MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH -----

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 3) Nhân hai ma trận: Ví dụ:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Tính chất của tích các ma trận: Định lý 4: vô hướng

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Chứng minh (1) Ký hiệu: Dmxp=AmxnBnxp, Emxq=(AB)C=DmxpCpxq Fnxq=BnxpCpxq, Gmxq=A(BC)=AmxnFnxq Ta cần cm: E=G Tính : Dmxp? Phần tử d11? Các phần tử hàng 1 của D:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Các phần tử hàng 1 của D: Tính Emxq?: Tính e11:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Tính eij: Vậy E=G (đpcm)

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1) Tồn tại AB và BA, trong trường hợp tổng quát AB khác BA (phép nhân 2 ma trận không có tính giao hoán). Ngược lại, nếu AB=BA thì ta nói A và B giao hoán với nhau Ví dụ: 2) Giả sử: A khác không và B khác không, thì có thể AB=0. Do đó khẳng định “AB=0 thì A=0 hay B=0” là sai. Ví dụ:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Định lý 5: Cho Amxn, Bnxp thì Chứng minh:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Lỹ thừa ma trận: Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta gọi lũy thừa bậc k (k: số nguyên) của A là một ma trận cấp n (ký hiệu Ak) được xác định một cách quy nạp như sau Ma trận lũy linh: Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa điều kiện Ak=0 với một số nguyên k nào đó thì A gọi là một ma trận lũy linh. Ví dụ:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Tính chất: Cho A là ma trận vuông cấp n, r và s là hai số nguyên

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Ma trận dạng bậc thang chính tắc: Nếu một hàng có một số khác không thì số khác không bên trái nhất bằng 1, được gọi là phần tử chính. Những hàng gồm toàn những phần tử không nằm ở dưới cùng. Nếu hai hàng kề nhau có phần tử chính thì phần tử chính của hàng trên nằm bên trái phần tử chính hàng dưới. Mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác đều bằng không.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Ma trận dạng bậc thang: Ma trận bậc thang có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0. Trên hai dòng khác không, phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác không đầu tiên của dòng trên. Dòng 0 là dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 5. Ma trận vuông khả nghịch: Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n khác không, ta nói A khả nghịch khi tồn tại ma trận B cùng cấp với A sao cho: AB=BA=In. Khi đó ta nói B là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu: B=A-1. Nếu A không khả nghịch, ta nói A suy biến. Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì A cũng là ma trận nghịch đảo của B.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Tính chất: Nếu A có một dòng bằng 0 (hay một cột bằng 0) thì A suy biến. Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là duy nhất. Nếu A khả nghịch thì AT, αA (α≠0), A-1 cũng khả nghịch và hơn nữa: Nếu A và B cùng khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)-1=B-1A-1. Nếu A1, A2,…,An cùng khả nghịch thì tích của chúng cũng khả nghịch và (A1A2…An)-1=An-1An-1-1…A1-1.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên dòng: Cho ma trận vuông A cấp n: Bước 1: Lập ma trận có dạng [An|In]. Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa [A|I] về dạng [A’|B]. Có 2 trường hợp: MT A’ có một dòng (hoặc một cột) bằng 0. Ta dừng lại và kết luận A suy biến. MT A’=In. Ta dừng lại và kết luận A khả nghịch, và ma trận nghịch đảo A-1=B.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 5. Hệ phương trình đại số tuyến tính: Định nghĩa: Một hệ PT ĐSTT trên R là một hệ gồm m phương trình bậc nhất (n ẩn) có dạng tổng quát: (*) trong đó các aij (gọi là các hệ số) và các bi (các hệ số tự do) là các phần tử cho trước, các xj là các ẩn cần tìm. Ta nói (c1,c2,…,cn) là nghiệm của hệ (*) nếu khi thay x1=c1, x2=c2…,xn=cn vào (*) thì tất cả các đẳng thức trong (*) đều thỏa.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Nếu các hệ số tự do bi=0 thì hệ trở thành hệ PT ĐSTT thuần nhất. Hệ PT ĐSTT thuần nhất có ít nhất một nghiệm là (x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0): gọi là nghiệm tầm thường. Định lý: Đối với một hệ PT ĐSTT thì chỉ có một trong 3 trường hợp nghiệm: Có nghiệm duy nhất, Có vô số nghiệm, Vô nghiệm. Hệ quả: Hệ PT ĐSTT thuần nhất chỉ có: Nghiệm tầm thường, Vô số nghiệm.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Hệ (*) được viết lại dưới dạng ma trận như sau: Ma trận hệ số. Ma trận ẩn số. Ma trận hằng số.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Ký hiệu: Ma trận hệ số mở rộng của hệ (*).

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa: Hệ 2 PT ĐSTT (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương nhau nếu nó có cùng tập nghiệm. Định lý: Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn sao cho ma trận hệ số mở rộng của hai hệ lần lượt là và . Khi đó nếu thì hai hệ trên tương đương nhau.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Lưu ý: Hai ma trận tương đương nhau khi và chỉ khi tồn tại một số hữu hạn các phép BĐSC trên dòng biến ma trận này thành ma trận còn lại. Từ hệ PT ĐSTT ban đầu ta sử dụng các phép BĐSC trên dòng tùy ý đối với ma trận hệ số mở rộng của hệ này đưa nó về dạng một hệ PT ĐSTT đơn giản hơn. Đối với hệ PT thuần nhất có cột các hệ số hằng bằng 0, nên khi giải ta không cần lập ma trận hệ số mở rộng mà chỉ cần lấy ma trận hệ số để biến đổi.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Phương pháp Gauss – Jordan giải hệ PT ĐSTT: Gồm 3 bước: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang chính tắc. Bước 3: Biện luận nghiệm.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss - Jordan:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhất

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Phương pháp Gauss giải hệ PT ĐSTT: Gồm 3 bước: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng. Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang. Bước 3: Biện luận nghiệm.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss:

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhất

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Nhận xét: Trong quá trình biến đổi nếu: Có các dòng bằng 0 thì ta loại dòng đó đi. Có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì ta loại một trong 2 dòng đó đi. Nếu một dòng có dạng [0 0 … 0|b] với b khác không thì hệ PT vô nghiệm.

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Giải hệ PT ĐSTT bằng ma trận nghịch đảo: Xét hệ PT ĐSTT gồm n phương trình và n ẩn số có dạng AX=B. Định lý: Nếu A không suy biến thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất X=A-1B

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

bxthang071@yahoo.com.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/~bxthang/dsc2009