Ανάλυση της εικόνας 4-25 (Rabaey) Σπηλιόπουλος Βασίλειος – ΑΜ 6089 Ημερομηνία: 28/4/2009

Το μοντέλο γραμμής μετάδοσης Το μοντέλο γραμμής μετάδοσης αποτελεί το πληρέστερο από τα μοντέλα που μελετήσαμε, αφού λαμβάνει υπόψη την κατανεμημένη αντίσταση, χωρητικότητα και αυτεπαγωγή της γραμμής μεταφοράς Στη γενική του μορφή μοντελοποιεί τη γραμμή όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα Για την τάση και το ρεύμα κατά μήκος της γραμμής ισχύουν οι ακόλουθες εξισώσεις

Το μοντέλο γραμμής μετάδοσης Θεωρώντας την αγωγιμότητα διαρροής g ίση με 0 και απαλείφοντας το ρεύμα i προκύπτει η εξίσωση διάδοσης κύματος Η λύση αυτής της εξίσωσης δίνει τη τάση σε οποιοδήποτε σημείο x της γραμμής και σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t Η λύση της εξίσωσης αυτής όμως δεν είναι εύκολο να βρεθεί σε κλειστή μορφή, επομένως αρκούμαστε σε μια ποιοτική προσέγγιση των φαινομένων που συμβαίνουν κατά τη διάδοση κυμάτων στη γραμμή μετάδοσης

Ποιοτική ανάλυση του τρόπου διάδοσης κυμάτων Τα κύματα διαδίδονται στη γραμμή με ταχύτητα Όταν ένα κύμα φτάνει είτε στο τέλος είτε στην αρχή της γραμμής, τότε αυτό ανακλάται και ο συντελεστής ανάκλασης είναι , όπου Z0 η χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής και R η αντίσταση τερματισμού ή η αντίσταση πηγής, ανάλογα με το άκρο της γραμμής στο οποίο πραγματοποιείται ανάκλαση Στην απωλεστική γραμμή μετάδοσης πρέπει να λάβουμε υπόψη και τις απώλειες της γραμμής, που εκφράζονται μέσα από την κατανεμημένη αντίσταση r. Εξαιτίας των απωλειών, το κύμα που διαδίδεται κατά μήκος της γραμμής υφίσταται απόσβεση και το πλάτος του δίνεται από τη σχέση

Βηματική απόκριση απωλεστικής γραμμής Η βηματική απόκριση της απωλεστικής γραμμής φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα

Σχολιασμός της εικόνας 4-25 Για την απόκριση των διαφόρων σημείων της γραμμής μετάδοσης μπορούμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: Το κύμα τάσης καθυστερεί να φτάσει στα σημεία που βρίσκονται κοντά στο τέλος της γραμμής σε σχέση με τα σημεία που βρίσκονται κοντά στην αρχή της γραμμής Στα σημεία κοντά στην αρχή της γραμμής παρατηρείται μετάβαση σε μια υψηλή τιμή τη στιγμή που φτάνει το κύμα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στα σημεία αυτά το κύμα έχει υποστεί μικρή απόσβεση διότι έχει διατρέξει μικρότερη διαδρομή. Αντίθετα, στα σημεία που βρίσκονται προς το τέλος της γραμμής, το κύμα έχει διατρέξει μεγαλύτερη διαδρομή και έχει υποστεί μεγαλύτερη απόσβεση, επομένως η μετάβαση είναι μικρότερη. Καθώς το κύμα φτάνει στο τέλος της γραμμής, ανακλάται και διαδίδεται πλέον προς την αρχή της γραμμής. Το ανακλώμενο κύμα υπερτίθεται στις προηγούμενες τιμές τάσης και γι’ αυτό παρατηρείται αύξηση της τάσης καθώς περνάει ο χρόνος, επειδή όμως και κατά τη διάδοση προς την αρχή της γραμμής το κύμα υφίσταται απόσβεση λόγω των απωλειών της γραμμής ο ρυθμός αύξησης της τάσης είναι φθίνων. Όταν το κύμα φτάσει στην αρχή της γραμμής είναι πιθανό να υπάρξει νέα ανάκλαση και η διαδικασία να επαναληφθεί.

Σχολιασμός της εικόνας 4-25 Το βιβλίο δεν αναφέρει την τιμή της αντίστασης τερματισμού, εμείς θα θεωρήσουμε ότι αυτή είναι άπειρη (ανοιχτό κύκλωμα). Στην περίπτωση αυτή στο τέρμα της γραμμής έχουμε ολική ανάκλαση του κύματος (ο συντελεστής ανάκλασης ισούται με 1) Το αν θα πραγματοποιηθεί ανάκλαση στην αρχή της γραμμής εξαρτάται από την τιμή της αντίστασης της πηγής. Στην περίπτωση όπου αυτή ισούται με τη Z0 δεν πραγματοποιείται ανάκλαση Όταν η συνολική αντίσταση R(=rL)>>2Ζ0 τότε η γραμμή συμπεριφέρεται σαν κατανεμημένη γραμμή RC

Παράδειγμα Για να μελετήσουμε το φαινόμενο θεωρούμε το ακόλουθο αριθμητικό παράδειγμα Γραμμή μετάδοσης μήκους L, χαρακτηριστικής αντίστασης Z0, συνολικής αντίστασης R=2Z0, πηγή 5Volt με εσωτερική αντίσταση Rs=5Z0, το άλλο άκρο της γραμμής αφήνεται εν κενώ Η τάση που φτάνει στη γραμμή μετάδοσης είναι Ο συντελεστής ανάκλασης στο τέρμα της γραμμής είναι 1, ενώ στην πηγή είναι Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με το διάγραμμα πλέγματος της εικόνας 4-22, με τη διαφορά ότι μελετάμε και ενδιάμεσα σημεία πέρα από την αρχή και το τέλος της γραμμής και ότι λαμβάνουμε υπόψη την απόσβεση του κύματος χρησιμοποιώντας τη σχέση Από τη σχέση αυτή προκύπτει το πλάτος του κύματος σε σημείο x=L/k,

Παράδειγμα Το αποτέλεσμα φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα Οι χρονικές στιγμές είναι ανά (L/4)/u, όσο χρειάζεται δηλαδή το κύμα για να διαδοθεί κατά L/4