Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 13/4/2016 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Markov Θεωρήματα Burke & Jackson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 13/4/2016

ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ουρά Μ/Μ/2/10 με Κατώφλι k (Επανάληψη)  Αριθμός πελατών στο σύστημα είναι μικρότερος ή ίσος του k (k = 1,…, 9) οι αφίξεις δρομολογούνται πάντα στον εξυπηρετητή α, ο δε β παραμένει ανενεργός (idle). Ο εξυπηρετητής β ενεργοποιείται όταν ο αριθμός των πελατών στο σύστημα ξεπεράσει το κατώφλι k Αφίξεις Poisson, μέσου ρυθμού λ = 1, λ = 2 και λ = 3 πελάτες/sec (τρεις περιπτώσεις), ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις ρυθμού μα = 4 πελάτες/sec και μβ = 1 πελάτης/sec Με απλή προσομοίωση συστημάτων Markov να υπολογιστούν και να παρασταθούν γραφικά: Ο μέσος αριθμός των πελατών στο σύστημα για k =1,…,9, και για τις τρείς περιπτώσεις ρυθμού εισόδου, όπως αυτό εξελίσσεται κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης, μέχρι κάποιο κριτήριο σύγκλισης (π.χ. διαδοχικές τιμές μέσου αριθμού πελατών να μη διαφέρει πάνω από 0.001) Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα, μετά την σύγκλιση ανωτέρω (ερώτημα 1), σαν συνάρτηση του k για κάθε τιμή του λ Οι ρυθμοί απόδοσης (throughput) στους δύο εξυπηρετητές γα και γβ καθώς και ο λόγος γα/γβ, μετά την σύγκληση (ερώτημα 1) σαν συνάρτηση του k για κάθε τιμή του λ Σχολιάστε τα αποτελέσματα ως προς την ταχύτητα σύγκλησης και την απόδοση του συστήματος σαν συνάρτηση του k 27/5/2016: Ηλεκτρονική παράδοση, 20% της συνολικής βαθμολογίας Χρησιμοποιήσατε κάποια κλασσική γλώσσα προγραμματισμού (C, C++, Java, Python, Matlab…) και όχι ειδική γλώσσα προσομοίωσης. Να περιληφθεί αρχείο με τον πηγαίο κώδικα (source code) και σχήμα καταστάσεων με ρυθμούς μεταβάσεων

ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (1/3) ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (1/3) Θεώρημα Burke: Η έξοδος πελατών από ουρά Μ/Μ/1 ακολουθεί κατανομή Poisson με ρυθμό τον ρυθμό εισόδου λ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θεωρούμε δύο εκθετικές ουρές Q1, Q2 με χρόνους εξυπηρέτησης ανεξάρτητες εκθετικές μεταβλητές με μέσους όρους 1/μ1, 1/μ2 (παραδοχή Leonard Kleinrock σε δίκτυα μεταγωγής πακέτου) και άπειρη χωρητικότητα Η είσοδος στην Q1 είναι Poisson με ρυθμό λ (η Q1 είναι Μ/M/1), λ < μ1, μ2 Η κατάσταση του συστήματος περιγράφεται από το διάνυσμα n = (n1,n2), n1 # πελατών στην Q1, n2 # πελατών στην Q2 Καταστρώνουμε το διάγραμμα μεταβάσεων καταστάσεων Markov σε δύο διαστάσεις και γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας Εξετάζουμε αν οι εργοδικές πιθανότητες έχουν μορφή γινομένου (product form solution) P(n) = P(n1,n2) ?= P(n1) P(n2) ?= Κ ρ1 n1 ρ2 n2 = (1−ρ1) ρ1 n1 (1−ρ2) ρ2 n2 όπου ρ1 = λ/μ1, ρ2 = λ/μ2

ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (2/3) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΥΘΜΩΝ ΜΕΤΑΒΑΣΕΩΝ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (2/3) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΥΘΜΩΝ ΜΕΤΑΒΑΣΕΩΝ

ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (3/3) ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΟΡΦΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (3/3) ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΟΡΦΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Μορφή γινομένου P(n) = P(n1,n2) ?= P(n1)P(n2) ?= Κ ρ1 n1 ρ2 n2 Εξισώσεις ισορροπίας για εσωτερικές καταστάσεις n1 > 0, n2 > 0 π.χ. n1 = n2 = 2, P(2,2) ?= Κ(λ/μ1)2(λ/μ2)2 = Kλ4/(μ1μ2)2 (λ+μ1+μ2)P(2,2) = λP(1,2) + μ1P(3,1) + μ2P(2,3) ή Κ(λ+μ1+μ2) λ4/(μ12μ22) ?= Κλ(λ/μ1)(λ/μ2)2 + Κμ1(λ/μ1)3(λ/μ2) + Κμ2(λ/μ1)2(λ/μ2)3 = Κλ4/(μ1μ22) + Κλ4/(μ12μ2) + Kλ5/(μ12μ22) Εξισώσεις ισορροπίας για n1= 0, n2 > 0, π.χ. n1 = 0, n2 = 2, P(0,2) ?= Κ(λ/μ2)2 (λ+μ2)P(0,2) = μ1P(1,1) + μ2P(0,3) ή Κ(λ+μ2)λ2/μ22 ?= Κμ1(λ/μ1)(λ/μ2) + Κμ2 (λ/μ2)3 = Κλ2/μ2 + Κλ3/μ22 Οι εξισώσεις επαληθεύονται, με Κ = (1-ρ1)(1-ρ2) από την κανονικοποίηση, και επομένως αποτελούν τη μονοσήμαντη λύση Άρα οι δύο ουρές συμπεριφέρονται σαν δύο ανεξάρτητες ουρές Μ/Μ/1 με ρυθμούς εισόδου λ και ρυθμούς εξυπηρέτησης μ1, μ2 ή Ο ρυθμός εξόδου της εργοδικής ουράς Μ/Μ/1 Q1 (και εισόδου στην Q2) είναι Poisson με ρυθμό λ (Θεώρημα Burke)

ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ: ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΙΚΤΟΥ ΧΩΡΙΣ ΜΝΗΜΗ (Markov) Έξοδος Ουράς Μ/Μ/1 – Θεώρημα Burke Οι αναχωρήσεις πελατών από σύστημα Μ/Μ/1 αποτελούν διαδικασία Poisson Άθροιση – Διάσπαση διαδικασιών Poisson Άθροιση (aggregation) ανεξαρτήτων ροών Poisson λ1, λ2 : Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ1 + λ2 Τυχαία Διάσπαση (random split, routing) ροής Poisson μέσου ρυθμού λ με πιθανότητες p, q = 1- p : Παράγει διαδικασίες Poisson με ρυθμούς pλ, (1-p)λ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (1/2) ΘΕΩΡΗΜΑ JACKSON Παραδοχές Ανοικτό δίκτυο ουρών αναμονής Qi με εκθετικούς ρυθμούς εξυπηρέτησης μi Εξωτερικές αφίξεις σε κόμβους i, ανεξάρτητες Poisson μέσου ρυθμό γi Εσωτερική Δρομολόγηση (routing) με τυχαίο τρόπο και πιθανότητα δρομολόγησης πελάτη από τον κόμβο (ουρά) Qi στον κόμβο Qj : rij Οι χρόνοι εξυπηρετήσεις πελατών όπως διαπερνούν το δίκτυο δεν διατηρούν την τιμή τους (έλλειψη μνήμης) αλλά αποκτούν χρόνο εξυπηρέτησης ανάλόγα με την κατανομή του κάθε εξυπηρετητή (Kleinrock’s Independence Assumption, επαληθευμένη με προσομοιώσεις σε δίκτυα με όχι απλοϊκή τοπολογία)

ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (2/2) ΘΕΩΡΗΜΑ JACKSON Αποτέλεσμα Κατάσταση του δικτύου, διάνυσμα αριθμού πελατών στις ουρές Qi, n =(n1, n2, …) Εργοδική Πιθανότητα (αν υπάρχει): P(n) = P(n1) P(n2) … μορφή γινομένου (product form) ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/1 P(ni) = (1 – ρi) ρI nI με ρi = λi/μi όπου λi ο συνολικός ρυθμός Poisson των πελατών που διαπερνούν την ουρά Qi με ρυθμό εκθετικής εξυπηρέτησης μi Ουρά (γραμμή) συμφόρησης: Με το μέγιστο ρi Μέσος αριθμός πελατών στο δίκτυο: E(n) = E(n1) + E(n2) + … Μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο: Ε(Τ) = Ε(n)/γ όπου γ = γ1 + γ2 + ... ο συνολικός ρυθμός πελατών που εισέρχονται στο δίκτυο από έξω (network throughput).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΔΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΓΩΓΗΣ ΠΑΚΕΤΩΝ (Internet – Intranet) Θεωρήστε ένα δίκτυο μεταγωγής πακέτων. Όλες οι γραμμές (FDX) θεωρούνται χωρητικότητας10 Gbits/sec. Το μέσο μήκος του πακέτου είναι 1000 bits (θεωρείστε εκθετική κατανομή). Μεταξύ κόμβων θεωρείστε προσφερόμενους ρυθμούς πακέτων Poisson, με ίσους ρυθμούς r packets/sec (από άκρο σε άκρο). Πακέτα από το Α στο C και αντίστροφα δρομολογούνται εξίσου στους δύο ισότιμους δρόμους: (A-B-C) και (A-D-C). Τα πακέτα μεταξύ κόμβων κατευθείαν συνδεδεμένων (A-B), (A-D), (B-D), (B-C), (D-C) δρομολογούνται κατευθείαν. (Α) Βρείτε το ρυθμό r ώστε η γραμμή συμφόρησης (με τη μέγιστη χρησιμοποίηση) να είναι 50% (Β) Με το r του (Α) βρείτε τη μέση καθυστέρηση ενός τυχαίου πακέτου στο δίκτυο (από άκρο σε άκρο) B Α C D Κόμβος Δικτύου Κορμού (Δρομολογητής Κορμού, Backbone Router, Packet Switch) Κόμβος Εισόδου (H/Y, Access Node, Customer Network - LAN)