Μετασχηματισμοί 3Δ

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση του ορισμού ενός αντικειμένου πολλές φορές σε μια σκηνή

Συνοπτικά 3D Μετασχηματισμοί Βασικοί 3D μετασχηματισμοί

3D Μετασχηματισμοί Ίδια ιδέα με τους 2D μετασχηματισμούς Ομογενείς συντεταγμένες: (x,y,z,w) 4x4 Πίνακες μετασχηματισμών

Βασικοί 3D μετασχηματισμοί Μοναδιαίος Αλλαγή κλίμακας Μετατόπιση Συμμετρικός ως προς Y/Z επίπεδο

Βασικοί 3D Μετασχηματισμοί Περιστροφή γύρω από τον άξονα Z: Περιστροφή γύρω από τον άξονα Y: Περιστροφή γύρω από τον άξονα X :

Αντίστροφή Περιστροφή Q: Πώς να κάνω αναιρέσω (undo) μια περιστροφή κατά q, R(q)? A: Εφαρμόζω αντίστροφη περιστροφή… R-1(q) = R(-q) Πώς δημιουργώ τον R-1(q) = R(-q) Μέσα στον πίνακα περιστροφής: cos(q) = cos(-q) Το Συνημίτονο (cosine) του αντιστρόφου πίνακα μετασχηματισμού δεν μεταβάλλεται Το πρόσημο του ημιτόνου (sine) αλλάζει Οπότε… R-1(q) = R(-q) = RT(q)

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ Ομογενείς συντεταγμένες σημείων Ε3: (x,y,z,w) Bασική παράσταση (x,y,z,1) Δεξιόστροφα (εδώ) & Αριστερόστροφα συστήματα Χ Ζ Υ (α) Χ Υ Ζ (β)

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ Μεταφορά Αλλαγή κλίμακας

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ Στροφή: ανάγκη ορισμού θετικής στροφής σε δεξιόστροφο σύστημα αντίθετη φοράς δεικτών ρολογιού όταν παρατηρητής στον +ve άξονα κοιτάει προς είναι ορθογώνιοι διατηρούν μήκη και γωνίες

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ Αντίστροφοι Για στροφή ισχύει (ορθογώνιος)

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ Στρέβλωση στο XY επίπεδο α, b παράγοντες στρέβλωσης κατά X και Y άξονα z συντεταγμένη αμετάβλητη

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ Στρέβλωση στο XY επίπεδο α, b παράγοντες στρέβλωσης κατά X και Y άξονα z συντεταγμένη αμετάβλητη Στρέβλωση στο YZ επίπεδο Στρέβλωση στο XZ επίπεδο

Παράδειγμα 3.11 Ορίζουμε ως καμπή την περιστροφή γύρω από τον άξονα X και στη συνέχεια γύρω από τον άξονα Y. (α) Βρείτε τον πίνακα καμπής Tk και (β) εξετάστε εάν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία εκτελούνται οι περιστροφές. Λύση: (α) Τα ακόλουθα βήματα καθορίζουν τον ζητούμενο πίνακα. Βήμα 1: Στροφή κατά γωνία θx ως προς άξονα X. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού: R x (θx ) . Βήμα 2: Στροφή κατά γωνία θy ως προς άξονα Y. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού: R y (θ y ) . Ο ζητούμενος πίνακας θα προκύψει ως σύνθεση των παραπάνω βασικών μετασχηματισμών.

(β) Εάν εκτελεστούν οι παραπάνω μετασχηματισμοί με αντίθετη σειρά θα προκύψει ο ακόλουθος πίνακας: Παρατηρούμε ότι ο νέος πίνακας διαφέρει από αυτόν του ερωτήματος (α) επομένως παίζει ρόλο η σειρά με την οποία εκτελούνται οι περιστροφές.

Παράδειγμα 3.12    

Παράδειγμα 3.13    

Ο πίνακας περιστροφής Rx(θ1) ισούται με:    

Παρατηρήσεις: 1) Εάν b και c ισούνται με μηδέν τότε λ = 0

Παράδειγμα 3.14  

Παράδειγμα 3.15  

Από το παράδειγμα 3.14 ο πίνακας μετασχηματισμού που θα προσδιορί­ζει τις συντεταγμένες των νέων κορυφών δίνεται από:  

Για να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες της στραμμένης φιγούρας εφαρμόζουμε τον πίνακα RL (θ) πάνω στον πίνακα Π που εκφράζει τη δοσμένη πυραμίδα. Πιο συγκεκριμένα:

Οι καινούριες συντεταγμένες θα δίνονται από τις σχέσεις: Το αποτέλεσμα που προκύπτει φαίνεται στο σχήμα