Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών 1

Σκοποί ενότητας Βιβλιογραφία Αντικείμενο μαθήματος Σκοποί ενότητας Βιβλιογραφία Αντικείμενο μαθήματος Χρησιμότητα και αναγκαιότητα μαθήματος στο ΠΠΣ 2

Περιεχόμενα ενότητας Βιβλιογραφία Αντικείμενο μαθήματος Χρησιμότητα και αναγκαιότητα μαθήματος στο ΠΠΣ 3

Διακριτά Μαθηματικά Εισαγωγή 4

Βιβλιογραφία (I) Διακριτά Μαθηματικά και Εφαρμογές τους K. Rosen Διακριτά Μαθηματικά Γ. Βουτσαδάκης, Λ. Κυρούσης, Χρ. Μπούρας, Π. Σπυράκης Ενότητα 1: Εισαγωγή 5

Βιβλιογραφία (II) Διαφάνειες διαλέξεων Σύντομες σημειώσεις Δημοσιευμένες εργασίες Διαδίκτυο Ενημέρωση από την ιστοσελίδα του μαθήματος Ενότητα 1: Εισαγωγή 6

Διακριτά Μαθηματικά: αντικείμενο Discrete Mathematics διακριτός: ρηματικό επίθετο σε -τός < από το ρ. διακρίνω  - που εύκολα μπορεί κανείς να τον ξεχωρίσει από άλλον Τα Διακριτά Μαθηματικά ασχολούνται με τη μέτρηση διακριτών (δηλ., ξεχωριστών) αντικειμένων pixels σε μια οθόνη, χαρακτήρες σε έναν κωδικό (password), διαδρομές για μετάβαση από ένα γεωγραφικό μέρος σε ένα άλλο... "τα Διακριτά Μαθηματικά ασχολούνται με τη μελέτη μαθηματικών δομών που είναι εκ φύσεως διακριτές και δεν εμπεριέχουν την έννοια της συνέχειας. Τα αντικείμενα αυτά είναι κυρίως αριθμήσιμα σύνολα (π.χ., ακέραιοι αριθμοί), γραφήματα και γλώσσες". Ενότητα 1: Εισαγωγή 7

Διακριτά Μαθηματικά: εφαρμογές Υπάρχει έντονη συσχέτιση των Διακριτών Μαθηματικών με την Επιστήμη των Υπολογιστών τα διακριτά αντικείμενα αναπαρίστανται πολύ πιο εύκολα (π.χ., 0,1) συνήθως οι αλγόριθμοι αφορούν στη διαχείριση διακριτών οντοτήτων (όπως, δομές δεδομένων, ακέραιοι αριθμοί, αριθμοί πεπερασμένης ακρίβειας, κ.λ.π.) Ωστόσο, τα Διακριτά Μαθηματικά χρησιμοποιούνται στην πράξη για την επίλυση προβλημάτων κάθε μορφής από διάφορα επιστημονικά πεδία και είναι απαραίτητα για τη λήψη αποφάσεων σε μη συνεχείς περιστάσεις... Ενότητα 1: Εισαγωγή 8

Διακριτά Μαθηματικά: πράξη Ποιος είναι ο αποδοτικότερος τρόπος καθαρισμού όλων των δρόμων σε μια περιοχή μετά από βαριά χιονόπτωση ή για αποκομιδή απορριμμάτων; Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος προγραμματισμού συναντήσεων 8-μελούς επιτροπής χωρίς προβλήματα δεδομένου ότι κάποια μέλη μετέχουν και σε άλλες επιτροπές; Πώς μπορούν να προγραμματιστούν οι επιμέρους εργασίες ενός μεγάλου έργου (π.χ., κατασκευή ενός κτιρίου ή παραγωγή ενός νέου προϊόντος) ώστε να ολοκληρωθεί στο συντομότερο δυνατό χρονικό διάστημα; Υπάρχουν αρκετοί τηλεφωνικοί αριθμοί για να καλύψουν όλα τα τηλέφωνα, fax και κινητά τηλέφωνα σε μια περιοχή; Ποια είναι η βέλτιστη δοσολογία φαρμάκου για έναν ασθενή ώστε να διατηρείται η σωστή ποσότητα φαρμάκου στον οργανισμό του ενώ λειτουργεί κανονικά ο μεταβολισμός του; Πώς μπορούμε να μοντελοποιήσουμε και να αναλύσουμε έναν μεταβαλλόμενο πληθυσμό ή ένα μεταβαλλόμενο ποσό χρημάτων σε ένα επενδυτικό πρόγραμμα; Ενότητα 1: Εισαγωγή 9

Έχετε ήδη χρησιμοποιήσει τα Διακριτά Μαθηματικά; (Ι) Ένας διακόπτης στο σπίτι σας μπορεί να είναι… ανοιχτός ή κλειστός Αν έχετε στο ψυγείο 5 συστατικά για πίτσα: ντομάτα, τυρί, μανιτάρια, σαλάμι και πιπεριές πόσες διαφορετικές πίτσες με 2 συστατικά μπορείτε να φτιάξετε; Αν θέλετε να επιλέξετε 6ψήφιο αριθμό τηλεφώνου πόσες διαφορετικές επιλογές έχετε; Πόσες επιλογές έχετε αν δεν επιτρέπεται να επαναλαμβάνονται ψηφία στον αριθμό που θα επιλέξετε; Πόσους 4ψήφιους αριθμούς κυκλοφορίας αυτοκινήτων μπορείτε να παράγετε; Ενότητα 1: Εισαγωγή 10

Έχετε ήδη χρησιμοποιήσει τα Διακριτά Μαθηματικά; (ΙΙ) Με σύνολο 40 διαφορετικών ερωτήσεων πόσα διαφορετικά τεστάκια των 16 ερωτήσεων μπορείτε να δημιουργήσετε; Αν έχετε 2 χρώματα, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να βάψετε τα νύχια σας; 5 από εσάς κέρδισαν σε έναν διαγωνισμό 5 διαφορετικά διαφημιστικά μπλουζάκια. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν να τα διαλέξετε; Υπάρχουν 4 μαθήματα ΠΚ και 3 μαθήματα ΤΚ στο Τμήμα. Με πόσους τρόπους μπορείτε να διαλέξετε 2 από αυτά; Ισχυρίζομαι ότι τουλάχιστον 2 από εσάς έχετε γενέθλια τον ίδιο μήνα. Με πιστεύετε; Ισχυρίζομαι ότι τουλάχιστον 2 από εσάς έχετε γενέθλια την ίδια ημέρα της εβδομάδας. Με πιστεύετε; Ενότητα 1: Εισαγωγή 11

Χρειάζεστε τα Διακριτά Μαθηματικά ως φοιτητές του Τμήματος; Μετρήστε σε πόσες από τις παρακάτω απλές ερωτήσεις θα απαντήσετε "Όχι"... Όσο περισσότερες είναι, τόσο περισσότερο τα χρειάζεστε... Ενότητα 1: Εισαγωγή 12

Χρειάζεστε τα Διακριτά Μαθηματικά ως φοιτητές του Τμήματος; (Ι) Υπάρχουν 5 ελληνικά, 7 αγγλικά και 10 ισπανικά βιβλία. Με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε 2 από αυτά; 462 Πόσες “λέξεις” των 7 χαρακτήρων (χωρίς διπλά γράμματα) μπορείτε να παράγετε χρησιμοποιώντας το ελληνικό αλφάβητο; 1.744.364.160 Με πόσους τρόπους μπορεί να προγραμματιστεί η εξέταση 3 μαθημάτων σε 5 μέρες ώστε να μην "πέφτουν" 2 μαθήματα την ίδια μέρα; 60 Σε αρχαίο κείμενο εντοπίζεται ημερομηνία 3 χαρακτήρων στην οποία όμως μόνο το πρώτο ψηφίο διακρίνεται ότι είναι 1 ενώ τα άλλα δύο φαίνεται ότι είναι διαφορετικά αλλά δεν είναι ευδιάκριτα. Πόσες τέτοιες ημερομηνίες υπάρχουν; 81 Ενότητα 1: Εισαγωγή 13

Χρειάζεστε τα Διακριτά Μαθηματικά ως φοιτητές του Τμήματος; (ΙΙ) Σε ένα μουσείο υπάρχουν 10 εκθεσιακοί χώροι. Με πόσους τρόπους μπορείτε να οργανώσετε μια επίσκεψη σε 3 από τους χώρους αυτούς; 720 Κατά τη διάρκεια αρχαιολογικής ανασκαφής, εντοπίζονται 10 κομματάκια πυλού. Γνωρίζετε ότι 3 από αυτά συνθέτουν ειδώλιο. Πόσες δοκιμές μπορεί να χρειαστούν για να τα εντοπιστούν τα μέρη του ειδωλίου; 120 Με πόσους τρόπους μπορούν να δημιουργήσουν 7-μελείς συμμαχίες οι 28 χώρες της ΕΕ; 1.184.040 Διαθέτετε ομάδα με άτομα 3 εθνικοτήτων. Πόσες 2-άδες με άτομα διαφορετικών εθνικοτήτων μπορείτε να δημιουργήσετε; 3 Σας δίνεται χώρος με 20 αίθουσες. Με πόσους τρόπους μπορείτε να διατάξετε 18.000 αντικείμενα που ανήκουν σε 4 διαφορετικές ιστορικές περιόδους αν κάθε αίθουσα αφιερώνεται σε μία ιστορική περίοδο; 4.845 Με πόσους τρόπους μπορείτε να διαβάσετε το περιεχόμενο αυτής της ιστοσελίδας; 6! = 720 Ενότητα 1: Εισαγωγή 14

Τέλος Ενότητας Ενότητα 1: Εισαγωγή 15 15

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 16

Σημειώματα 17

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.00. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 18

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Εύη Παπαϊωάννου. «Διακριτά Μαθηματικά. Εισαγωγή». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/CULTURE159/index.php. 19

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 20