Digital Communication Systems

Ψηφιακή Μετάδοση Σε μία ψηφιακή μετάδοση, ο πομπός στέλνει κάποια γνωστά στο δέκτη σήματα εκπομπής, τα οποία ονομάζουμε σύμβολα εκπομπής. Κάθε σύμβολο εκπομπής, διαφέρει από τα υπόλοιπα, ως προς ένα ή περισσότερα από τα τρία χαρακτηρικά μίας κυματομορφής, τα οποία είναι Πλάτος σήματος Συχνότητα σήματος Αρχική φάση σήματος Για παράδειγμα, αν στέλνουμε τα δύο σύμβολα και τότε μπορούμε να πούμε ότι αυτά έχουν το ίδιο πλάτος Α, την ίδια συχνότητα ω, αλλά διαφέρουν στην αρχική φάση. Αυτό διαπιστώνεται γράφοντας

Ψηφιακή Μετάδοση Πολλές φορές προτιμούμε να προσδιορίζουμε τα σύμβολα εκπομπής με βάση την αρχή του Low-Pass Equivalency, δηλαδή θεωρώντας ω=0 (βασική ζώνη) Στο προηγούμενο παράδειγμα η διαμόρφωση Phase Shift Keying (PSK), δύναται να προσδιοριστεί ισοδύναμα, ως μία διαμόρφωση με δύο διαφορετικά πλάτη 2-PAM (Pulse Amplitude Modulation) , , για όπου Τs είναι η χρονική διάρκεια κάθε συμβόλου Ο ρυθμός εκπομπής συμόλων είναι

Ψηφιακή Μετάδοση Μία πολύ σημαντική διαμόρφωση είναι η QPSK (Quartenary Phase Shift Keying) or 4-PSK, η οποία έχει τα εξής 4 σύμβολα εκπομπής Κάθε ένα από τα παραπάνω σύμβολα, μπορεί να αναλυθεί ως εξής Με βάση την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων {cos(ωt), -sin(ωt)}, έχουμε ότι κάθε σύμβολο προσδιορίζεται από τους συντελεστές {Αcos(θ), Αsin(θ)}, για θ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 (συνήθως)

Ψηφιακή Μετάδοση Σε βασική ζώνη (low-pass equivalent description, that is, ω=0), η ορθογωνιότητα των 2 συναρτήσεων {cos(ωt), -sin(ωt)} αντιστοιχίζεται στην ορθογωνιότητα του Real και Imaginary των μιγαδικών αριθμών. Για παράδειγμα, τα QPSK σύμβολα μπορούν να γραφούν ως για θ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 Ένας ισοδύναμος τρόπος προσδιορισμού των συμβόλων εκπομπής είναι το διάγραμμα αστερισμού, το οποίο αποτελεί τη γεωμετρική απεικόνιση των συναρτήσεων που περιγάφουν τα σύμβολα εκπομπής.

Ψηφιακή Μετάδοση Στο διάγραμμα αστερισμού, ο συντελεστής στο πραγματικό μέρος ισούται με την προβολή στον άξονα των x (αξονας πραγματικών αριθμών), ενώ ο συντελεστής στο φανταστικό μέρος ισούται με την προβολή στον άξονα των y (αξονας φανταστικών αριθμών). Επομένως οι πολικές συντεταγμένες του σήματος είναι: το πλάτος είναι και η γωνία με τον οριζόντιο άξονα είναι θm.

Signal-to-noise ratio (SNR) Στη προσομοίωση καθορίζουμε το SNR στην είσοδο του δέκτη, το οποίο ισοδυναμεί με το Es/N0 και από το οποίο προκύπτει το Eb/N0.

Additive White Gaussian Noise x (Amplitude) μ σ + 3 - μ - σ μ+ 607 . a f x n ( ) = 1 2 πσ G ~ (μ, σ ) Variance 2 = Power

AWGN in time domain Στο πεδίο του χρόνου το σήμα rv = randn(1, N) μπορεί εύκολα να γίνει plot. Παρακάτω δίνονται 100 δείγματα του σήματος του Gaussian θορύβου: plot(rv(1:100))

PDF of white Gaussian noise

Generation of Gaussian random variable clear; N=50000; bins=200; rv = randn(1,N); % white Gaussian noise [n xout]=hist (rv,bins); val_max = max(abs(xout)); %find max in order to determine bin width bar(xout, (n/N)*(bins/(2*val_max)) ) % ! ! ! ! ! axis ([-3 3 0 0.5] ) xlabel('amplitude') ylabel('probability density function') h = findobj (gca, 'Type' , 'patch' ) ; set (h, 'FaceColor', 'r' , 'LineStyle', ':' , 'EdgeColor', 'w' ) hold on y = pdf('Normal',-3:0.1:3, 0, 1) ; x=-3:0.1:3; plot (x, y, '*' )

Noise power for specific SNR % white Gaussian noise, 1 or 0dB variance n = (1/sqrt(2))*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; Για Εs = 1 και SNR in dB given by Es_N0_dB Τα δείγματα του θορύβου θα δίνονται από τη σχέση Δηλαδή κάνουμε scaling noise samples of power =1 to power n1 = 10^(-Es_N0_dB(ii)/20)*n;

Simulation of BPSK in AWGN (1/3) clear N = 10^6; % number of bits or symbols  ip = rand(1,N)>0.5; % generating 0,1 with equal probability s = 2*ip-1; % BPSK modulation 0  -1; 1  +1   Es_N0_dB = [0:1:10]; % multiple Eb/N0 values  for ii = 1:length(Es_N0_dB) % white Gaussian noise, 0dB variance n = 1/sqrt(2)*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; y = s + 10^(-Es_N0_dB(ii)/20)*n; % receiver - hard decision decoding ipHat = real(y)>0; nErr(ii) = size(find([ip- ipHat]), 2); % counting the errors end simBer = nErr/N; % simulated ber

Simulation of BPSK in AWGN (2/3) figure(1) semilogy(Es_N0_dB,simBer,'mx','LineWidth',6); axis([0 10 10^-5 0.5]) xlabel('Es/N0 (dB)') ylabel('Symbol error rate') hold on theoryBerBPSKAWGN = qfunc(sqrt(2*10.^(Es_N0_dB/10))); semilogy(Es_N0_dB,theoryBerBPSKAWGN,'k-','LineWidth',2); legend('AWGN-Simulation','AWGN-Theory');

Simulation of BPSK in AWGN (3/3)

Γεωμετρική αναπαράσταση σημάτων Τα σήματα MPSK μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικός συνδυασμός των δύο ορθοκανονικών κυματομορφών φ1(t), φ2(t), ως εξής με Τα ανύσματα , για m = 1,2,...,M, αντιστοιχούν σε Μ διαφορετικές κυματομορφές (σύμβολα) εκπομπής, που δίνονται από τις προβολές Για MPSK (Μ>2)

Baseband and Passband signals M-PSK: σύμβολα εκποπμής I(t)+ j Q(t) signal σε βασική ζώνη (baseband) gΤ(t) κρουστική απόκριση φίλτρου για μορφοποίηση παλμού Στην προσομοίωση μοντελοποιούμε το σήμα σε βασική ζώνη (low-pass equivalent) I(t) + j Q(t) (μιγαδικοί αριθμοί)

Baseband and Passband signals I(t) + j Q(t) (μιγαδικοί αριθμοί) BPSK Q(t) = 0 I(t) = ±1 (or ±A, or ± ) 2 different symbols (bits) QPSK Q(t) = ± 1 I(t) = ±1 (or ±0.707, or ± ) 4 different symbols (2bits/symbol) 16-QAM Q(t) = ± 1, ±3 I(t) = ±1, ±3 16 different symbols (4 bits/symbol)

Δέκτης συσχετισμού με συναρτήσεις βάσης t = T z r ( t ) r ( T ) T x ( × ) dt 1 1 φ ( t ) Maximum Likelihood Detector $ r ( t ) s ( t ) 1 m z r ( t ) r ( T ) T × 2 x ( ) dt 2 φ ( t ) 2

Επίδραση θορύβου στην έξοδο του δέκτη Αποδεικνύεται ότι ο όρος είναι τυχαία μεταβλητή Gaussian (όπως ο θόρυβος n(t)) με μέση τιμή και διακύμανση

BPSK detection Matched filter detector is equivalent to correlator with reference s1 !!! BPSK: h(t) = s1(T – t) % MATCHED FILTER The test statistic z(T) has the value and it is a RANDOM variable

BPSK detection g -Ε Ε Region 0 Likelihood of s0 Region 1 Decision Line P[z|s 1 sent] P e (s ) -Ε g o Ε

Maximum Likelihood Detector (MLD) The signal detector for the case of BPSK should decide which symbol was sent, based on the criterion This criterion is known as maximum likelihood test If L(z) >1 we decide (detect) s1 and if L(z) <1 we decide (detect) s0

MLD implemented as Threshold Detector

Probability of Error Έστω ότι εκπέμπεται το s1(t)= s(t). Τότε η πιθανότητα σφάλματος ισούται με τη πιθανότητα ότι z(T) < 0, δηλαδή όπου είναι η συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος και ορίζεται ως

MLD is equivalent to minimum Euclidean distance If Euclidean distance of z from s1 is smaller than Euclidean distance of z from s0 then

MLD is equivalent to Threshold Detector Take Log Likelihood Test: Therefore, MLD is equivalent to threshold detector with threshold for BPSK between and , that is, 0

Διάγραμμα Αστερισμού Υπάρχουν δύο ισοδύναμα διαγράμματα αστερισμού για τον υπολογισμό της πιθανότητας σφάλματος λόγω θορύβου αυτό που αναπαριστά γεωμετρικά τα εκπεμπόμενα σύμβολα και τον αρχικό AWGN θόρυβο με ισχύ αυτό που αναπαριστά την είσοδο στον detector, δηλαδή την τυχαία μεταβλητή z(T), η οποία είναι Gaussian με μέση τιμή που δίνεται από την τιμή του συμβόλου πολλαπλασιασμένη με και διακύμανση

Διάγραμμα Αστερισμού g -Ε Ε Region 0 Likelihood of s0 Region 1 Decision Line P[z|s 1 sent] P e (s ) -Ε g o Ε

Simulation of 2-PAM with AWGN (1/7) Δημιουργούμε το σήμα εκπομπής Pulse Amplitude Modulation (PAM) με 2 πλάτη σε βασική ζώνη Η συγκεκριμένη προσομοίωση χρησιμοποιεί τετραγωνικό παλμό εκπομπής, ο οποίος δημιουργείται με 8 δείγματα (επομένως το sampling rate είναι 8 φορές μεγαλύτερο από το data rate). Πολλές φορές σε προσομοιώσεις για εύρεση της επίδοσης symbol error rate (SER) ή bit error rate (BER) χρησιμοποιούμε 1 δείγμα ανά σύμβολο εκπομπής, δηλαδή δεν έχουμε παλμό εκπομπής. Η τιμή του δείγματος δίνει το σύμβολο εκπομπής, sampling rate = data rate. s t ( ) A 1 -A

Simulation of 2-PAM with AWGN (2/7) clear s1 = [1 1 1 1 1 1 1 1]; % τετραγωνικός παλμός εκπομπής x = [1 0 1 1 0 1 0 1]; x = 2.*x -1; % από bits σε Pulse Amplitude Modulated (PAM) signal y = upsample(x, length(s1)); % δημιουργούμε χώρο για τον παλμό figure(1) stem(y) xlabel('sample number') r = filter(s1, 1, y); figure(2) stem(r)

Simulation of 2-PAM with AWGN (3/7)

Simulation of 2-PAM with AWGN (4/7)

Simulation of 2-PAM with AWGN (5/7) >> h = [1 1 1 1 1 1 1 1]; % Matched Filter: h(t) = s1(Tb-t)=s1(t) >> z = conv(r, h); % εδώ θα μπορούσαμε να έχουμε και τη filter >> stem(z)

Simulation of 2-PAM with AWGN (6/7)

Simulation of 2-PAM with AWGN (7/7) delay=7; z = z(delay+1:end-delay); zT = downsample(z, 8) >> zT = 8 -8 8 8 -8 8 -8 8 shat = real(zT)>0 % ένα threshold detector με threshold = 0; >> shat 1 0 1 1 0 1 0 1

QPSK (2-orthogonal 2-PAM) (1/2) All symbols have transmit energy Generate QPSK symbols in baseband in Matlab alpha4qam = [-1 1]; % 4-QAM alphabets ip = randsrc(1,N,alpha4qam) + j*randsrc(1,N,alpha4qam); s = (1/sqrt(2))*ip; % normalization of energy Es=1

QPSK (2-orthogonal 2-PAM) (2/2) Detection of QPSK symbols in Matlab n = 1/sqrt(2)*[randn(1,N) + j*randn(1,N)]; % white Gaussian noise, 0dB variance % received symbol with SNR = Es_N0_dB(ii) y = s + 10^(-Es_N0_dB(ii)/20)*n; % demodulation y_re = real(y); % real y_im = imag(y); % imaginary ipHat(find(y_re < 0 & y_im < 0)) = -1 -1*j; ipHat(find(y_re >= 0 & y_im > 0)) = 1 + 1*j; ipHat(find(y_re < 0 & y_im >= 0)) = -1 + 1*j; ipHat(find(y_re >= 0 & y_im < 0)) = 1 - 1*j;

16-QAM (2-orthogonal 4-PAM) (1/5) Parameter should be replaced by in the figure below Observe detection areas!!!

16-QAM The symbols for 16-QAM in baseband are With average energy Es=10 Generate 16-QAM symbols in baseband in Matlab alpha16qam = [-3 -1 1 3]; % 16-QAM alphabets ip = randsrc(1,N,alpha16qam) + j*randsrc(1,N,alpha16qam); s = (1/sqrt(10))*ip; % normalization of energy to 1

16-QAM Detection of 16-QAM symbols in Matlab y_re = real(y); % real part y_im = imag(y); % imaginary part ipHat_re(find(y_re< -2/sqrt(10))) = -3; ipHat_re(find(y_re > 2/sqrt(10))) = 3; ipHat_re(find(y_re>-2/sqrt(10) & y_re<=0)) = -1; ipHat_re(find(y_re>0 & y_re<=2/sqrt(10))) = 1; ipHat_im(find(y_im< -2/sqrt(10))) = -3; ipHat_im(find(y_im > 2/sqrt(10))) = 3; ipHat_im(find(y_im>-2/sqrt(10) & y_im<=0)) = -1; ipHat_im(find(y_im>0 & y_im<=2/sqrt(10))) = 1; ipHat = ipHat_re + j*ipHat_im;

Monte Carlo simulation Bit level simulation model Channel Source Encoder Modulate Decoder Demodulate Detect Tx Rx Spread or IFFT Despread or DFT Format Performance Measure