ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Στις αμείωτες μηχανικές ταλαντώσεις θεωρούμε ότι το πλάτος παραμένει σταθερό, διότι δεν υπάρχουν τριβές και έτσι το σύστημα δεν έχει απώλειες ενέργειας. Τέτοιου είδους ταλαντώσεις ΔΕΝ υπάρχουν στην πραγματικότητα. Στις πραγματικές ταλαντώσεις έχουμε πάντοτε απώλειες ενέργειας σε μικρό ή μεγάλο βαθμό λόγω βέβαια των τριβών ή αντιστάσεων που αντιμετωπίζει ένα σώμα κατά την κίνηση του. Η απόσβεση μιας ταλάντωσης οφείλεται στις δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση. Οι δυνάμεις αυτές μεταφέρουν ενέργεια από το ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον. Έτσι η ενέργεια της ταλάντωσης ελαττώνεται οπότε και το πλάτος Α μειώνεται.

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Από όλες τις δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση ενός σώματος εξετάζουμε μόνο την δύναμη αντίστασης που εμφανίζεται κατά την κίνηση ενός σώματος μέσα σε ρευστό και είναι ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος. Η σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης και εξαρτάται από την φύση του ρευστού μέσα στο οποίο γίνεται η κίνηση καθώς και από το σχήμα και το μέγεθος του κινούμενου αντικειμένου. Το αρνητικό πρόσημο μας δείχνει ότι η δύναμη αντίστασης έχει αντίθετη κατεύθυνση από την ταχύτητα του σώματος.

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θα θεωρούμε ότι η απόσβεση δηλ. η ελάττωση του πλάτους της ταλάντωσης οφείλεται στην δύναμη Fαντ και ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το πλάτος εξαρτάται από την τιμή της σταθεράς απόσβεσης, b.

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Για ορισμένη τιμή της σταθεράς b, ενώ το πλάτος μειώνεται η περίοδος Τ διατηρείται σταθερή. Για ορισμένη ταλάντωση όταν η σταθερά b μεγαλώνει το πλάτος μειώνεται με μεγαλύτερο ρυθμό ενώ η περίοδος μεγαλώνει ελάχιστα (ΠΡΟΣΟΧΗ ! ! Εμείς θεωρούμε ότι παραμένει σταθερή). Όταν η σταθερά b γίνεται πολύ μεγάλη τότε η κίνηση γίνεται απεριοδική δηλαδή δεν προλαβαίνει να συμβεί ταλάντωση.

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Newton, η δύναμη επαναφοράς (συνισταμένη των δυνάμεων σε μια φθίνουσα ταλάντωση) θα δίνεται από την παρακάτω σχέση.

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο ρυθμός μείωσης της ενέργειας σε μια φθίνουσα ταλάντωση όπου η δύναμη αντίστασης είναι μπορεί να υπολογιστεί ως εξής :

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά σε συνάρτηση με τον χρόνο σύμφωνα με την σχέση: Επειδή t=ΚΤ όπου Κ=0,1,2,…

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Γνωρίζουμε ότι η ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται από την σχέση: Τοποθετούμε στη θέση του Α το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης: Κ=0,1,2,…

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Έτσι λοιπόν με ανάλογο συλλογισμό μπορούμε να καταλήξουμε στην σχέση:

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Χρόνος υποδιπλασιασμού ή ημιζωή είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται έτσι ώστε ένα μέγεθος που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο να αποκτήσει το μισό της αρχικής του τιμής.

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Σε κάθε φθίνουσα ταλάντωση το ποσοστό μείωσης του πλάτους της ταλάντωσης καθώς και το ποσοστό μείωσης της ενέργειας της ταλάντωσης ανά περίοδο είναι σταθερό. Έστω ότι το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι ΑΝ ενώ μετά από Ν+1 ταλαντώσεις είναι ΑΝ+1. Το ποσοστό μείωσης του πλάτους θα είναι: Επειδή όμως ο λόγος ΑΝ+1/ΑΝ είναι σταθερός και το ποσοστό μείωσης του πλάτους θα είναι σταθερό. Παρόμοια σχέση ισχύει και για την ενέργεια.