Άλλη επιλογή: Κύλινδρος: Διαμήκεις και Εγκάρσιοι Τρόποι (Longitudinal and Transverse modes): (στάσιμα κύματα σε κοιλότητα standing waves in a cavity) Διαμήκεις τρόποι: τους είδαμε ήδη λύνοντας βασικά ένα μονοδιάστατο (1Δ) πρόβλημα, βάζοντας κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L και θεωρώντας ότι εφαπτομενική συνιστώσα του Ε μηδενίζεται στα κάτοπτρα (όπως και η κάθετη συνιστώσα του Β). Βρήκαμε ότι: L = μήκος (length), η απόσταση μεταξύ των κατόπτρων. Η τελευταία σχέση δίνει την συχνοτική απόσταση μεταξύ διαδοχικών διαμηκών τρόπων και ο δείκτης m βρίσκεται εντός παρενθέσεως, να μας θυμίζει απλώς ότι έχουμε το δείκτη m για τα κατά μήκος (L). m΄ = m  1 = αριθμός κόμβων (node = κόμβος, δεσμός) στον άξονα z, δηλαδή ο αριθμός m αντιστοιχεί στο 1Δ κατά μήκος (L) πρόβλημα. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: Συνήθως L >> h, w, όπου h = ύψος (height) και w = πλάτος (width). Θα μπορούσαμε να λύσουμε και τα 1Δ προβλήματα: καθ’ ύψος (h) με p = 1,2,3, . . . και p΄ = p  1 = αριθμός κόμβων (nodes) στον άξονα x, ή κατά πλάτος (w) με q = 1,2,3, . . . και q΄ = q  1 = αριθμός κόμβων (nodes) στον άξονα y. Εγκάρσιοι τρόποι: προκύπτουν κατά τη λύση του τριδιαστάτου προβλήματος και εξαρτώνται από τη γεωμετρία της κοιλότητας π.χ. κοιλότητα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ή κυλίνδρου. Άλλη επιλογή: Κύλινδρος:

Ηλεκτρομαγνητικοί τρόποι σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδη κοιλότητα Ηλεκτρομαγνητικοί τρόποι σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδη κοιλότητα. The electromagnetic modes of a rectangular parallelepiped cavity. Ας υποθέσουμε ότι εξετάζουμε μία άδεια ορθογώνια παραλληλεπίπεδη κοιλότητα με τελείως αγώγιμα τοιχώματα και ακμές ύψους h (height), πλάτους w (width) και μήκους L (length) κατά μήκους των αξόνων x, y και z, αντιστοίχως. Επιπλέον ας υποθέσουμε ότι η κοιλότητα βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων Oxyz με μία κορυφή την αρχή του O. Από τις εξισώσεις Maxwell, όπως είναι γνωστό, προκύπτει η κυματική εξίσωση για το ηλεκτρικό πεδίο E : Παρόμοια εξίσωση προκύπτει και για τη μαγνητική επαγωγή B. Στα τελείως αγώγιμα τοιχώματα θα πρέπει οι εφαπτομενικές συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου E και οι κάθετες συνιστώσες της μαγνητικής επαγωγής B να μηδενίζονται. Τα επίπεδα κύματα (free space plane wave solutions) δεν ικανοποιούν αυτές τις συνοριακές συνθήκες. Μπορούμε όμως να αναζητήσουμε λύσεις της μορφής: όπου Er(r) είναι μια διανυσματική συνάρτηση θέσεως, ανεξάρτητη του χρόνου. Δηλαδή χωρίσαμε τη χρονική μεταβλητή από τις χωρικές. Οπότε ικανοποιεί την Η λύση προκύπτει με τη μέθοδο του χωρισμού και των χωρικών των μεταβλητών

Longitudinal and transverse modes In the case of a rectangular parallelepipedic cavity (the sides of the box have height h (x-axis), width w (y-axis), and length L (z-axis), the resonant frequencies are given by : νpqm = (c/2) [(p/h)2 + (q/w)2 +(m/L)2 ] (1/2) where c is the speed of light in vacuum and p, q, m are integers. When L >> h, w and if we take h=w = a to simplify the formula , we obtain : νpqm = (c/2)(m/L) [1 + (p2+q2)/a2 (L2/m2)] (1/2) or after a Taylor expansion νpqm = (c/2)(m/L) + (p2+q2)/a2 (cL/4m) The frequencies of the longitudinal modes (TEM00q) are (see figure 2): (this type of mode are also sometimes called “spectral modes”) νm = (c/2)(m/L).

Longitudinal and transverse modes The spectral interval between two longitudinal modes is Δνm = c/(2L)

Longitudinal and transverse modes A laser with a single well-defined frequency (corresponding to a given value of m) is a “single-longitudinal- mode laser” : only one longitudinal mode could oscillate, and the laser consequently exhibits a high spectral purity (and then an important coherence length). In a “single-transverse-mode laser”, only the TEM00q modes oscillate. The spectral interval between two transverse modes (q and m fixed) is : Δνp = (2p+1) [cL / (4ma2)]

Spectral repartition of the longitudinal modes for a given laser. What is the spectral width of a (slightly) multimode laser ? And what about a single-mode one ? Let L be the length of a given optical cavity. The gap between two consecutive modes is c/(2L), that is 1 GHz if L=15 cm. If we assume that 5 modes are allowed to oscillate (see figure 3), we obtain a spectral width of 5 GHz (or 17 pm in terms of wavelength). This is gap is too small to be detected by classical spectrometers, and the laser appears to be monochromatic (even it is not strictly single-mode). For some applications (metrology...), very narrow laser spectra are needed : it is then possible to force the single-mode behaviour (for example by lowering the losses for only one of the modes). The spectral bandwidth is then the natural width of a single laser line, which depends of the nature of the laser medium (gas, solid...) : the order of magnitude could vary from a few Hz to several MHz.

Transverse Modes Εγκάρσιοι Τρόποι Κάποιοι τύποι τρόπων: TE (Εγκάρσιοι Ηλεκτρικοί, Transverse Electric): χωρίς ηλεκτρικό πεδίο στη διεύθυνση διαδόσεως. TM (Εγκάρσιοι Μαγνητικοί, Transverse Magnetic): χωρίς μαγνητικό πεδίο στη διεύθυνση διαδόσεως. TEM (Εγκάρσιοι ΗλεκτροΜαγνητικοί Transverse ElectroMagnetic): χωρίς ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο στη διεύθυνση διαδόσεως. Κοιλότητα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (rectangular parallelepiped cavity): δύο δείκτες για τους τρόπους π.χ. TEp΄q΄: p΄ αριθμός κόμβων (nodes) κατά μήκος του άξονα x q΄ αριθμός κόμβων (nodes) κατά μήκος του άξονα y Κοιλότητα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (cylindrical cavity): δύο δείκτες για τους τρόπους π.χ. TEp΄q΄: p΄ αριθμός κόμβων (nodes) ακτινικά q΄ αριθμός κόμβων (nodes) κατά μήκος ημίσειας περιφερείας δηλ. γωνιακά.

Κυλινδρική κοιλότητα Ένταση σε κυλινδρικές συντεταγμένες: ρ = 2r2/w2, w είναι το spot size (FWHM?) του θεμελιώδους τρόπουTEM00 . Eμφανίζονται τα associated Laguerre polynomials: Τα οποία σχετίζονται με τα Laguerre polynomials: TEMpl όπου p, l δείκτες κόμβων (nodes) ακτινικά και κατά μήκος ημίσειας περιφερείας δηλαδή γωνιακά The overall size of the mode is determined by the Gaussian beam radius w, and this may increase or decrease with the propagation of the beam, however the modes preserve their general shape during propagation. Higher order modes are relatively larger compared to the TEM00 mode, and thus the fundamental Gaussian mode of a laser may be selected by placing an appropriately sized aperture in the laser cavity.

the first few Laguerre polynomials

Κυλινδρική κοιλότητα

Ορθογώνια Παραλληλεπίπεδη Κοιλότητα Ένταση σε καρτεσιανές συντεταγμένες: Όπου w είναι το spot size (FWHM?) του θεμελιώδους τρόπουTEM00 και εμφανίζονται τα πολυώνυμα Hermite: Ο τρόπος TEM00 είναι ο ίδιος με τον TEM00 της κυλινδρικής κοιλότητας. As before, higher-order modes have a larger spatial extent than the 00 mode. The overall intensity profile of a laser's output may be made up from the superposition of any of the allowed transverse modes of the laser's cavity, though often it is desirable to operate only on the fundamental mode.

the first eleven physicists' Hermite polynomials

Ορθογώνια Παραλληλεπίπεδη Κοιλότητα

Refs and images from http://www.optique-ingenieur.org/en/courses/OPI_ang_M01_C03/co/Contenu_02.html http://laser.physics.sunysb.edu/~alex/tmodes/webreport.html http://en.wikipedia.org/wiki/Transverse_mode