Μηχανική των υλικών Μεταβολή όγκου λόγω παραμόρφωσης Επιβλέπων: Γ. Αγγελόπουλος, καθηγητής Επιμέλεια Πήττας Κωνσταντίνος, διπλ. Μηχ. Μηχ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Να αντιληφθεί ο φοιτητής τον τρόπο με τον ασκούνται στις τρείς διαστάσεις οι τάσεις και πώς συνθέτουν τις παραμορφώσεις. Να μπορεί να υπολογίζει την μεταβολή του όγκου ενός στοιχείου που καταπονείται από φορτία. Να είναι σε θέση να υπολογίσει την επιμήκυνση μιας ράβδου ή δοκού.

Περιεχόμενα ενότητας Επίδραση ορθών τάσεων στη μεταβολή του όγκου Τρισδιάστατες αξονικές παραμορφώσεις Υπολογισμός μεταβολής όγκου Επίδραση υδροστατικής πίεσης Επίδραση αξονικής καταπόνησης Υπολογισμός εμβαδού διατομής Υπολογισμός επιμήκυνσης ράβδου-δοκού

Επίδραση ορθών τάσεων στη μεταβολή του όγκου Έστω σχ, σy , σz οι ορθές τάσεις. Ο αρχικός όγκος του δοκιμίου είναι V0=1∙dx·dy·dz. Με την επιβολή των τάσεων οι πλευρές του δοκιμίου παραμορφώνονται ώς εξής : Δdx=εx·dx Δdy=εy·dy, Δdz=εz·dz Συνεπώς οι παραμορφώσεις που προκύπτουν είναι : σy σx σz

Αναπαράσταση τρισδιάστατων αξονικών παραμορφώσεων

Παραμορφώσεις που αντιστοιχούν στις τάσεις κάθε άξονα

Παραμορφώσεις σε κάθε άξονα

Υπολογισμός μεταβολής όγκου Επειδή ε<<1 →ε∙ε<<<1 Όμως επειδή

Περίπτωση υδροστατικής πίεσης Στην περίπτωση που έχουμε υδροστατική πίεση τότε όλες οι τάσεις είναι θλιπτικές και ίσες με την υδροστατική πίεση. Άρα : Άρα από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι : Και θέτοντας : Συνεπώς προκύπτει οτι όταν Κ > 0

Ιδιάζουσες περιπτώσεις Από την ανάλυση που προηγήθηκε αν για ένα υλικό ίσχυε ν = 0 θα μπορούσε να επιμηκύνεται προς μία κατεύθυνση, χωρίς να μειώνονται οι διαστάσεις του. Από την άλλη μεριά, εάν υποθετικά ν =1/2 θα έδινε Κ =∞, δηλαδή το υλικό θα ήταν απολύτως ασυμπίεστο. Ένα υλικό που προσεγγίζει το v=1/2 είναι το λάστιχο.

Ασκήσεις υπολογισμού μεταβολής μήκους και όγκου

Διαστολή όγκου σε αξονική καταπόνηση

Διαστολή όγκου σε αξονική καταπόνηση Όπου για

Παραμόρφωση σε αξονική καταπόνηση Μια χαλύβδινη ράβδος κυκλικής διατομής και μήκους L και διαμέτρου d αναρτάται όπως στο σχήμα. Στο άκρο φέρει βάρος W. Να βρεθεί : Η μέγιστη τάση Η συνολική παραμόρφωση της ράβδου Δίνονταο L=40m, d=8mm, W=1.5kN, γ=77kN/m2 Η μέγιστη αξονική δύναμη ενεργεί στο ανώτερο σημείο της ράβδου και είναι ίση με το άθροισμα .

Παραμόρφωση σε αξονική καταπόνηση

Υπολογισμός μεταβολης μήκους σώματος μεταβλητής διατομής

Υπολογισμός εμβαδού διατομής Από όμοια τρίγωνα προκύπτει ότι : Συνεπώς το εμβαδό της διατομής είναι :

Υπολογισμός μεταβολής μήκους

Εφελκυσμός ράβδου Επιμήκυνση εξαιτίας δύναμης Ρ Επιμήκυνση εξαιτίας βάρους Επιμήκυνση ορειχάλκινης ράβδου :

Υπολογισμός συνολικής επιμήκυνσης Επιμήκυσνη χαλύβδινης ράβδου : Συνεπώς η συνολική επιμήκυνση του σημείου εφαρμογής της δύναμης θα είναι :

Εφελκυσμός ράβδου SOLUTION: Χωρίστε την ράβδο σε τμήματα στα σημεία εφαρμογής των δυνάμεων. Φτιάξτε το ΔΕΣ σε κάθε ένα από τα τμήματα και καθορίστε το εσωτερικό αξονικό φορτίο Προσδιορίστε την παραμόρφωση της χαλύβδινης ράβδου η οποία φορτίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα. Υπολογίστε την συνολική επιμήκυνση της ράβδου.

Εφελκυσμός ράβδου SOLUTION: Διαιρούμε την ράβδο σε 3 τμήματα. Σχεδιάζουμε το ΔΕΣ και υπολογίζουμε αξονικές δυνάμεις Υπολογισμός συνολικής επιμήκυνσης,

Σημείωμα χρήσης έργων τρίτων ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Δρ Π. Α. ΒΟΥΘΟΥΝΗΣ

Τέλος Ενότητας