponencijalna raspodela verovatnoća U teoriji, ova raspodela verovatnoća (neprekidne slučajne promenljive) se u velikoj meri koristi za opisivanje ulaznog toka klijenata ili vremena opsluge. Eksponencijalna raspodela, za razliku od Puasonovog zakona raspodele (koji opisuje diskretne slučajne veličine), kod ulaznog/izlaznog toka, opisuje vreme između nailazaka klijenata (intervale – neprekidno slučajno promenljive) ili vreme opsluživanja klijenata. Sa aspekta teorije, eksponencijalna raspodela je specijalan slučaj Erlangove raspodele verovatnoća (za k=1).

Formula koja se koristi za proračun verovatnoće u proizvoljnoj tački slučajno promenljive (t ≥ 0)je Pt = μ e-μ t gde je μ intenzitet prispeća (ili) opsluge klijenata u jedinici vremena (μ = 1/ Tsr). Grafički, dijagrami zakona gustine i zakona raspodele verovatnoća su dati na slikama

Diskusija - šta znači primena vrednosti μ kao relevantnog parametra u proračunima (npr., kod TMO)? za t = 1/μ sledi F(μ) = 1 - e- μ 1/ μ = 1 - e-1 = 0,63 Kako je μ = 1/ Tsr, ova vrednost F(μ) ukazuje da se u proračunima uzima u obzir znatna rezerva u odnosu na vrednost koja odgovara medijani (0,50). Drugačije rečeno, ovako utvrđeno merodavno vreme ciklusa obuhvata znatno veće vreme od 50% realizovanih vremena ciklusa.

U predstavljenom primeru denčanog skladišta, analizirano je angažovanje elektro-viljuškara od momenta zahvatanja palete do povratka na rampu - na novi zahvat. Za analizirani proces, rezultati su predstavljeni narednom tabelom: Matematičko očekivanje T = 1,276 (min/pal)  = 1/ T = 0,783 (pal/min) D= 0,78 (min/pal)2

Šta je uzrok ovoliko izražene saglasnosti vremena realizacije zahteva sa eksponencijalnom raspodelom? Diskusija sa radnicima je pokazala da je to rezultat raspoređivanja zona sa najvećom frekvencijom najbliže ulazu, a u cilju smanjenja rada pri bivšoj (manuelnoj) tehnologiji realizacije unutrašnjeg transporta u skladištu. Jasno, u starija vremena ovi tokovi su imali značajan intenzitet, posebno dok je železnica bila dominantni davalac usluga.

Grafički, ovaj rezultat se može načelno prestaviti na sledeći način – debljina linija lukova ukazuju da su najintenzivniji tokovi sa kraćim vremenima ciklusa. Jasno, ukoliko bi kod ovakve koncepcije rada rezultat analize raspodele verovatnoća ciklusa viljuškara bio drugačiji – sa oblikom datom na narednom dijagramu, to bi ukazivalo na moguću neracionalnost u sferi zoniranja skladišnih površina. t f(t)

Binomna raspodela verovatnoća Ova raspodela verovatnoća, koja opisuje verovatnoće realizacije događaja za diskretne slučajne promenljive, se relativno ređe primenjuje. Međutim, u nekim situacijama može da bude značajna, kako za opisivanje neke (karakteristike) zahteva, tako i druge primene (broj škarta,...) . Verovatnoća da će se slučajan događaj desiti zadati broj puta (x), od mogućeg broja (n), ako je verovatnoća realizacije jednog slučajnog događaja p, se predstavlja sledećom formulom M(x) = np D(x) = np(1-p) = npq

Tok jednog segmenta procesa rada je predstavljen sledećom slikom: Binomna raspodela verovatnoća - nastavak U narednom primeru je dat interesantan prikaz moguće primene ovog zakona raspodele verovatnoća Tok jednog segmenta procesa rada je predstavljen sledećom slikom: jednovremena izrada pozicija A + B A B moguća kombinacija pozicija na paleti / vozilu Rasno mesto kontrole Proizvoda A i B

Binomna raspodela verovatnoća - nastavak Proizvodi A i B su izlaz sa radnog mesta (nakon faze operacija), a njihov redosled pojavljivanja iz proizvodnje je slučajan. Po zadatoj tehnologiji, na sredstvo unutrašnjeg transporta se utovaruju tri proizvoda koji se otpremaju na mesto kontrole. Sa aspekta tehnologije rada na mestu kontrole i njegovog oblikovanja od značaja je informacija koliko se proizvoda A ili B doprema na sredstvu unutrašnjeg transporta. Za dobijanje odgovora, treba na odgovarajući način da se modelira ovaj proces.

Binomna raspodela verovatnoća - nastavak Neka se usvoji da je pojava broja proizvoda A na sredstvu unutrašnjeg transporta slučajno promenljiva xA. Tada je verovatnoća P(x = xA) , gde je xA = {0,1, 2 ,3} U dužem vremenskom intervalu, učešće proizvoda A u ukupnom toku proizvoda (verovatnoća da će proizvod A da izađe iz procesa proizvodnje i odloži na paletu/vozilo) je P(A) = λA/ λ = p a za proizvod B P(B) = λB/ λ = (1-p) = q

kombinacje stanja na transportnom sredstvu Binomna raspodela verovatnoća - nastavak Prostor mogućih stanja je xA br proizv. A kombinacje stanja na transportnom sredstvu verovatnoća stanja formalni opis stanja BBB qqq = q3 = 1*p0 * (1-p)3 1 ABB BAB BBA pqq = pq2 qpq = pq2 qqp = pq2 = 3*p1 * (1-p)2 2 BAA ABA AAB qpp = qp2 pqp = qp2 qqp = qp2 = 3*p2 * (1-p)1 3 AAA ppp = p3 = 1*p3 * (1-p)0 U konkretnim zadacima je prisutan problem određivanja relevantnih parametara binomne raspodele verovatnoća. Diskusija oko utvrđivanja n i p

NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA Predstavlja jedan od zakona raspodela koju opisuju najveći broj pojava sa stohastičkim obeležjem. Teoretski, većina drugih teorijskih raspodela, za granične uslove, teži normalnom zakonu raspodele verovatnoća - neke "brže" a neke "sporije (ovo se izučavalo za neke raspodele u nastavi iz teorije verovatnoće na SF. Normalna raspodela ima dva stepena slobode: μ - matematičko očekivanje i σ - standardno odstupanje.

NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA Slučajno promenljiva može da ima teoretske vrednosti od - ∞ do + ∞. Vrednost funkcije zakona gustine raspodele verovatnoća se izračunava po formuli: μ f(x) σ2) σ1 Dijagrami gustine raspodele verovatnoća za istu srednju vrednost i dve vrednosti standardnog odstupanja normalne raspodele (σ1 je dva puta veće od σ2).

NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA U mnogo slučajeva se ovim zakonom opisuju i razne karakteristike procesa u saobraćaju - npr. količina homogenog tereta/transp. sredstvu, koji stiže većim intenzitetom jednim vidom transporta, nivo zaliha u javnim skladištima i niz drugih.

NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA Za proizvoljni argument slučajno promenljive vrednost funkcije raspodele verovatnoća je Funkcija raspodele F(x) ne može da se eksplicitno dobije direktnom integracijom jer je integral od f(x) transcedentna funkcija. Vrednosti ove funkcije se utvrđuju odgovarajućim matematičkim alatima (razvojem u red, ...), a u literaturi se nalaze tabelarne vrednosti normalnog zakona raspodele za "standardizovane" slučajno promenljive. Na taj način se omogućava dobijanje željene vrednosti F(x), pri čemu se standardizacija slučajno promenljive obavlja preko relacije:

NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA Kako je ova funkcija simetrična u odnosu na osu koja se nalazi na vrednosti matematičkog očekivanja, sledi da je: odakle se dobija:

NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA U računarskoj primeni vrednosti funkcija raspodele i gustine raspodele za željene parametre se direktno (bez "standardizacije") dobijaju preko programskih paketa (Excel i dr.). Ova relacija, koja odgovara verovatnoći da je slučajno promenljiva manja od argumenta funkcije za zahtevanu verovatnoću P(x< x*) = F(x*) grafički može da se predstavi na sledeći način, (uz merodavni argument funkcije x = x*):

Vrednost argumenta x*može da se utvrdi na sledeći način: NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA Vrednost argumenta x*može da se utvrdi na sledeći način: pri čemu je P(x*) tzv. zahtevana ili merodavna verovatnoća pz: Vrednost apx se utvrđuje na bazi vrednosti: P(x*) - 0,5, za P(x*) > 0,5.

Izjednačavanjem argumenata u prethodnoj relaciji dobija se: NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA Izjednačavanjem argumenata u prethodnoj relaciji dobija se: x* - μ = apx ·σ x* = μ + apx ·σ x* = μ (1+ apx ·σ/ μ) x* = μ (1+ apx ·kv) Slobodnije tumačeno, merodavna vrednost argumenta (npr. merodavni obim zahteva, kapacitet i dr.) se dobija na bazi uvećanja srednje vrednosti. To uvećanje (1+ apx ·kv >1), koje je posledica (po pravilu niza) slučajnosti, se obično naziva koeficijent neravnomernosti i u nizu formula, koje se mogu sresti u literaturi, se usvaja empirijski. Ovde prikazani postupak omogućava da ovo usvajanje ne bude proizvoljno, već da bude rezultat zahtevane (merodavne) verovatnoće realizacije (servis stepena ili drugih zahteva) koji na ovaj način mogu eksplicitno da se predstave. Naime, vrednost apx je direktno vezana za zahtevanu verovatnoću, a utvrđuje se na bazi vrednosti standardizovane normalne slučajno promenljive (videti gore predstavljeni postupak). Na primer, za P = 0,95 se utvrđuje Φ(apx) = 0,95 - 0,5 = 0,45, odakle sledi da je argument apx ~ 1,64.

NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA Utvrđivanje parametara normalne raspodele, μ i σ, se realizuje po uobičajenom postupku. Neophodno je posedovanje dovoljno obimne baze podataka (ili uzorka) iz koje se ili odgovarajućim programom ili klasičnim postupkom utvrđuju tražene vrednosti. Ukoliko ovakva baza podataka (uzorak) nije na raspolaganju, ili zahteva značajno vreme snimanja/obrade, u nekim slučajevima može da se primeni skraćeni postupak procene ovih vrednosti. Kod procesa (parametara) koji mogu da se opišu normalnim zakonom raspodele verovatnoća, pretpostavka je da je matematičko očekivanje μ i medijana ove raspodele, dakle da su vrednosti slučajno promenljive simetrično raspoređene u odnosu na matematičko očekivanje. Sa značajnom pouzdanošću može da se usvoji da su praktično sve (preko 99,7%) vrednosti promenljivih u intervalu +/- 3 σ, koje odgovaraju uočenim maksimalnim odnosno minimalnim vrednostima slučajno promenljive x.

Na bazi ove pretpostavke može da se postavi sledeća relacija NORMALNI - GAUSOV ZAKON RASPODELE VEROVATNOĆA Na bazi ove pretpostavke može da se postavi sledeća relacija |μ - xmin| ~ 3σ ili |xmax - μ| ~ 3σ Odavde sledi ocena standardnog odstupanja σ ~ |μ - xmin|/3 odnosno σ ~ |xmax - μ|/3 Jasno, ukoliko se ove dve vrednosti značajnije razlikuju, može da se prihvati ili srednja vrednost ili da se ponovi analiza njihovih graničnih vrednosti.