Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Περιστροφική Κινηματική Κέντρο Μάζας Ροπή Δύναμης ως προς Σημείο Ροπή Βαρυτικής Δύναμης Ροπή Ζεύγους Δυνάμεων Ισορροπία

Περιστροφική Κινηματική Τα Τρία Είδη Κίνησης Μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση Συνδυασμένη κίνηση Τα Τρία Είδη Κίνησης Τι Χαρακτηριστικό έχει κάθε μια από τις κινήσεις που εμφανίστηκαν;

Περιστροφική Κινηματική Ανακεφαλαίωση στην Κυκλική Κίνηση: cw ccw Κεντρομόλος επιτάχυνση: Γωνιακή Ταχύτητα: Επιτρόχιος επιτάχυνση: αt = αω r Γωνιακή επιτάχυνση: Εφαπτομενική ταχύτητα:

Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας ενός στερεού σώματος ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας ενός στερεού σώματος x y Επιλογή Συστήματος Συντεταγμένων O cm ω Το σώμα περιστρέφεται γύρω από το Κέντρο Μάζας με γωνιακή συχνότητα ω mi Η τυχαία μάζα mi κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας Δri 𝚫 𝒓 𝒊 ycm xcm 𝒓 𝒄𝒎 𝒓 𝒄𝒎 =𝚫𝛊𝛂𝛎𝛖𝛔𝛍𝛂 𝛉𝛆𝛔𝛈𝛓 𝛋𝛆𝛎𝛕𝛒𝛐𝛖 𝛍𝛂𝛇𝛂𝛓 𝑭 𝒊 Κεντρομόλος δύναμη πάνω στη μάζα m1: 𝑭 𝒊 = 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) 𝑭 𝒊𝒚 𝑭 𝒊𝒚 = 𝑭 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 Διαίρεση σώματος σε μικρές μάζες m1, m2, m3, . . . , mn 𝑭 𝒊𝒙 θ 𝑭 𝒊𝒙 = 𝑭 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝚳𝛂𝛇𝛂 𝛔ώ𝛍𝛂𝛕𝛐𝛓: 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 + . . . + 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 yi xi 𝒓 𝒊 𝒓 𝒊 =𝚫𝛊𝛂𝛎𝛖𝛔𝛍𝛂 𝛉𝛆𝛔𝛈𝛓 𝛍𝛂𝛇𝛂𝛓 𝒎 𝒊 𝛕𝛈 𝛘𝛒𝛐𝛎𝛊𝛋𝛈 𝛔𝛕𝛊𝛄𝛍𝛈 𝐭 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊𝒙 =𝟎 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊 =𝟎 Το κέντρο μάζας του σώματος είναι σε ηρεμία: 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊𝒚 =𝟎

Υπολογισμός της συνιστώσας xcm ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Υπολογισμός της συνιστώσας xcm x y O 𝚳𝛂𝛇𝛂 𝛔ώ𝛍𝛂𝛕𝛐𝛓: 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 + . . . + 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 mi 𝚫 𝒓 𝒊 Κεντρομόλος δύναμη πάνω στη μάζα m1: 𝑭 𝒊 = 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) cm ω 𝑭 𝒊𝒚 ycm xcm 𝒓 𝒄𝒎 𝑭 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊𝒙 =𝟎 Συνισταμένη δύναμη στον άξονα x: cos 𝜽 = 𝒙 𝒊 − 𝒙 𝒄𝒎 𝚫𝒓 𝑭 𝒊𝒙 θ 𝑭 𝒊𝒙 = 𝑭 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 yi xi 𝒓 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 𝒄𝒎 ) 𝚫𝒓 =𝟎 𝝎 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 (𝒙 𝒊 − 𝒙 𝒄𝒎 ) =𝟎 ⇒ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒄𝒎 =𝟎 ⇒ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 − 𝒙 𝒄𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 =𝟎 𝒙 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 = 𝒙 𝒄𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 =𝑴 𝒙 𝒄𝒎 ⇒

Υπολογισμός της συνιστώσας ycm ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Υπολογισμός της συνιστώσας ycm x y O 𝚳𝛂𝛇𝛂 𝛔ώ𝛍𝛂𝛕𝛐𝛓: 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 + . . . + 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 mi 𝚫 𝒓 𝒊 Κεντρομόλος δύναμη πάνω στη μάζα m1: 𝑭 𝒊 = 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) cm ω 𝑭 𝒊𝒚 ycm xcm 𝒓 𝒄𝒎 𝑭 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊𝒚 =𝟎 Συνισταμένη δύναμη στον άξονα x: sin 𝜽 = 𝒚 𝒄𝒎 − 𝒚 𝒊 𝚫𝒓 𝑭 𝒊𝒙 θ 𝑭 𝒊𝒚 = 𝑭 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 yi xi 𝒓 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) ( 𝒚 𝒄𝒎 − 𝒚 𝒊 ) 𝚫𝒓 =𝟎 𝝎 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 (𝒚 𝒄𝒎 − 𝒚 𝒊 ) =𝟎 ⇒ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒄𝒎 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 =𝟎 ⇒ 𝒚 𝒄𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 =𝟎 𝒚 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 𝒚 𝒄𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 =𝑴 𝒚 𝒄𝒎 ⇒

Ανακεφαλαίωση ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Ανακεφαλαίωση Το σώμα αποτελείται από διακριτές μάζες m1, m2, m3, . . ., mn με συντεταγμένες (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), . . ., (xn, yn, zn). Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας δίνονται από τις σχέσεις: 𝒙 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 𝒚 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 𝒓 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 𝒛 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒛 𝒊 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 + . . . + 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Το σώμα διαμερίζεται σε απειροστές μάζες dm με συντεταγμένες (x, y, z),.Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας δίνονται από τις σχέσεις: 𝒙 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝒅𝒎 𝒚 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒚 𝟏 𝒚 𝟐 𝒚 𝒅𝒎 𝒓 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒓 𝒅𝒎 𝒛 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 𝒛 𝒅𝒎 𝑴= 𝑴 𝒅𝒎

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Η ροπή δύναμης ως προς σημείο είναι το αίτιο που μεταβάλλει την περιστροφική κινητική κατάσταση ενός σώματος Η ροπή δύναμης ως προς σημείο ποσοτικοποιεί την ικανότητας μιας δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 𝑭 𝒓 =𝟎 Μηδενική ικανότητα περιστροφής πόρτας Η ροπή τ της δύναμης F ως η ικανότητας της F να περιστρέψει ένα σώμα ως προς ένα άξονα περιστροφής: 𝒓 𝟏 𝑭 Μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟏 Είναι ανάλογη με την απόσταση του άξονα περιστροφής από το σημείο εφαρμογής της δύναμης F 𝒓 𝟐 𝑭 Μεγάλη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟐 𝝉∝𝒓 Μέγιστη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟑 𝒓 𝟑 𝑭

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Είναι ανάλογη με τo μέτρο της δύναμης F ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Πολύ μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟏 𝒓 𝑭 𝟏 Η ροπή τ της δύναμης F ως η ικανότητας της F να περιστρέψει ένα σώμα ως προς ένα άξονα περιστροφής: Μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟐 𝑭 𝟐 𝒓 Είναι ανάλογη με τo μέτρο της δύναμης F 𝑭 𝟑 𝒓 Μεγάλη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟑 𝝉∝𝑭 Μεγαλύτερη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟒 𝑭 𝟒 𝒓

𝝉∝𝑭 sin 𝝋 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 𝑭 ∥ F⊥=F sinφ φ ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Μηδενική ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 =𝟎 𝒓 φ=0ο 𝑭 𝑭 𝒓 φ 𝑭 ⊥ 𝑭 ∥ Μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟏 𝑭 𝒓 φ 𝑭 φ=90ο 𝒓 Μέγιστη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟐 Μόνο η δύναμη F⊥=F sinφ είναι ικανή να περιστρέψει την πόρτα Η ροπή τ της δύναμης F ως η ικανότητας της F να περιστρέψει ένα σώμα ως προς ένα άξονα περιστροφής: 𝑭 φ 𝒓 𝝉 𝟑 Μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας Είναι ανάλογη με τη δύναμη F⊥=F sinφ 𝑭 𝒓 φ=180ο Μηδενική ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 =𝟎 𝝉∝𝑭 sin 𝝋

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 𝑭 𝒓 φ 𝝉 Το διάνυσμα της Ροπής τ έχει τη φορά του δεξιόστροφου κοχλία. Η Ροπή τ της δύναμης F ως προς ένα σημείο περιστροφής είναι ανάλογη με: την απόσταση r του σημείου περιστροφής από το σημείο εφαρμογής της δύναμης F το μέτρο της δύναμης F το ημίτονο της γωνίας φ μεταξύ των διανυσμάτων r και F 𝝉=𝒓𝑭 𝐬𝐢𝐧 𝝋 Η Ροπή τ είναι διάνυσμα που έχει μέτρο: Η διανυσματική εξίσωση για τη Ροπής τ είναι: 𝝉 = 𝒓 × 𝑭 Η διεύθυνση της Ροπής τ είναι παράλληλη με το άξονα περιστροφής.

ΡΟΠΗ ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΡΟΠΗ ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ x y Επιλογή Συστήματος Συντεταγμένων O Κάθε μικρή μάζα mi έχει βάρος: 𝒘 𝒊 =− 𝒎 𝒊 𝒈 𝒋 mi Διαίρεση σώματος σε μικρές μάζες m1, m2, m3, . . . , mn 𝚳𝛂𝛇𝛂 𝛔ώ𝛍𝛂𝛕𝛐𝛓: 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 + . . . + 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 Διάνυσμα θέσης μάζας mi cm 𝒓 𝒄𝒎 𝝉 = 𝒓 𝒄𝒎 × 𝒘 w = βάρος σώματος 𝒘 =−𝑴𝒈 𝒋 𝚸𝛐𝛑𝛈 𝛅𝛖𝛎𝛂𝛍𝛈𝛓 𝒘 𝒊 𝛚𝛓 𝛑𝛒𝛐𝛓 𝛔𝛈𝛍𝛆𝛊𝛐 𝚶: 𝝉 𝒊 = 𝒓 𝒊 × 𝒘 𝒊 𝝉 𝒊 = 𝒓 𝒊 × − 𝒎 𝒊 𝑔 𝒋 ⇒ 𝝉 𝒊 = 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 × −𝑔 𝒋 Ροπές τ1, τ2, τ3, . . ., τn από μάζες m1, m2, m3, . . ., mn 𝒓 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 𝝉 𝟏 = 𝒎 𝟏 𝒓 𝒊 ×(−𝒈 𝒋 ) 𝝉 𝟐 = 𝒎 𝟐 𝒓 𝟐 ×(−𝒈 𝒋 ) 𝝉 𝟑 = 𝒎 𝟑 𝒓 𝟑 ×(−𝒈 𝒋 ) . . . . . . . . . . . . . 𝝉 𝒏 = 𝒎 𝒏 𝒓 𝒏 ×(−𝒈 𝒋 ) + 𝝉 = 𝝉 𝟏 + 𝝉 𝟐 + 𝝉 𝟑 + . . . + 𝝉 𝒏 = = 𝒎 𝟏 𝒓 𝟏 + 𝒎 𝟐 𝒓 𝟐 + 𝒎 𝟑 𝒓 𝟑 +. . .+ 𝒎 𝒏 𝒓 𝒏 × −𝑔 𝒋 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 ×(−𝒈 𝒋 ) 𝝉 =𝑴 𝒓 𝒄𝒎 × −g 𝒋 = 𝒓 𝒄𝒎 × −𝑴g 𝒋

ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 𝝉=𝑭d ⇒ d = απόσταση δυνάμεων 𝒅 𝑭 𝟏 ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Δυο δυνάμεις που έχουν ίσα μέτρα, αντίθετες κατευθύνσεις και δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία συνιστούν ένα ζεύγος δυνάμεων 𝜽 𝒅 𝚫𝒓 sin 𝜽 =𝒅 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 𝑭 𝟏 + 𝑭 𝟐 =𝟎 ⇒ 𝑭 𝟏 =− 𝑭 𝟐 = 𝑭 𝒓 𝟏 𝒓 𝟐 Διανύσματα θέσης r1 και r2 των δυνάμεων F1 και F2 =Δ 𝒓 Δ 𝒓 Τυχαία επιλογή σημείου αναφοράς Ο 𝝉 𝟏 = 𝒓 𝟏 × 𝑭 𝟏 𝝉 𝟐 = 𝒓 𝟐 × 𝑭 𝟐 Ροπές δυνάμεων F1 και F2 ως προς το σημείο Ο 𝝉 = 𝝉 𝟏 + 𝝉 𝟐 = 𝒓 𝟏 × 𝑭 𝟏 + 𝒓 𝟐 × 𝑭 𝟐 ⇒ Συνισταμένη ροπή: 𝝉 = 𝒓 𝟏 × 𝑭 + 𝒓 𝟐 × − 𝑭 = 𝒓 𝟏 × 𝑭 − 𝒓 𝟐 × 𝑭 = 𝒓 𝟏 − 𝒓 𝟐 × 𝑭 𝝉 =Δ 𝒓 × 𝑭 𝝉=𝚫𝒓 𝑭 sin 𝜽 ⇒ 𝝉=𝑭d d = απόσταση δυνάμεων

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ 𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑥 =0 𝑖=1 𝑛 𝑭 =0 𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑦 =0 𝑖=1 𝑛 𝜏 =0 𝑖=1 𝑛 𝜏 =0 𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑥 =0 ή ισοδύναμα: 𝑖=1 𝑛 𝑭 =0 𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑦 =0 Ένα σώμα ισορροπεί όταν: ΚΑΙ 𝑖=1 𝑛 𝜏 =0 ή ισοδύναμα: 𝑖=1 𝑛 𝜏 =0