Μέθοδοι Ανακατασκευής Εικόνας Καθηγητής Α. Ρήγας

Μέθοδοι Ανακατασκευής Εικόνας Τομογραφία ονομάζεται η τεχνική απεικόνισης μιας τομής ενός αντικειμένου, η συνολική εικόνα του οποίου μπορεί να αναπαραχθεί με τη χρήση πολλών διαφορετικών τομών του. Δύο είναι οι σύγχρονες μέθοδοι τομογραφίας : 1) Εκείνες που παρουσιάζουν μόνο την ανατομία των δομών. 2) Εκείνες που παρέχουν πληροφορίες για τη λειτουργία του οργάνου. Για παράδειγμα, στην Αξονική Τομογραφία χρησιμοποιούνται ακτίνες Χ (20-120 keV) και μετριέται ο συντελεστής εξασθένισης.

Ανακατασκευή Εικόνας Ανακατασκευή Εικόνας (Image reconstruction) ονομάζεται η μαθηματική επεξεργασία μίας ομάδας δεδομένων προβολής που προέρχονται με μη επεμβατικό τρόπο από τον οργανισμό, η οποία έχει ως σκοπό την παρα- γωγή μίας τομογραφικής εικόνας υψηλής ποιότητας και διαγνωστικής αξίας. Οι στόχοι της κάθε μεθόδου ιατρικής απεικόνισης είναι οι εξής : 1) Η εγκυρότητα της διάγνωσης. 2) Η μικρότερη δυνατή επιβάρυνση του οργανισμού. 3) Η μείωση της χρονικής διάρκειας της εξέτασης και της χρήσης των υπο- λογιστικών συστημάτων.

Πρόβλημα Ανακατασκευής Εικόνας Θεωρούμε ένα αντικείμενο σε δύο διαστάσεις, το οποίο παριστάνεται από τη συνάρτηση f( x, y) . Αυτό μας περιγράφει τη χωρική κατασκευή μιας φυσικής ποσότητας. Θεωρούμε επίσης ότι εργαζόμαστε στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (t, s) που έχει στραφεί ως προς το σύστημα (x ,y) κατά μία γωνία φ. Από την αναλυτική γεωμετρία γνωρίζουμε ότι:  

Περιστροφή Αξόνων

Πρόβλημα Ανακατασκευής Εικόνας Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f( x ,y) κατά μήκος μιας γραμμής L παραλ- ληλης ως προς τον άξονα s, η οποία ονομάζεται τομογραφική ακτίνα, αποτε- λεί τα δεδομένα προβολής (projection data) και ισούται με P( φ, t) = ∫L f( x, y) ds Μία ομάδα δεδομένων προβολής κατά μήκος παράλληλων γραμμών δημι- ουργεί μία «όψη», η οποία αποτελεί ένα μονοδιάστατο προφίλ της μετρού- μενης ποσότητας ως συνάρτησης της θέσης και αντιστοιχεί σε μία δεδομέ- νη γωνία φ.

Προβολές ενός αντικειμένου

Ανακατασκευή Εικόνας Η συλλογή πολλών διαφορετικών «όψεων» μπορεί να παρασταθεί σε ένα δισδιάστατο διάγραμμα σαν εικόνα, όπου ο ένας άξονας είναι η θέση t και ο άλλος η γωνία φ. Η εικόνα αυτή ονομάζεται μετασχημα- σμός Radon του δισδιάστατου αντικειμένου (Radon transform).Σκοπός των αλγορίθμων ανακατασκευής εικόνας είναι η επίλυση του αντίστρο- φου μετασχηματισμού Radon, προκειμένου να προσδιοριστεί η εκτίμη- ση της προς ανακατασκευής εικόνας f( x, y) με τη βοήθεια των δεδο- μένων προβολής. Ο μετασχηματισμός Fourier μιας ομάδας δεδομένων προβολής σε μία διεύθυνση δίνεται S( φ, ω) = ∫ P( φ, t) exp(-j2πωt)dt

Ανακατασκευή Εικόνας Ο Radon απέδειξε ότι: που είναι ο δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier F(u,v) της συνάρτησης f(x,y) υπo την προϋπόθεση ότι: u = ωcosφ και v = ωsinφ  

Ανακατασκευή Εικόνας

Ανακατασκευή Εικόνας Το Σχήμα 2.4 παρουσιάζει ένα παράδειγμα ανακατασκευής καθώς και την επίδραση του αριθμού των όψεων που λαμβάνονται στην ποιότητα της ανακατασκευασμένης εικόνας. Η αρχική εικόνα (Σχήμα 2.4α) ανακατασκευάστηκε με τη λήψη 8 ομάδων δεδομένων προβολής σε ίσα γωνιακά βήματα (Σχήμα 2.4β). Η ποιότητα της ανακατασκευής δεν είναι πολύ καλή εξαιτίας του περιορισμένου αριθμού όψεων. Πράγματι, η λήψη 32 όψεων (Σχήμα 2.4γ) βελτιώνει αισθητά την ποιότητα της ανακατασκευασμένης εικόνας. Και στις δύο περιπτώσεις το πρόβλημα της έλλειψης πληροφορίας λόγω των κενών της εικόνας στο πεδίο συχνοτήτων είναι περισσότερο εμφανές στις υψηλές συχνότητες, όπου οι τομογραφικές ακτίνες απέχουν περισσότερο μεταξύ τους (Σχήμα 2.5).

Ανακατασκευή Εικόνας

Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Α Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Α. Απλή οπισθοπροβολή (Simple Backprojection) Η ανακατασκευασμένη εικόνα δημιουργείται κατανέμοντας τις τιμές των δεδομένων προβολής ομοιόμορφα κατά μήκος της ακτίνας προβολής. Οπισθοπροβάλοντας τα δεδομένα προβολής από όλες τις όψεις, προσδιορίζεται μία εκτίμηση της συνάρτησης χωρικής κατανομής που παριστάνει το αντικείμενο σε δύο διαστάσεις. Ο αλγόριθμος στηρίζεται στη σχέση: όπου φκ είναι k-ιοστή γωνία προβολής, m είναι ο αριθμός των όψεων και Δφ είναι η γωνιακή απόσταση μεταξύ διαδοχικών προβολών. Η εικόνα οπισθοπροβολής f(x,y) είναι μία πρώτη προσέγγιση της αρχικής συνάρτησης f(x,y). Η ποιότητα της εικόνας βελτιώνεται με τη χρήση δεδομένων από περισσότερες γωνίες προβολής (Σχ. 2.6).  

Απλή οπισθοπροβολή

Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β. Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection) Η μέθοδος της φιλτραρισμένης οπισθοπροβολής (FBP) είναι ο ευρύτερα χρησιμοποιούμενος αναλυτικός αλγόριθμος για την ανακατασκευή της εικόνας και αποτελείται από δύο βήματα: Εφαρμογή ενός κατάλληλου φίλτρου στα δεδομένα προβολής από διαφορετικές γωνίες Οπισθοπροβολή των διαμορφούμενων δεδομένων προβολής για τη δημιουργία της εικόνας

Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β. Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection) Το πρώτο βήμα μπορεί να υλοποιηθεί με δύο τρόπους. Στο πεδίο του χρόνου, η εφαρμογή του φίλτρου είναι ισοδύναμη με τη συνέλιξη των δεδομένων προβολής με μία κατάλληλη συνάρτηση h(t): Με την ανάπτυξη των μεθόδων FFT (γρήγορος μετασχηματισμός Fourier), η συνέλιξη μπορεί να αντικατασταθεί με μία περισσότερο αποδοτική επεξεργασία στο χώρο των συχνοτήτων.  

Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β. Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection) Η διαδικασία περιλαμβάνει τρία στάδια: Μετασχηματισμός Fourier των δεδομένων προβολής στο χώρο συχνοτήτων με τη χρήση της μεθόδου FFT, δηλ. P(ω,φ) = FT{p(t,φ)} Πολλαπλασιασμός των μετασχηματισμένων δεδομένων προβολής με μία κατάλληλη συνάρτηση Η(ω), που είναι ο μετασχηματισμός Fourier της h(t). Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της P(ω,φ) στο χώρο του χρόνου. Η συνάρτηση Η που χρησιμοποιείται είναι η απόλυτη τιμή της συχνότητας |ω| (Σχ. 2.7), δεδομένου ότι ο αντίστροφος δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier του αντικειμένου f(x,y) δίνεται από τη σχέση:  

Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή

Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β. Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection) Από την ανωτέρω σχέση με αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων και χρήση του θεωρήματος Radon καταλήγουμε:  

Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β. Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection) Οπότε: όπου:    

Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β. Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection) Τα φιλτραρισμένα δεδομένα προβολής οπισθοπροβάλονται και η ανακατασκευασμένη εικόνα σχηματίζεται (Σχ. 2.8). Ο αλγόριθμος FBP δίνει τα ίδια αποτελέσματα με τη μέθοδο του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, αλλά είναι πιο εύκολος να εφαρμοστεί. Στην περίπτωση υπάρξεως θορύβου στα δεδομένα προβολής, ο θόρυβος στις υψηλές συχνότητες τείνει να ενισχυθεί και είναι αναγκαία η χρήση φίλτρων για τη βελτίωση της ποιότητας της εικόνας.

Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Εικόνας Β. Φιλτραρισμένη οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection)

Επαναληπτικοί Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Το πρόβλημα της επίλυσης ως προς f(x,y) μπορεί να θεωρηθεί ως η επίλυση μίας ομάδας εξισώσεων που προκύπτουν από τα ολοκληρώματα κατά μήκος των τομογραφικών ακτίνων. Ο αριθμός των αγνώστων ισούται με τον αριθμό των pixels της εικόνας της τιμής, ενώ ο αριθμός των εξισώσεων είναι ο αριθμός των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων. Η λύση των παραπάνω εξισώσεων βασίζεται σε επαναληπτικές μεθόδους και στατιστικά κριτήρια. Ένας τυπικός επαναληπτικός αλγόριθμος αρχίζει από μία αρχική εκτίμηση της χωρικής συνάρτησης κατανομής f(x,y), βάσει της οποίας εκτιμάται ένα σύνολο δεδομένων προβολής. Η εκτίμηση των δεδομένων συγκρίνεται με τις μετρήσεις στις ίδιες γωνίες προβολής και οι διαφορές τους υπολογίζονται. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι η διαφορά της εκτίμησης και των μετρήσεων να γίνει αρκετά μικρή. Τα στατιστικά κριτήρια που χρησιμοποιούνται είναι τα εξής: Ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα (MMSE), Σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα (WLS), Μέγιστη Εντροπία (ME), Μέγιστη Πιθανοφάνεια (ML) και Μέγιστη εκ των υστέρων προσέγγιση.

Επαναληπτικοί Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Τα κυριότερα μειονεκτήματα των επαναληπτικών μεθόδων είναι οι εκτεταμένοι υπολογισμοί και η μεγάλη χρονική διάρκεια της επεξεργασίας. Παρόλα αυτά μπορούν να παράγουν αποδεκτές εικόνες από περιορισμένο αριθμό όψεων, σε περιπτώσεις όπου η συλλογή δεδομένων σε ορισμένες γωνίες δεν είναι εφικτή λόγω φυσικών περιορισμών.

Επαναληπτικοί Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Στην κατηγορία των επαναληπτικών αλγορίθμων ανήκει και η Αλγεβρική Τεχνική Ανακατασκευής (Algebraic Reconstruction Technique – ART). Το σύστημα των εξισώσεων περιγράφεται ως εξής: όπου n είναι ο αριθμός των voxels, m είναι ο αριθμός των προβολών, Α είναι ο πίνακας των στατιστικών βαρών που αντιστοιχούν στη συμπεριφορά κάθε voxel σε κάθε ακτίνα (τάξης mxn), x είναι οι τιμές των voxels (n) και b είναι οι μετρηθείσες προβολές (m). Η κλασική μέθοδος ART υπολογίζει κάθε σύνολο των τιμών x από τις προηγούμενες βάσει της σχέσεως:

Επαναληπτικοί Αλγόριθμοι Ανακατασκευής Το λ ονομάζεται συντελεστής χαλάρωσης (relaxation coefficient), κυμαίνεται μεταξύ 0 και 2 και ελέγχει τη ταχύτητα σύγκλισης. Όταν το λ είναι πολύ μικρό, η ART ισοδυναμεί με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Ατέλειες στις ανακατασκευασμένες εικόνες Τεχνικό σφάλμα (Artifact) ονομάζεται η ατέλεια ανακατασκευής που είναι εμφανώς ορατή στην εικόνα. Ένα σφάλμα ανακασκευής (reconstruction error) είναι η απόκλιση της υπολογισθείσας τιμής από την αναμενόμενη. Αν ο αριθμός των προβολών ή των γωνιών που χρησιμοποιούνται στη διαδικασία της ανακατασκευής είναι μικρός, η εικόνα έχει περισσότερα artifacts, χαμηλότερη διακριτική ικανότητα, μικρότερη σαφήνεια στον καθορισμό των αιχμών και περισσότερα σφάλματα ανακατασκευής.