KOMBINATORIKA Vežbe 1 1

Osnovna prebrojavanja Vežbe 1 Osnovna prebrojavanja 2

1. Koliko ima permutacija skupa {1, ... , n} u kojima: (a) 1 i 2 su susedi; (b) 1 i 2 nisu susedi; (c) 1 stoji ispred 2 (ne mora neposredno); (d) između 1 i 2 stoji tačno k brojeva? 2. Na koliko načina se n osoba mogu rasporediti za okrugli sto, ako se dva rasporeda u kojima svaka osoba ima istog suseda s desne strane ne razlikuju? 3. Koliko različitih delitelja ima broj 1000? 3

(b) Koji prirodni brojevi imaju neparan broj delitelja? 4. (a) Ako su p1, p2, ... , pn različiti prosti brojevi i k1, k2, ... , kn prirodni brojevi, koliko delitelja ima broj p1 p2 ... pn ? k1 k2 kn (b) Koji prirodni brojevi imaju neparan broj delitelja? 5. Na koliko načina mogu da se poređaju u niz n nula i k jedinica, tako da nikoje dve jedinice ne budu susedne? 6. Na polici se nalazi n knjiga. Na koliko načina se može izabrati k knjiga, tako da nikoje dve nisu od njih nisu susedne? 4

7. Za okruglim stolom kralja Artura sedi n vitezova, pri čemu je svaki u svađi sa svoja dva suseda. Na koliko načina se može izabrati k vitezova, tako da nikoja dva nisu u svađi? 8. Na polici se nalazi n knjiga. Na koliko načina se može izabrati k knjiga, tako da između svake dve izabrane knjige stoji bar l knjiga? 9. Koliko rešenja ima jednačina x + y + z  0 (mod 3) u skupu {1, 2, ... , 3n}? 10. Koliko rešenja ima jednačina x1 + x2 + ... + xk = n u skupu: (a) Z+  {0}; (b) Z+ ? 5

11. S koliko nula se završava 1000! ? 12. Iz mesta A u mesto B vode (sl. 1): (a) 2 puta; (b) 3 puta; (c) k puteva. n n n ... B A k A B B A Sl. 1. Osim njih, postoji još n "poprečnih" puteva. Na koliko različitih načina može da se stigne iz A u B ako nema vraćanja unatrag i prelaženja istom deonicom dva ili više puta? 6

(c)* Koliko ima kvadrata čija su temena čvorovi mreže? 13. Kvadrat n  n podeljen je horizontalnim i vertikalnim linijama na n2 jediničnih kvadrata. Koliko na toj mreži ima: (a) pravougaonika; (b) kvadrata čija su temena čvorovi mreže i čije su stranice paralelne linijama mreže? (c)* Koliko ima kvadrata čija su temena čvorovi mreže? 1 2 n 1 2 n 7

14. Na pravoj a uočene su tačke A1, 14. Na pravoj a uočene su tačke A1, ... , Ap, a na njoj paralelnoj pravoj b tačke B1, ... , Bq. Posmatraju se sve duži Ai Bj, i = 1, ... , p, j = 1, ... , q. Ako se nikoje tri ne seku u jednoj tački, koliko ima tačaka preseka? 15. Na svakoj stranici kvadrata ABCD dato je po n (n  0) tačaka. Koliko ima trouglova čija su temena uočene tačke ili temena kvadrata? 12. Na koliko načina se k domina formata 1  2 može postaviti na označenu traku 1  n, tako da svaka domina pokriva dva susedna kvadrata? 8

1o lovci su raznobojni (jedan na belom, drugi na crnom polju); 13. Na koliko načina se na 1. red šahovske table mogu rasporediti 8 belih figura: 1 kralj, 1 dama, 2 topa, 2 lovca i 2 skakača, tako da su ispunjeni sledeći uslovi: 1o lovci su raznobojni (jedan na belom, drugi na crnom polju); 2o kralj je između topova (ne mora neposredno) ? a b c d e f g h 1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h 1 2 3 4 5 6 7 8 9

14. Na kružnici je uočeno n, n  4, tačaka od kojih je jedna obojena crveno, dok su sve ostale crne. Posmatraju se svi mnogouglovi upisani u kružnicu čija su temana neke od uočenih tačaka. Kojih ima više, onih kod kojih je jedno teme crveno ili onih čija su sva temena crna? 15. Na koliko načina se iz niza 1, 2, ... , 2n mogu izabrati tri različita broja koja obrazuju aritmetičku progresiju? 16. Koliko najviše ima permutacija skupa {1, 2, ... , n}, takvih da su svaka dva broja susedna u najviše jednoj permutaciji? 10

17. Odrediti maksimalan broj poskupova skupa od n elemenata, takvih da je presek svaka dva neprazan. 18.* Da li za svaki prirodan broj n postoji permutacija a1 ... an brojeva 1, ... , n, takva da za svaki par ai, aj njihova aritmetička sredina nije jednaka nijednom broju koji stoji između njih? 11

Binomna i polinomna formula Vežbe 2 Binomna i polinomna formula 12

Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ = ; . = 1. Dokazati identitete: = 4n ; (a) n i 3i (b) n i Σ i = 1 = n 2n  1 ; n i (c) Σ i = 0 = n 2n  1 ; (i + 1) (d) i2 n i Σ i = 1 = n (n + 1) 2n  2 ; n i (e) Σ i = 1 = (2n + 1  1) . i + 1 1 n + 1 2. Dokazati identitete: (a) n i Σ i = 1 = 0 ; ( 1)i i n i (b) Σ i = 1 i + 1 ( 1)i = n + 1 1 . 3. Dokazati identitete: (a) m i Σ i = 0 k = n k  i m + n ; Σ i = 0 n n i 2 2n n . = (b) 13

Σ + + ... + = ; + + ... + = . 3. Dokazati identitete: (a) n n + 1 n + k n + k + 1 + + ... + = ; (b) n n + 1 1 n + k k n + k + 1 + + ... + = . 4. Dokazati identitet n i k n  k i  k = (a) algebarski; (b) kombinatorno. 5. Dokazati identitet ( 1)k za n = k Σ i = k n ( 1)i i k = 0 za n > k 14

Paskalov trougao 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3 5 1 2 3 4 15

n k nivo n 1. = broj puteva od do k 2 3 nivo n = 0 1 3 10 5 4 6 2 1 = 20 1 2 = 21 2 4 = 22 3 8 = 23 4 16 = 24 5 32 = 25 1. n k = broj puteva od do 2. Suma brojeva na i-tom nivou = 2i 16

. 6. Dokazati da za polinomne koeficijente važi identitet = + + ... + i1 i2 ... ik n  1 i1  1 i2 ... ik i1 i2  1 ... ik i1 i2 ... ik  1 = + + ... + . 7. Odrediti koeficijent uz x5 u razvoju trinoma (1 + x + x2 )8 . 8.* Koji od trinoma (1 + x2  x3)100 i (1  x2 + x3)100 ima veći koeficijent uz x20 u svom razvoju? 9. Ako je p prost broj, a x1, ... , xn celi brojevi, dokazati da je (x1 + x2 + ... + xn )  x1 + x2 + ... + xn p (mod p) . 10. (Fermat) Ako je p prost broj, a n ceo broj, dokazati da je n  n (mod p) . p 17

Formula uključenja-isključenja Vežbe 3 Formula uključenja-isključenja 18

4. Koliko ima brojeva u skupu: 1. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 106 koji nisu deljivi ni sa jednim od brojeva: (a) 2, 3, 5; (b) 4, 6, 8? 2. Koliko ima celih brojeva u skupu {1, 2, ... , 103} koji su deljivi sa 3, a nisu deljivi ni sa 5, ni sa 7? 3. Koliko ima prirodnih brojeva koji su delitelji bar jednog od brojeva 1040 i 2030? 4. Koliko ima brojeva u skupu: (a) {1, 2, ... , 104}; (b) {103, 103 + 1, ... , 104} koji nisu ni potpuni kvadrati, ni potpuni kubovi? 19

(a) nikoja 3 uzastopna slova nisu jednaka; 5. Na koliko načina se slova a, a, a, b, b, b, c, c, c, mogu poređati u niz, tako da: (a) nikoja 3 uzastopna slova nisu jednaka; (b)* nikoja 2 uzastopna slova nisu jednaka? 6. Na koliko načina se mogu poređati u niz 3 Engleza, 3 Francuza i 3 Nemca, tako da: (a) nikoja 3 sunarodnika nisu susedna; (b)* nikoja 2 sunarodnika? 7. Koliko ima permutacija a1 a2 ... an skupa {1, 2, ... , n}, takvih da je ai  i za svako i{1, 2, ... , n}? 8. Koliko ima permutacija a1 a2 ... an skupa {1, 2, ... , n}, takvih da je ai = i za tačno k, 0  k  n, elemenata i{1, 2, ... , n}? 20

Σ deranžman (besporedak, rastroj) Dn = n! (1  +  ... + (1)n = n! 1! 1  2! +  ... n! + (1)n = n! Σ i = 0 n (1)i i! 1 ) 9. Dokazati da za broj deranžmana Dn važe identiteti: (a) Dn = (n  1) (Dn  1 + Dn  2 ) ; (b) Dn = n Dn  1 + (1)n . 10. Dokazati da je Dn paran broj ako i samo ako je n neparan. 11. Koliko ima permutacija skupa {1, 2, ... , n}, n  2, u kojima i + 1 ne stoji neposredno iza i za svako i{1, 2, ... , n  1}? 12. Na koliko načina se polja šahovske table mogu obojiti sa 8 različitih boja, tako da se u svakoj vrsti pojavljuju sve boje i u svakoj koloni svaka dva susedna polja su različito obojena? 21

13. Odrediti broj celobrojnih rešenja jednačine x1 + x2 + x3 = 15 ako je: (a) x1  0, x2  0, x3  0; (b) x1  1, x2  2, x3  3. 14. Odrediti broj celobrojnih rešenja jednačine x1 + x2 + x3 = 15 ako je 0  x1  5, 0  x2  6, 0  x3  7. 15. Odrediti broj celobrojnih rešenja jednačine x1 + x2 + x3 = 28 ako je 3  x1  9, 0  x2  8, 7  x3  17. 22

Σ 16. Dokazati da je broj celobrojnih rešenja jednačine x1 + x2 + ... + xn = r gde je 1  xi  k, jednak n i Σ i = 0 r  ki  1 n  1 ( 1)i . 17. Dokazati da za Stirlingove brojeve 2. vrste S(m, n) važi: (a) S (n, n  1) = n 2 ; n 3 (b) S (n, n  2) = 4 + 3 . 18. Ako je n  k  1, dokazati da je S (n, k) = S (n  1, k  1) + k S (n  1, k) . 23

19. Odrediti broj najkraćih puteva iz A u B na mreži X Y A (a) koji prolaze kroz X i Z; (b) koji prolaze kroz X i ne prolaze kroz Z; (c) koji ne prolaze deonicom XY; (d) koji ne prolaze kroz bar jedan od čvorova X i Z ? 24

20. Odrediti broj najkraćih puteva iz A u B na mreži G C E H D F I J (a) koji ne prolaze ni kroz jedan od odsečaka CD, EF, GH, IJ ; (b) koji prolaze kroz tačno dva od odsečaka CD, EF, GH, IJ . 25

21. Odrediti broj najkraćih puteva iz A u B na mreži C E D F ako su odsečci CD, DE i DF uklonjeni. 22. Na koliko načina se čvorovi figura na slici mogu obojiti sa n boja, tako da su svaka dva susedna čvora različito obojena. (a) (b) (c) 26

Vežbe 4 Rekurentne relacije 27

1. Rešiti rekurentne relacije: (a) an = 3an  1  2an  2 , a0 = 2, a1 = 3; (b) an  6an  1 + 9an  2 = 0 , a0 = 2, a1 = 3; (c) 2an = an  1 + an  2 , a0 = 0, a1 = 1; (d) an = 2(an  1  an  2) , a0 = 1, a1 = 1; (e) an  7an  1 + 15an  2  9an  3 = 0 , a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3. 2. Rešiti rekurentne relacije: 1 2 (a) an = an  1  3 , a0 = 2 (3 +  3 ) ; (b) an = 3an  1  4n , a0 = 2 ; (c) an  2an  1 = 32n , a0 = 1 ; (d) an  2an  1 = 32n  4n , a0 = 1 . 28

3. Rešiti rekurentne relacije: (a) an + an  1  2an  2 = 2n  2 , a0 = 0, a1 = 0 ; (b) an  4an  1 + 4an  2 = 2n , a0 = 0, a1 = 3 . 4. Rešiti rekurentnu relaciju an = pan  1 + q , a0 = r . 5. Rešiti rekurentne relacije: (a) an an  1 = 1010 , a0 = 1, an > 0 ; an  2 an  1 an 2 = (b) , a0 = , a1 = 1 . 1 4 29

6. Rešiti sisteme rekurentnih relacija: (a) an + 2an  1  4bn  1 = 0 bn + 5an  1  7bn  1 = 0 a1 = 4 , b1 = 1 ; (b) an = an  1  bn  1 bn = an  1 + 3bn  1 a0 = 1 , b0 = 5 . 7. Odrediti vrednost determinante An reda n, ako su p i q konstante različite od nule. p + q pq 1 . . . . An = 30

9. Na koliko načina se traka 2  n može "parketirati" pločicama: 8. Na koliko načina se traka 1  n može "parketirati" pločicama 1  1 i 1  2? n 9. Na koliko načina se traka 2  n može "parketirati" pločicama: n (b) i ; (c) i ; (a) ; (d)* i ? 31

x1 = 2 3 1 6 +  172 + 12  177 8  2,2056 x2, 3 = 2 3 1 12   172 + 12  177 4  2 i  3 1 6   172 + 12  177 3 8   2,2056  0,6655i f (x) = x3  2x2  1

10. Ako je Fn n-ti Fibonačijev broj, gde je Fn = Fn  1 + Fn  2 F0 = 0 , F1 = 1 , dokazati da za svako n  1 važe identiteti: (a) F1 + F2 + ... + Fn = Fn + 2  1 ; (b) F2 + F4 + ... + F2n = F2n + 1  1 ; (c) F1 + F3 + ... + F2n  1 = F2n ; (d) F1  F2 + F3  ... + ( 1)n + 1 Fn = ( 1)n + 1 Fn  1 + 1 . 11. Ako su m i n prirodni brojevi, n  2, dokazati da je: (a) Fm + n = Fm Fn  1 + Fm + 1 Fn ; (b) Fn + 1 Fn  1  Fn = (1)n ; 2 (c) ( Fn , Fn + 1 ) = 1 . 33

12. Odrediti vrednost determinante An reda n 1 . . . . 13. Koliko ima bijekcija f : {1, 2, ... , n}  {1, 2, ... , n}, takvih da je | f (i)  i |  1 za svako i  {1, 2, ... , n} ? 34

14. Na koliko delova dele ravan n (n  1) kružnica ako se svake dve seku i nikoje tri ne prolaze kroz istu tačku? 15. Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai  {0, 1, 2}, u kojima nikoje dve jedinice nisu susedne? 16. Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai  {0, 1, 2}, u kojima nikoje dve nule i nikoje jedinice nisu susedne? 17.* Krug je podeljen na n (n  1) isečaka kao na slici. Na koliko načina se isečci mogu obojiti sa k (k  3) boja, tako da svaka dva susedna isečka budu različito obojena? 1 2 3 n n  1 . 35

18.* Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai  {0, 1, 2, 3}, u kojima se svaka dva susedna elementa razlikuju tačno za 1? 19.* Koliko ima nizova a1a2 ... a2n , gde ai  {1, 1}, koji zadovoljavaju sledeća dva uslova: 10 Σ i = 1 2n ai = 0 ; 20 Σ i = 1 k ai  0 za  k = 1, 2, ... , 2n  1 ? 20.* (red pred kasom) Pred praznom bioskopskom kasom stoji 2n osoba od kojih n ima 0,5 eura, a preostalih n 1 euro. Ulaznica košta 0,5 eura. Na koliko načina tih 2n osoba mogu formirati red, tako da nema zastoja pri plaćanju. (Svaka osoba može da kupi ulaznicu i, ako ima 1 euro, dobije kusur.) 36

21.* Na koliko načina se može postaviti n  2 levih i n  2 desnih zagrada da bi se označio redosled množenja u proizvodu a1a2 ... an ? Na primer, za n = 4 ((a1 a2) a3)a4, (a1 a2) (a3 a4) itd. 22.* Na kružnici je dato 2n (n  1) tačaka. Na koliko načina se one mogu spojiti sa n tetiva, tako da se nikoje dve ne seku?

Vežbe 5 Generativne funkcije 38

1. Odrediti generativne funkcije za sledeće nizove: 1 0  i  n (a) ai = 0 i  n (b) bi = 1 i = 0, 1, ... (c) ci = (1)i i = 0, 1, ... (d) di = i (i  1) i = 0, 1, ... m i (e) ei = m  fiksno i = 0, 1, ...  i (f) fi =   R 39

2. Odrediti generativne funkcije za sledeće nizove: (a) (ai) = (1, 1, ... ) (b) (bi) = (1, k, k2, ... , kn, ... ) (c) (ci) = (1, 2, 3, ... , n, ... ) (d) (di) = (0, 1, 2, 3, ... , n, ... ) (e) (ei) = (0, 12, 22, 32, ... , n2, ... ) (f) ( fi ) = (0, 13, 23, 33, ... , n3, ... ) 40

3. Odrediti broj načina da se 10 jednakih slatkiša podeli trojici dečaka tako da nijedan dečak ne dobije više od 4 slatkiša. 4. Odrediti broj načina da se 40 jednakih kuglica rasporede u 7 različitih kutija, tako da u kutiji 1 bude bar 3, a najviše 10 kuglica. 5. Odrediti broj načina da se 100 jednakih stolica razmeste u 4 različite prostorije, tako da u svakoj prostoriji bude 10, 20, 30, 40 ili 50 stolica. 6. Koliko ima 4n-elementnih multi-podskupova multi-skupa M = {(3n)  x, (3n)  y, (3n)  z}, ako nN ?

7. Koliko ima 3n-elementnih multi-podskupova multi-skupa M = {n  x1, n  x2, ... , n  xm}, ako n, mN i n, m  3? 8. Naći broj celobrojnih rešenja jednačine x + 3y + 5z = 100 ako je x  0, y  1, z  1. 9. Koliko ima celih brojeva između 0 i 1010  1 čiji je zbir cifara jednak 48?