ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΚΑΙ ΓΡΙΦΟΙ ΝΙΚΟΛΑΣ ΠΕΤΡΟΥΤΣΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΙΔΕΡΗΣ

ΠΑΡΑΔΟΞΟ Παράδοξο γενικά χαρακτηρίζεται ο,τιδήποτε που αντιβαίνει την κοινή λογικη και αντίληψη ή κάτι που συμβαίνει και θεωρείται απίστευτο.

ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΗΣ ΔΙΧΟΤΟΜΙΑΣ (ο περιπατητής) Για να διανύσει ένας περιπατητής μια απόσταση, πρέπει πρώτα να διατρέξει το μισό αυτής. Αυτός, όμως, δεν είναι δυνατό να φτάσει στο μέσον της συνολικής απόστασης, εάν προηγουμένως δεν διανύσει το μισό του παραπάνω αρχικού μισού κ.ο.κ. Κατ’ αυτό τον τρόπο, ωστόσο, θα είναι αναγκασμένος, να ψάχνει για πάντα ανεπιτυχώς για το πρωταρχικό μισό. Διότι, βεβαίως, υπάρχουν άπειρα μισά πριν από οποιοδήποτε παρατηρούμενο μισό. Αυτό σημαίνει σύμφωνα με τον Ζήνωνα, ότι ο περιπατητής δεν μπορεί να φτάσει στον στόχο, διότι δεν μπορεί να κινηθεί. Προσθέτει, εντούτοις, ότι: Η ερώτηση δεν είναι, πότε θα διανύσει ο περιπατητής την συνολική απόσταση, αλλά πώς θα το επιτύχει αυτό, όταν θα πρέπει για πάντα να είναι καθ’ οδόν. Διότι αυτός θα πρέπει προηγουμένως να διανύσει τα άπειρα μισά των μισών, που θα βρίσκονται μπροστά του. Το παράδοξο της διχοτομίας είναι ένα από τα σημαντικότερα παράδοξα του Ζήνωνα, αφού αυτό απαγορεύει την εκκίνηση και άρα την γενικότερη κίνηση κάθε υλικού αντικειμένου.

ΑΧΙΛΛΕΑΣ ΚΑΙ Η ΧΕΛΩΝΑ Έχουμε δύο δρομείς, τον Αχιλλέα, που τρέχει γρήγορα, και τη χελώνα, που πάει πιο αργά από τον Αχιλλέα, οι οποίοι συμμετέχουν σε αγώνα δρόμου. Μιας και η χελώνα είναι πιο αργή της χαρίζεται ένα προβάδισμα από τον Αχιλλέα, το οποίο όμως φαίνεται να επιδρά καθοριστικά στο να νικά πάντα η χελώνα, όσο μικρό κι αν είναι το προβάδισμα και όσο μεγάλη και να είναι η απόσταση που θα διανύσουν στον αγώνα δρόμου. Για να προσπεράσει ο Αχιλλέας τη χελώνα πρέπει πρώτα να φτάσει στο σημείο από το οποίο η χελώνα ξεκίνησε. Όμως αυτό δεν πρόκειται να γίνει ποτέ όσο η χελώνα συνεχίζει να προχωρά, όσο αργή κι αν είναι. Ώσπου να καλύψει ο Αχιλλέας την απόσταση αυτή, η χελώνα θα έχει προχωρήσει λίγο πιο πέρα. Έτσι ο Αχιλλέας υποχρεούται να διανύσει κι άλλο διάστημα, ως τη νέα θέση της χελώνας. Ώσπου να διατρέξει το νέο αυτό διάστημα, η χελώνα θα έχει προχωρήσει κι άλλο, στον χρόνο που ο Αχιλλέας χρειάζεται για να φτάσει στο προηγούμενο σημείο. Το διάστημα που τους χωρίζει μπορεί να γίνεται ολοένα και πιο μικρό, όμως ποτέ ο γρήγορος Αχιλλέας δε μπορεί να φτάσει την αργή χελώνα, όσο ο χώρος μπορεί και διαιρείται σε όλο και πιο μικρά μέρη

Ο ΚΟΥΡΕΑΣ Σε μια χώρα που όλοι οι άντρες είναι καθημερινά ξυρισμένοι, υπάρχει ένας μόνο κουρέας. Αυτός ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τότε όμως ποιος ξυρίζει τον κουρέα;. Αναλύοντας το πρόβλημα με τη βοήθεια της Θεωρίας των Συνόλων, είναι σαφές ότι στη χώρα υπάρχουν το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Αδύνατον, αφού ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τον ξυρίζει κάποιος άλλος; Όχι, γιατί ο κουρέας ξυρίζει όλους όσοι δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Βρισκόμαστε εδώ μπροστά σ’ ένα παράδοξο. Σύμφωνα με τον Ράσελ, για να το ξεπεράσουμε πρέπει να διορθώσουμε τη δική μας λανθασμένη αντίληψη ότι για κάθε ιδιότητα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει ένα σύνολο. Σ’ αυτή την περίπτωση δε δημιουργείται κανένα ομοιογενές σύνολο. Το παραπάνω παράδοξο αναφέρεται στο περίφημο «σύνολο όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους».Το ερώτημα είναι αν αυτό το σύνολο ανήκει ή όχι στον εαυτό του. Αν δεν ανήκει, τότε ανήκει, αντίφαση. Αν ανήκει, τότε δεν ανήκει, πάλι αντίφαση.

ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟΥ ΕΠΙΜΕΝΙΔΗ ο παράδοξο αυτό αποδίδεται στον Επιμενιδη από την Κρήτη ο οποίος σε ένα ποίημά του είχε γράψει:Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται (οι Κρήτες είναι πάντα ψεύτες) Σύμφωνα λοιπόν με την έκφραση αυτοί όλοι οι Κρήτες είναι ψεύτες. Ωστόσο ποιος θα μπορούσε να βασιστεί σε αυτά τα λόγια του - επίσης καταγόμενου από την Κρήτη - Επιμενίδη; Εκεί ακριβώς έγκειται το παράδοξο: αν βασιστούμε στην παραπάνω πρόταση τότε και ο ίδιος ο Επιμενίδης ψεύδεται, άρα τελικά οι Κρήτες δεν είναι ψεύτες. Τότε όμως κι ο Επιμενίδης δεν ψεύδεται κ.ο.κ.

ΤΑ ΓΕΝΕΘΛΙΑ Το παράδοξο των γενεθλίων στη θεωρία πιθανοτήτων αναφέρεται σε ένα πρόβλημα του οποίου η λύση φαίνεται να αντιβαίνει στην κοινή λογική. Μία από τις διατυπώσεις του προβλήματος είναι: «Σε μία ομάδα 23 ατόμων ποια είναι η πιθανότητα δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια;». Λαμβάνοντας υπόψη ότι το πηλίκο του αριθμού των ατόμων και του αριθμού των ημερών του έτους είναι 23/365 = 6,3%, η λύση του προβλήματος που δίνει πιθανότητα 50,7% είναι φαινομενικά μη διαισθητική. Η πιθανότητα να υπάρχουν δύο άτομα με γενέθλια την ίδια ημέρα ξεπερνά το 90% στα 41 άτομα και γίνεται 99% για 57 άτομα. Είναι 100% στα 366 άτομα (ή στα 367 αν συμπεριλάβουμε και αυτούς που έχουν γεννηθεί στις 29 Φεβρουαρίου). Αυτό συμβαίνει διότι την ομάδα των 23 ατόμων η σύγκριση του πρώτου ατόμου με οποιοδήποτε από τα άλλα 22 δίνει 22 συνδυασμούς αλλά η σύγκριση οποιουδήποτε με οποιονδήποτε δίνει 253 συνδυασμούς 23*22/2=253

ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟΥ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΑ ΑΡΙΘΜΟΥ Το παράδοξο του ενδιαφέροντα αριθμού είναι ένα ημί-χιουμοριστικό παράδοξο που ξεκινάει από την προσπάθεια ταξινόμησης των φυσικών Αριθμών σε "ενδιαφέροντες" και βαρετούς. Στο παράδοξο αυτό διατυπώνετε η άποψη πως όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι ενδιαφέροντες. Η "απόδειξη" γίνεται με αντίφαση: Εαν υπάρχει ένα μη-κενό σύνολο από μη ενδιαφέροντες αριθμούς, θα υπήρχε και ο μικρότερος μη ενδιαφέροντας αριθμός – αλλά τότε επειδή ακριβώς είναι ο μικρότερος μη ενδιαφέροντας αριθμός είναι από την φύση του ενδιαφέροντας. Οπότε καταλήγουμε σε αντίφαση.

ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ «ΤΟ ΑΠΕΙΡΟΝ» Μια πολύ βροχερή βραδιά ένας ταξιδιώτης μπαίνει στο Ξενοδοχείο «To Άπειρο». Δυστυχώς του απαντάει ο ξενοδόχος κ.Hilbert, είμαστε γεμάτοι. Ωστόσο το Ξενοδοχείο διαθέτει μια απειρία δωματίων. Ο κ. Hilbert προσθέτει: -Περιμένετε λίγο, μου έρχεται μια ιδέα που θα μας επιτρέψει να σας φιλοξενήσουμε. Όταν όλοι οι ένοικοι του ξενοδοχείου ξυπνήσουν και μαζευτούν στην αίθουσα συγκεντρώσεων, θα παρακαλέσω τον καθένα να μετακομίσει στο δωμάτιο με νούμερο που βρίσκεται στην αμέσως επόμενη θέση από το δικό του νούμερο δωματίου, δηλαδή ο ένοικος του δωματίου 1 θα πάει στο δωμάτιο 2, αυτός του 2 θα πάει στο δωμάτιο 3, αυτός του 3 στο δωμάτιο 4 κτλ. μέχρι το άπειρο. Ορίστε η λύση, λέει ο κ. Hilbert δίνοντας στον επισκέπτη το κλειδί του δωματίου 1.  Την επόμενη νύχτα φτάνει στο ξενοδοχείο ένα λεωφορείο της εταιρείας AVIS ILLIMITED. Ένα ιδιαίτερο λεωφορείο που περιέχει έναν άπειρο αριθμό επιβατών. Αλλά το ξενοδοχείο «Το Άπειρο» ήταν ακόμη γεμάτο. Ο κ. Hilbert επιλύει αυτό το νέο πρόβλημα με τον εξής τρόπο: ο ένοικος του δωματίου 1 θα περάσει στο δωμάτιο με αριθμό 2, αυτός του αριθμού 2 στο δωμάτιο με αριθμό 4, αυτός του 3 στο 6, αυτός του 4 στο 8 κτλ. μέχρι το άπειρο. Χάρη σε αυτές τις μετακινήσεις, ο άπειρος αριθμός των παλαιών επισκεπτών θα τοποθετηθεί στα δωμάτια με άρτιο αριθμό, και έτσι ο άπειρος αριθμός των νέων επισκεπτών θα τοποθετηθεί στα δωμάτια με περιττό αριθμό. Και έτσι φιλοξενήθηκαν όλοι οι επισκέπτες. 

0,999... Στα μαθηματικά, ο περιοδικός δεκαδικός 0,999… συμβολίζει ένα πραγματικό αριθμό που μπορεί να δειχθεί πως είναι ο αριθμός 1. Με άλλα λόγια, οι συμβολισμοί "0,999…" και "1" αναπαριστούν τον ίδιο αριθμό. Ενδεικτικές αποδείξεις: 1) Έστω x=0,999... Θα ισχύει 10x=9,99... Aφαιρώντας την δεύτερη ισότητα από την πρώτη, έχω: 10x - x=9,99... - 0,999... => 9x=9 => x=1 δηλαδή 0,999...=1 2) Ισχύει 9/9=1 => 9*1/9=1 => 9*0,111...=1 => 0,999...=1 3) Ισχύει 1/3=0,333...=> 3*1/3=3*0,333...=>1=0,999... 4)1/3=0,333...=> 2/3=0,666... Προσθέτoντας την πρώτη με την δεύτερη ισότητα έχω: 1/3+2/3=0,666...+ 0,333...=> 3/3=0,999...=>1=0,999...

Ημερομηνία Γέννησης Μπορείς να βρεις την ηλικία κάποιου, το μήνα που γεννήθηκε, αλλά ακόμη και την ημέρα που γεννήθηκε με λίγο… δύσκολα μαθηματικά! Κάνε το παρακάτω τεστ πρώτα με τον εαυτό σου, και θα μείνεις έκπληκτος: – Γράψε κάπου τον αριθμό του μήνα που γεννήθηκες. – Πολλαπλασίασέ το με το 100. – Πρόσθεσε τη μέρα του μήνα που γεννήθηκες. – Πολλαπλασίασέ το με το 2. – Πρόσθεσε 9 – Πολλαπλασίασέ το με το 5 – Πρόσθεσε 8 – Πολλαπλασίασε με το 10 – Αφαίρεσε 419 – Πρόσθεσε την ηλικία σου – Αφαίρεσε 111 Δες τώρα το αποτέλεσμα! Οι δύο αριθμοί δεξιά αποκαλύπτουν την ηλικία σου, οι μεσαίοι αριθμοί δείχνουν την ημέρα του μήνα που γεννήθηκες, και οι πρώτοι 2 αριθμοί αριστερά φανερώνουν το μήνα που γεννήθηκες.

ΤΕΛΟΣ