Frekvencijska analiza vremenski diskretnih signala izabrano iz predmeta Signali i sustavi

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala aperiodični diskretni signal možemo generirati iz kontinuiranog aperiodičnog signala otipkavanjem postupak uzimanja uzoraka ili otipkavanja kontinuiranog signala možemo matematički modelirati kao pridruživanje funkciji x(t) niza impulsa, čiji intenzitet je proporcionalan trenutnim vrijednostima kontinuiranog signala xs(t)= ST{x(t)}

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala niza funkcijom x(t) , tj. Možemo to interpretirati kao modulaciju impulsnog

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala zbog svojstva delta funkcije da vadi vrijednost kontinuirane funkcije x(t) na mjestu diskontinuiteta t - nT = 0, tj. tn = nT, može se napisati i u obliku:

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala usporedimo spektre ovih signala za signal x(t) vrijedi par:

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala Periodičan niz dT nastao ponavljanjem delta funkcije svakih T, kao svaka periodična funkcija se dade predstaviti Fourierovim redom, gdje su Fourierovi koeficijenti dani s: Fs je frekvencija otipkavanja slijedi:

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala spektar otipkanog signala xs(t) dan je s: zamjenom redoslijeda sumacije i integracije dobivamo: integral je spektar signala x(t) , ali pomaknut za kFs, pa izlazi:

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala pokazano je da je spektar otipkanog dakle diskretnog signala periodičan pa Fourierovu transformaciju diskretnog signala x[n] konačne energije možemo pisati:

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala važno je primijetiti da je X(e jω) periodičan s periodom 2 ovo je posljedica činjenice da je za diskretni signal frekvencijsko područje limitirano samo na interval (-, ) ili (0, 2) i da su sve frekvencije izvan tog intervala ekvivalentne frekvencijama unutar intervala

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala gornji izraz predstavlja prikaz X(e jω) uz pomoć Foureirovog reda pa uzorci x[n] predstavljaju Foureierove koeficijente izračunavanje x[n] iz X(e jω)

Fourierova transformacija diskretnih aperiodičnih signala izračunavanje x[n] iz X(e jω) započinje množenje obje strane s ej m i integracijom preko intervala (-, ):

Fourierova transformacija diskretnih aperiodičnih signala desna strana se preuređuje i izračunava: pa je konačno:

Fourierova transformacija diskretnih aperiodičnih signala zaključno, par za Fourierovu transformaciju aperiodičnih diskretnih signala je

Fourierova transformacija diskretnih aperiodičnih signala uobičajen je i prikaz spektra u polarnom obliku: za realni signal vrijedi: čemu je ekvivalentno

Primjer Fourierove transformacije aperiodičkog pravokutnog signala Zadan je pravokutni signal za koji treba odrediti Fourierovu transformaciju: L=5

Primjer Fourierove transformacije aperiodičkog pravokutnog signala Fourierova transformacija ovog signala je:

Primjer Fourierove transformacije aperiodičkog pravokutnog signala Amplitudni spektar je: fazni spektar je:

Primjer Fourierove transformacije aperiodičkog pravokutnog signala

Primjer Fourierove transformacije aperiodičkog pravokutnog signala

Primjer Fourierove transformacije aperiodičkog pravokutnog signala

Primjer Fourierove transformacije aperiodičkog pravokutnog signala

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala Fourierov red za kontinuirani periodični signal x(t) , perioda Tp, je: signal x(t) može biti prikazan s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenti spektar je diskretan pri čemu je razmak između susjednih komponenti 1/Tp

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala diskretni periodični signal x[n] ima periodični spektar (zbog diskretnosti signala u vremenskoj domeni) koji se ponavlja svakih 2  područje frekvencija (-, ) ili (0, 2) diskretni periodični signal x[n] ima diskretan spektar (zbog periodičnosti signala u vremenskoj domeni) pri čemu je razmak između susjednih frekvencijskih komponenti 2/N radijana  Fourierov red za periodični diskretni signal sadržavati će najviše N frekvencijskih komponenti

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala Za diskretni periodični signal x[n] perioda N vrijedi: Fourierov red periodičnog signala sadrži N harmonički vezanih kompleksnih eksponencijalnih funkcija:

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala Fourierov red za diskretini periodični signal: izvod izraza za Foureriove koeficijente ck: obje strane se množe s eksponencijalom e-j2 l n/N a zatim se produkti zbrajaju od n=0 do n=N-1

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala zamijenimo redoslijed sumacije: uz sumaciju desna se strana reducira na Ncl pa slijedi:

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala što je izraz za Fourierove koeficijente signala x[n]

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala zaključno, par za Fourierovu transformaciju periodičnih diskretnih signala je

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala jednadžba se u engleskoj terminologiji naziva discrete-time Fourier series (DTFS) Fourierovi koeficijenti ck, k =0, 1, 2, ....,N-1, omogućavaju prikaz x[n] u frekvencijskoj domeni, tako da ck predstavljaju amplitudu i fazu vezanu uz frekvencijske komponente gdje je

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala slijedi važno svojstvo periodičnosti ck prema tome {ck} je periodični niz s osnovnim periodom N prema tome:

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala spektar signala x[n], koji je periodičan s periodom N, je periodičan niz s periodom N  bilo kojih N susjednih uzoraka signala ili njegova spektra su dovoljni za potpuni opis signala u vremenskoj ili frekvencijskoj domeni

Spektar realnog periodičkog diskretnog signala za realni periodični x[n] koeficijenti Fourierovog reda {ck}zadovoljavaju slijedeći uvjet: iz čega slijedi: a zbog ck = ck+N slijedi

Primjer Fourierove transformacije periodičkog pravokutnog signala zadan je periodični pravokutni diskretni signal kao na slici: L=5 N=16 -N L N N+L

Primjer Fourierove transformacije periodičkog pravokutnog signala izračunavaju se ck

Primjer Fourierove transformacije periodičkog pravokutnog signala primjeri:

L=4 N=16 A=1

L=16 N=16 A=1

L=1 N=16 A=1

L=5 aperiodični signal x[n] L=5 periodični signal x[n]

Digitalna obradba kontinuiranih signala Signali i sustavi

Digitalna obradba kontinuiranih signala Digitalna obradba kontinuiranih signala se sastoji od tri osnovna koraka: pretvorba vremenski kontinuiranog signala u vremenski diskretan signal obradba vremenski diskretnog signala pretvorba obrađenog diskretnog signala u vremenski kontinuirani signal

Digitalna obradba kontinuiranih signala x(t) idealno tipkalo x[n] procesor diskretnih signala y[n] idealni interpolator y(t)

Digitalna obradba kontinuiranih signala ovdje će se razmotriti: otipkavanje i 3. interpolacija

Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog signala

Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog signala otipkavanjem kontinuiranog signala x(t) čiji je spektar X(F) dobiva se signal xs(t) čiji je spektar Xs(F) i pokazano je da pri tome vrijedi: spektar Xs(F) otipkanog signala xs(t) je periodično ponavljani spektar X(F) kontinuiranog signala.

Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog signala Pretpostavimo da je spektar X(F) frekvencijski ograničen X(F) = 0 za | F | > Fmax Različite frekvencije tipkanja signala Fs = 1/T mogu u spektru Xs(F) izazvati različite rezultate zavisno od toga da li je Fs - Fmax > Fmax ili Fs - Fmax < Fmax odnosno (i) Fs > 2 Fmax (ii) Fs < 2 Fmax.

Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog signala preklapanje sekcija spektra (engl. “aliasing”)

Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog signala Diskretni se signal može smatrati ekvivalentnim kontinuiranom samo ako je moguće rekonstruirati izvorni signal x(t) iz otipkanog xs(t) odnosno ako se iz spektra Xs(F) može dobiti originalni X(F) . Postupak rekonstrukcije pretpostavlja izdvajanje osnovne sekcije spektra filtriranjem. To će biti moguće načiniti bez pogreške samo ako je spektar X(F) ograničen na Fmax, te ako je frekvencija otipkavanja Fs > 2 Fmax. teorem otipkavanja

Antialiasing filtri Aliasing, koji se javlja pri otipkavanju frekvencijski neomeđenog signala, izbjegava se filtriranjem kontinuiranog signala tzv. antialiasing filtrom. Antialiasing filtri su niskopropusni analogni filtri koji propuštaju komponente spektra frekvencija nižih od pola frekvencije otipkavanja, dok više frekvencije guše. Koriste se realni filtri koji imaju konačnu širinu prijelaznog pojasa frekvencijske karakteristike i konačno gušenje u pojasu gušenja.

Antialiasing filtri područje propuštanja za 0 < F < F1 , ½H(F)½ 1 područje propuštanja za 0 < F < F1 , područje gušenja za F2 < F < ¥ , vrijedi : F1 < F2 .

Amplitudna frekvencijska karakteristika eliptičkog filtra Fp Fs 1-δp 1+δp δs |H(F)| područje gušenja područje propuštanja

Niskopropusni analogni filtri

Butterworth filtri

Chebyshev1 filtri

Usporedba filtara Fp =5000 Hz Fs = 7500 Hz Rp=3 dB Rs=40 dB

Usporedba filtara Fp =5000 Hz Fs = 7500 Hz Rp=3 dB Rs=40 dB

Otipkavanja kontinuiranog signala greška uslijed aliasinga

Otipkavanje realnih signala zbog konačne širine prijelaznog područja realnih antialiasing filtara potrebno je signal otipkavati nešto većom frekvencijom od dvostruke maksimalne frekvencije signala  oversampling u digitalnoj telefoniji standardizirano je frekvencijsko područje od 3.4 kHZ koje osigurava telefonsku konverzaciju zadovoljavajuće kvalitete u postupku digitalizacije otipkavanje se provodi s 8 kHz što je više od dvostruke širine spektra signala

Otipkavanje realnih signala slično je kod digitalne obradbe glazbenih signala, čija je frekvencijsko područje širine 20 kHz osigurava visoko vjernu reprodukciju u slučaju pohrane analognog glazbenog signala na CD frekvencija otipkavanja je 44.1 kHz što je opet više od dvostruke maksimalne frekvencije signala u realnim CD uređajima (Dual prije 12 godina) frekvencija otipkavanja 352.8 kHz (8 x oversampling)

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog Periodični spektar Xs(F) može se dobiti i iz u dobivenom izrazu se može prepoznati Fourierov red za periodični spektar Xs(F)

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog Da bi se dobila osnovna sekcija spektra Xc(F) odnosno po mogućnosti X(F) , potrebno je izvršiti filtraciju Xs(F) s filtrom frekvencijske karakteristike Hr , Xc(F) = Xs(F) Hr(F)

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog Hr(F) Fs /2 pretpostavimo za Hr idealan filter F Hr(F) Fs / 2 1 -Fs / 2

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog Impulsni odziv je neka je frekvencija otipkavanja Fs > 2 Fmax, tako da unutar pojasa ponavljanja (- Fs/2, Fs /2), nema preklapanja sekcija spektra. tada je uz prije izvedeno:

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog ) ( 2 F X e nT x H s FnT j n r = ú û ù ê ë é - +¥ -¥ å p inverznom Fourierovom transformacijom spektra X(F) slijedi: ò å ¥ - +¥ -¥ = ú û ù ê ë é dF e nT x F H Ft j FnT n r s p 2 ) ( 1

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog Kontinuirani signal x(t) rekonstruiran je iz uzoraka otipkanog signala x(nT) interpolacijom s funkcijom:

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog možemo zaključiti kako je kontinuirani signal x(t), koji ima frekvencijski omeđen spektar tj. X(F) = 0 za |F|>Fs/2, jednoznačno određen trenutnim vrijednostima u jednoliko raspoređenim trenucima tn = nT = n/Fs interpolacijska funkcija predstavlja impulsni odziv idealnog filtra

filtar ima nekauzalan odziv i prema tome je neostvariv

Interpolator nultog reda

Interpolator prvog reda

Digitalna obradba kontinuiranih signala pretvorba vremenski kontinuiranog signala u vremenski diskretan signal izvodi se analogno-digitalnim (A/D) pretvornikom što znači da je vremenski diskretan signal potrebno kvantizirati i po amplitudi 2. obradba vremenski diskretnog signala izvodi se digitalnim procesorom 3. pretvorba obrađenog diskretnog signala u vremenski kontinuirani signal izvodi se pomoću digitalno-analognog (D/A) pretvornika

Digitalna obradba kontinuiranih signala Lanac sklopova potrebnih za digitalnu obradbu kontinuiranih signala prikazan je blok dijagramom antialiasing filtar digitalni procesor S/H A/D D/A rekonstrukcijski x(t) y(t)

Diskretizacija kontinuiranoga spektra

Diskretizacija kontinuiranoga spektra Spektar aperiodičnih kontinuiranih signala je kontinuiran spektar aperiodičnih diskretnih signala također je kontinuiran i još k tome i periodičan ovdje se razmatraju postupak otipkavanja spektra tj. diskretizacija u spektralnoj domeni postupak koji ćemo ovdje primijeniti identičan je postupku primijenjenom kod otipkavanja vremenski kontinuiranih signala

Diskretizacija kontinuiranoga spektra diskretizaciju kontinuiranog spektra možemo interpretirati kao modulaciju impulsnog niza funkcijom X(F) dakle:

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala Periodičan niz nastao ponavljanjem delta funkcije svakih F0, kao svaka periodična funkcija se dade predstaviti Fourierovim redom: gdje su amplitude cn dane s:

Frekvencijska analiza diskretnih aperiodičnih signala slijedi: inverznom transformacijom Xd(F) dobiva se kontinuirani signal xd(t) koji odgovara otipkanom spektru:

Diskretizacija kontinuiranoga spektra i konačno: otipkavanje kontinuiranog spektra X(F) aperiodičkog signala x(t) rezultira u njegovom periodičnom ponavljanju svakih Tp=1/F0

Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog Uz Xd(F) prikazan kao: xd(t) dobivamo inverznom transformacijom kao:

Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog xd(t) je periodična funkcija prikazana Fourierovim redom rekonstrukciju kontinuiranog spektra postiže se izdvajanjem samo osnovne sekcije od xd(t) što se postiže množenjem xd(t) s idealnim pravokutnim otvorom

Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog čiji je spektar: prvu sekciju signala dobivamo množenjem s w(t) :

Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog spektar X(F), izražen uz pomoć X(kF0) slijedi iz x(t) zamjenjujemo s prije izvedenim

Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog finalno spektar X(F), izražen uz pomoć X(kF0), je: dakle spektar X(F) jednoznačno je određen iz svojih uzoraka X(kF0), interpolacijom funkcijom: Zaključak: kontinuirani spektar signala koji ima omeđeno trajanje (x(t)=0 za |t|>Tp/2) jednoznačno je određen svojim uzorcima na jednoliko raspoređenim frekvencijama Fk=kF0=k/Tp

Dimenzionalnost signala tipkanje signala u vremenskoj domeni  ponavljanje spektra s Fs (aliasing u FD) tipkanje signala u frekvencijskoj domeni  ponavljanje signala s Tp (aliasing u VD) relativna greška u FD i VD može biti ocijenjena energijom signala i spektra izvan izabranog trajanja signala Tp, odnosno frekvencijskog pojasa Fs, prema ukupnoj energiji

Dimenzionalnost signala relativna greška u FD relativna greška u VD greške se mogu ocijeniti poznavanjem brzine opadanja signala i spektra za |t| > Tp / 2 odnosno |F| > Fs / 2

Dimenzionalnost signala uz specificiranu dozvoljenu grešku aliasinga u FD i VD dobivamo Tp i Fs - trajanje i širinu pojasa signala. potreban broj uzoraka u VD potreban broj uzoraka u FD dimenzija signala

Diskretna Fourierova transformacija (DFT)

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) DFT se koristi za numeričko određivanje spektra signala. signal i njegov spektar treba predstaviti uzorcima odnosno otipkati  otipkani signal i njegov otipkani spektar periodički će se produžiti prije je dan par za Fourierovu transformaciju periodičnih diskretnih signala (koji imaju diskretan i periodičan spektar) i on će biti korišten u numeričkom izračunavanju uzoraka spektra signala

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) prije je pokazano da pri otipkavanju kontinuiranog spektra aperiodičkog kontinuiranog signala rezultira u periodizaciji vremenskog signala i u slučaju vremenski neomeđenog signala nastaje aliasing u vremenskoj domeni razmotrimo sada otipkavanje kontinuiranog spektra aperiodičkog diskretnog signala spektar diskretnog aperiodičkog signala je kontinuiran (i periodičan s periodom 2π):

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) kako je spektar periodičan s 2π dovoljno je pri otipkavanju spektra uzeti samo uzorke iz osnovnog perioda za N jednoliko raspodijeljenih uzoraka razmak između uzoraka će biti 2π/N otipkajmo sada X(ejω) na frekvencijama ω= 2πk/N transformirajmo sumaciju u beskonačni zbroj sumacija od N članova

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) zamjenom indeksa n u unutarnjoj sumaciji s n-lN i zamjenom redoslijeda sumacije slijedi:

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) signal: dobiven je periodičnim ponavljanjem x[n] i periodičan je s periodom N  može biti prikazan uz pomoć Fourierovog reda

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) pa su kako je prije pokazano za Fourierove koeficijente periodičnih diskretnih signala oni: ako su usporede ck i X(ej2πk/N) slijedi:

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) stoga je: prije izvedeni X(ej2πk/N) možemo pisati:

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) otipkavanjem spektra aperiodičnog diskretnog signala može doći do pojave aliasianga u vremenskoj domeni za diskretne signale x[n] duljine L pri čemu je L  N nema pojave aliasinga i vrijedi da je: iz svega slijedi:

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) za aperiodički diskretni signal x[n] duljine L (x[n] = 0 za n< 0 i n  L) vrijedi par: diskretna Fourierova transformacija (DFT) 2. inverzna diskretna Fourierova transformacija (IDFT)

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) IDFT