Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία ΙΙ Ψευδομεταβλητές

Εισαγωγή Σε πολλές κοινωνικές επιστήμες συναντάμε στην εκτίμηση κάποιου υποδείγματος παλινδρόμησης και ποιοτικές μεταβλητές που ονομάζονται ψευδομεταβλητές (dummy variables) ή δυαδικές μεταβλητές (binary variables). Οι μεταβλητές αυτές χαρακτηρίζουν την παρουσία ή απουσία κάποιου ποιοτικού χαρακτηριστικού στο υπόδειγμα που εκτιμούμε. Π.χ. το φύλο, το χρώμα, τη θρησκεία, τη γεωγραφική περιοχή, τις κομματικές πεποιθήσεις κτλ. Οι τιμές που παίρνουν οι μεταβλητές αυτές είναι η τιμή 1 όταν υπάρχει η παρουσία του ποιοτικού χαρακτηριστικού και η τιμή 0 όταν δεν υπάρχει το χαρακτηριστικό αυτό.

Διακρίνουμε δύο μοντέλα παλινδρόμησης με ποιοτικές μεταβλητές Όταν η ποιοτική μεταβλητή έχει θέση ερμηνευτικής μεταβλητής, εμφανίζεται δηλαδή ως ανεξάρτητη και Όταν η ποιοτική μεταβλητή έχει θέση εξαρτημένης μεταβλητής. Θα εξεταστούν μόνο οι περιπτώσεις των ψευδομεταβλητών που χρησιμοποιούνται σαν ανεξάρτητες μεταβλητές.

Οι ψευδομεταβλητές μπορούν να ενσωματωθούν σε υποδείγματα παλινδρόμησης τόσο εύκολα όσο και οι ποσοτικές μεταβλητές. Στην πραγματικότητα, ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης μπορεί να περιέχει μεταβλητές οι οποίες είναι όλες ψευδομεταβλητές. Τα υποδείγματα αυτά ονομάζονται Υποδείγματα Ανάλυσης Διακύμανσης (ANOVA). Τα μοντέλα αυτά χρησιμοποιούνται κυρίως στην έρευνα αγοράς, τη ψυχολογία, την κοινωνιολογία και την εκπαίδευση.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε την παρακάτω συνάρτηση: Yi = a +bDi + ui Όπου η ερμηνευτική μεταβλητή είναι μια ποιοτική μεταβλητή που παίρνει τιμές 0 και 1. Η συνάρτηση αυτή αντιστοιχεί στις δύο παρακάτω συναρτήσεις: Yi = a +ui (όταν Di=0) και Yi = (a+b) +ui (όταν Di=1)

Οι αντίστοιχοι μέσοι για τις δύο αυτές συναρτήσεις θα είναι: E(Yi/Di=0)=a και Ε(Yi/Di=1)=a+b Αν απεικονίσουμε τις δύο αυτές συναρτήσεις θα πάρουμε δύο ευθείες παράλληλες επειδή και οι δύο συναρτήσεις είναι γραμμικές και διαφέρουν μόνον ως προς τον σταθερό τους όρο. Επομένως, αναφερόμαστε σε μετατόπιση συνάρτησης.

Ψευδομεταβλητή στο σταθερό όρο β1+β3 β1

Ψευδομεταβλητή στην κλίση Έστω η ίδια περίπτωση, αλλά τώρα η ψευδομεταβλητή επηρεάζει την κλίση: Yi=β1+β2X2i+β3DiX2i+ui Έχουμε δύο περιπτώσεις: Di=0 Yi=β1+β2X2i+β3(0)iX2i+ui Yi=β1+β2X2i+ui Di=1 Yi=β1+β2X2i+β3(1)iX2i+ui Yi=β1+(β2+β3)X2i+ui

Ψευδομεταβλητή στην κλίση

Μοντέλα με περισσότερες από δύο κλάσεις Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ένα χαρακτηριστικό έχει περισσότερα από δύο επίπεδα (κλάσεις), όπως επιχειρήσεις που χωρίζονται σε μικρές, μεσαίες και μεγάλες. Στην περίπτωση αυτή που το χαρακτηριστικό έχει τρία επίπεδα χρησιμοποιούμε δύο ποιοτικές μεταβλητές. Γενικά, όταν ένα χαρακτηριστικό έχει κ επίπεδα (κλάσεις), τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε κ-1 ποιοτικές μεταβλητές.

Έστω η συνάρτηση: Υi = a+bXi+cD1i+dD2i+ui Στην οποία οι ποιοτικές μεταβλητές παίρνουν τις αντίστοιχες τιμές όταν: D1i=1, όταν η επιχείρηση είναι μικρή D1i=0, όταν η επιχείρηση δεν είναι μικρή D2i=1, όταν η επιχείρηση είναι μεσαία D2i=0,όταν η επιχείρηση δεν είναι μεσαία.

Η συνάρτηση αυτή αντιστοιχεί στις παρακάτω συναρτήσεις: Yi=a+bXi+ui, όταν D1i=0 και D2i=0 Yi=(a+c)+bXi+ui, όταν D1i=1 και D2i=0 Yi=(a+d)+bXi+ui, όταν D1i=0 και D2i=1

Παράδειγμα

Έστω ότι η συνάρτηση έχει τη μορφή: Yi = a+bXi+cD1i+dD2i+ui στην οποία το χαρακτηριστικό επίπεδο μόρφωσης έχει τρία επίπεδα μέση, ανωτέρα και ανωτάτη. Άρα θα έχω δύο ποιοτικές μεταβλητές D1 & D2. Η εκτίμηση της συνάρτησης είναι η ακόλουθη:

Εποχικές επιδράσεις Εξαρτάται από τη συχνότητα των δεδομένων. Τριμηνιαία– 4 ψευδομεταβλητές – DQ1, DQ2, DQ3, DQ4 Μηναία– 12 ψευδομεταβλητές – μία για κάθε μήνα Ημερήσια– 5 ψευδομεταβλητές – Dmon, Dtue, Dwed κτλ.

Εποχικές επιδράσεις Οι τιμές μιας χρονολογικής σειράς όταν αναφέρονται σε δεδομένα χρονικής διάρκειας μικρότερης του έτους π.χ. ημέρες, μήνες, τρίμηνα κτλ. Περιέχουν και εποχικές επιδράσεις. Η εποχικότητα αυτή μπορεί να ληφθεί υπόψη με τη χρήση ψευδομεταβλητών.

Εποχικές επιδράσεις Έστω το παρακάτω υπόδειγμα. Αν υποθέσουμε ότι οι εποχικοί παράγοντες επηρεάζουν μόνο το σταθερό όρο τότε το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ως: Χρησιμοποιούμε τόσες ψευδομεταβλητές όσα και τα τρίμηνα?Όχι γιατί το παραπάνω υπόδειγμα δεν μπορεί να εκτιμηθεί γιατί υπάρχει τέλεια γραμμική σχέση ανάμεσα στις ψευδομεταβλητές και στο σταθερό όρο. (παγίδα ψευδομεταβλητών). Yt = β0 +β1Χt +γ1Dt1 +γ2Dt2 +γ3Dt3 +γ4Dt4 +ut

Εποχικές επιδράσεις Για Dt1 =1, αν t αναφέρεται στο 1ο τρίμηνο, 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Για Dt2 =1, αν t αναφέρεται στο 2ο τρίμηνο, 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Για Dt3 =1, αν t αναφέρεται στο 3ο τρίμηνο, 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Για Dt4 =1, αν t αναφέρεται στο 4ο τρίμηνο, 0 σε κάθε άλλη περίπτωση

Εποχικές επιδράσεις Άρα εκτιμούμε: Yt = β0 +β1Χt+γ2Dt2 +γ3Dt3 +γ4Dt4 +ut Σημειώστε ότι μία ψευδομεταβλητή(εδώ η D1) αποκλείεται από το μοντέλο για να αποφύγουμε την παγίδα των ψευδομεταβλητών. Σ’αυτό το υπόδειγμα ο σταθερός όρος (β0) αντιστοιχεί στο σταθερό όρο του α’ τριμήνου, η εξίσωση του οποίου παίρνεται ως βάση σύγκρισης σε σχέση με τα επόμενα τρίμηνα.

Επομένως, θα έχουμε: 1o τρίμηνο: Yt = β0 +β1Χt+ ut 2o τρίμηνο: Yt = (β0 +γ2) +β1Χt+ ut 3ο τρίμηνο:  Yt = (β0 +γ3) +β1Χt+ ut 4ο τρίμηνο: Yt = (β0 +γ4) +β1Χt+ ut Για να ελέγξουμε αν πραγματικά ο εποχικός παράγοντας επιδρά, ελέγχουμε την υπόθεση Η0: γ2=γ3=γ4=0 Ηα: τουλάχιστον ένα γ≠0 Αν δεν απορρίψουμε την Η0 αυτό σημαίνει ότι η εποχικότητα δεν επιδρά στη διαμόρφωση του σταθερού όρου. Αν απορρίψουμε την Η0 αυτό σημαίνει ότι ο εποχιακός παράγοντας επιδρά στο σταθερό όρο διαφοροποιώντας τον.

Chow Test για δομική σταθερότητα Βήμα 1: Εκτιμούμε την εξίσωση της βασικής παλινδρόμησης. Yi=β1+β2X2i+ui Για τρία διαφορετικά σετ δεδομένων. Για όλο το δείγμα, n; Για την περίοδο πριν το σοκ, n1; Για την περίοδο μετά το σοκ, n2. Βήμα 2: Λαμβάνουμε το SSR για κάθε ένα από τα τρία σετ και τα ονομάζουμε SSRN, SSR1 και SSR2 αντίστοιχα.

Chow Test για δομική σταθερότητα Βήμα 3: Υπολογίζουμε το F-στατιστικό F Βήμα 4: Εάν το F-στατιστικό είναι μεγαλύτερο από την κριτική τιμή του F, F(k,n-2k) τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση ότι οι παράμετροι είναι σταθερές για όλο το σετ δεδομένων.

Χρήση των Ψευδομεταβλητών ως εναλλακτική του Chow Test

Παράδειγμα Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ετήσιες αμοιβές των καθηγητών ενός κολεγίου και το φύλο τους. Να βρεθεί αν γίνονται διακρίσεις στις αμοιβές των καθηγητών του κολεγίου σε σχέση με το φύλο τους.

ΑΜΟΙΒΕΣ (ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΔΟΛ) Α/Α ΑΜΟΙΒΕΣ (ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΔΟΛ) ΦΥΛΟ 1 22.0 Α 2 19.0 Γ 3 18.0 4 21.7 5 18.5 6 21.0 7 20.5 8 17.0 9 17.5 10 21.2

Αν εκτιμήσουμε την αρχική συνάρτηση θα πάρουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Υi = 18.00 + 21.28Di (57.73) (7.439) [0.000] [0.000] {0.311} {0.441} R2=0.8579 F (1,8) = 55.341 [0.000]

Παράδειγμα

Έστω ότι η συνάρτηση έχει τη μορφή: Yi = a+bXi+cD1i+dD2i+ui στην οποία το χαρακτηριστικό επίπεδο μόρφωσης έχει τρία επίπεδα μέση, ανωτέρα και ανωτάτη. Άρα θα έχω δύο ποιοτικές μεταβλητές D1 & D2. Η εκτίμηση της συνάρτησης είναι η ακόλουθη:

Προσοχή στη Χρήση Ψευδομεταβλητών (Gujarati , Porter σελ 259-260) Τέλεια συγγραμμικότητα . Παγίδα ψευδομεταβλητών – Αν μία ποιοτική μεταβλητή έχει m κατηγορίες, εισάγετε μόνο (m-1) ψευδομεταβλητές. Η κατηγορία η οποία δεν αντιστοιχίζεται με ψευδομεταβλητή είναι γνωστή ως κατηγορία βάσης, κατηγορία αναφοράς, κατηγορία ελέγχου. Η τιμή του συντελεστή της σταθεράς αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή της κατηγορίας αναφοράς. Εάν μία ποιοτική μεταβλητή έχει περισσότερες από μία κατηγορίες, η επιλογή της κατηγορίας αναφοράς εξαρτάται αυστηρά από τον ερευνητή. Υπάρχουν δύο τρόποι για να μην πέσουμε στην παγίδα των ψευδομεταβλητών: Εισάγουμε όλες τις ψευδομεταβλητές στο υπόδειγμα απαλείφοντας το συντελεστή σταθεράς. Ή Συμπεριλαμβάνουμε τη σταθερά και εισάγουμε (m-1) ψευδομεταβλητές.