Αν. Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου Σήματα και Συστήματα Αν. Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου January 12, 2018 Module Title

Εισαγωγή Sampling: from continuous signals to discrete signals Effect of sampling on signal frequencies Συνέλιξη για σήματα διακριτού χρόνου Sampling: transform from S-domain to Z-domain Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Module Title

Δειγματοληψία Sampling είναι μία διαδικασία μετατροπής Συνεχούς χρόνου αναλογικού σήματος xa(t), σε Διακριτού χρόνου αναλογικές τιμές x(n) παίρνοντας τα “samples” σε περιοδικά χρονικά διαστήματα που απέχουν χρόνο Τ!!

Δειγματοληψία (συν.) Sampling Theorem Έστω x(t) είναι ένα περιορισμένου φάσματος σήμα (bandlimited signal) < B, με Fourier Transform X(f) x(t) μπορεί να ανακατασκευαστεί τέλεια αν fs  2B fs = 2B ονομάζεται συχνότητα δειγματοληψίας Nyquist Αν fs < 2B, προκύπτει aliasing (αλληλοεπικάλυψη φάσματος διότι η δειγματοληψία προκαλεί επαναληπτικότητα φάσματος) Αν το σήμα δεν είναι αυστηρά bandlimited, τότε πρέπει να περάσει πρώτα από ένα LPF πριν τη δειγματοληψία. Σημείωση: το εύρος φάσματος ενός σήματος είναι το εύρος των θετικών μόνο συχνοτήτων για τις οποίες το φάσμα είναι μη μηδενικό

Επαναληπτικότητα Φάσματος λόγω Δειγματοληψίας Απόδειξη – Εφαρμογή Θεωρήματος Δυικότητας μεταξύ απεικόνισης στo χρονικό και φασματικό πεδίο Το δειγματοληπτημένο σήμα προκύπτει: Στο Χρονικό πεδίο η πράξη είναι: στο Φασματικό θα είναι: όπου s(t) είναι μία σειρά από δέλτα παλμούς με απόσταση Τs, με Τs το διάστημα μεταξύ δειγμάτων (Τs = 1/fs όπου fs η συχνότητα δειγματοληψίας) Όπως έχουμε υπολογίσει η περιοδική σειρά παλμών δέλτα με περίοδο Τ έχει σειρά Fourier που αποτελείται από συναρτήσεις δέλτα (με οριζόντιο βέβαια άξονα το f ) και περίοδο 1/Τ (γιατί?)

Επαναληπτικότητα Φάσματος του δειγματοληπτημένου σήματος X(f) fs ≥ 2B !!!! fs = 1/Ts S(f) 1/Τs !! S(f) ….. -2fs -fs 0 fs 2fs X(f) * S(f) ….. -2fs -fs 0 fs 2fs

Spectrum of discrete signals Ποια επίπτωση έχει στο φάσμα ενός σήματος x(t) η πράξη x(t) × s(t) ? και γιατί? Η σειρά παλμών δέλτα χρησιμοποιείται στην ιδανική δειγματοληψία: x(t) × s(t) ↔ Χ(f) * S(f) = X(f) * αφού σύμφωνα με τα προηγούμενα: X(f) * δ(f -k fs) = X(f - k fs) Επομένως το Χ(f) επαναλαμβάνεται γύρω από κάθε k fs . Δηλαδή αποδεικνύουμε την επαναληπτικότητα του φάσματος που προκύπτει όταν δειγματοληπτούμε ένα σήμα με αρχικό αναλογικό φάσμα Χ(f).

Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου Input Linear System Input Output x(n) X(ej2πfT) h(n) Η(ej2πfT) y(n) Y(ej2πfT) Η συνέλιξη ακολουθεί την ίδια διαδικασία με την συνεχή περίπτωση, δηλαδή Δίπλωση της ακολουθίας x(n) ή h(n) περί τον κάθετο άξονα, δημιουργώντας έτσι x(-k) ή h(-k) Μεταφορά προς τα δεξιά πάνω στον οριζόντιο άξονα για διάστημα n, δημιουργώντας έτσι x(n-k) ή h(n-k) Το άθροισμα του γινομένου των δύο ακολουθιών δίνει την απόκριση (έξοδο) στο σημείο n, δηλαδή y(n).

Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου Γενικά η έξοδος κάθε χρονική στιγμή n δίνεται από ή ισοδύναμα Γενικά, αν x(n) έχει μήκος Ν και η h(n) έχει μήκος Μ τότε η y(n)=x(n)*h(n) θα έχει μήκος Ν+Μ-1

Sampling in the time domain Fs = 100; % Sampling frequency must be at least twice the % highest frequency in the signal !!! t = (1:100)/Fs; % get signal samples every Ts = 1/Fs secs !! % t = [1/Fs, 2/Fs, 3/Fs, …., 100/Fs] is a vector s1 = sin(2*pi*t*5); % analog signal with frequency f= 5Hz % in reality since t=n/Fs, for n integer, % this is a sampled sinusoid with DIGITAL FREQUENCY % f_dig = f/Fs = 5/100 = 0.05 ή ω = 2π0.05 = 0.1π figure(1); plot(t, s1, 'ko-'); xlabel('Time (seconds)'); ylabel('Time waveform');

Ψηφιακή γωνιακή συχνότητα ω Ψηφιακή γωνιακή συχνότητα ω Τι σημαίνει λοιπόν ότι έχουμε ψηφιακή γωνιακή συχνότητα π/10 ??? Η σχέση της ψηφιακής συχνότητας ω με την αναλογική f εξαρτάται αποκλειστικά από τη ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ fs, μέσω της σχέσης: Επομένως:

Sampling in the time domain Circles give the signal samples x(nTs)=x(n) In the x-axis, instead of t = (1:100)/Fs we could have [1:100]

Effect of sampling t  nTs on the s-domain Frequency is mapped to

Effect of sampling t  nTs on the s-domain

Effect of sampling t  nTs in the time-domain A continuous signal after sampling For σ < 0 (stable signals) the values of α < 1

Μετασχηματισμός z = exp(sTs)

Μετασχηματισμός z = exp(sTs) Example:

Μετασχηματισμός z = exp(sTs) Επομένως Δηλαδή όλες οι συχνότητες στο διάστημα [-Fs/2 – Fs/2) απεικονίζονται στην περίμετρο του μοναδιαίου κύκλου. Επίσης ... Αλλά και Example:

Effect of sampling on the signal’s spectrum When we sample a signal with sampling frequency Fs The maximum analog frequency that can appear in the spectrum of the sampled signal is the Nyquist frequency Fs/2 The analog frequencies from -infinity to infinity can be divided in frequency blocks of size Fs, that is … [-3Fs/2 – -Fs/2), [-Fs/2 – Fs/2), [Fs/2 – 3Fs/2), [3Fs/2 – 5Fs/2),… In the sampled signal, a frequency f0 between [–Fs/2 – Fs/2), will correspond to all analog frequencies given by f0 ± k Fs, for k=1,2,… For sampled signals, the frequencies are usually normalized by the sampling frequency Fs The digital frequencies take values from 0 – ½ (corresponds to Fs/2) and usually are expressed as radian frequencies, ranging from 0 – π

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2π: Έχουμε επίσης δει ότι η γωνιακή ψηφιακή συχνότητα 2π αντιστοιχεί στη συχνότητα δειγματοληψίας Fs (το διακριτού χρόνου σήμα έχει φάσμα ίδιο με το συνεχούς χρόνου που όμως επαναλαμβάνεται γύρω από ακέραια πολλαπλάσια το Fs, είναι δηλαδή περιοδικό με περίοδο Fs).

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Αν έχουμε ένα σήμα με διάρκεια από [n1 n2] και θέλουμε να υπολογίσουμε τον DTFT για Μ+1 συχνότητες στο διάστημα [0, 2π] τότε έχουμε όπου

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Ένα σήμα cos(2π20t) το οποίο δειγματοληπτείται με συχνότητα δειγματοληψίας fs = 200Ηz και το οποίο ορίζεται για n=0:30; Σχεδιάστε το DTFT από –fs μέχρι fs

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Προσέξτε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε συχνότητα (20 ± 200) Hz και δειγματοληπτήσουμε με Fs=200Hz θα πάρουμε ακριβώς τις ίδιες τιμές δειγμάτων του σήματος. Για παράδειγμα:

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) clear; M=100; Fs = 200; n=0:30; Freq_step = 2*pi/M; k=-M:M; % we evaluate DTFT for frequencies: Freq_step *k % k=M is equal to w=2*pi % so we plot from -fs until +fs x=cos(0.2.*pi.*n); % vector with 31 values, since vector n has 31 points X = x * (exp(-j*2*pi/M)).^( n‘*k); F= (Fs/M)*k; % F is a vector of length equal to the length of k ! % we evaluate F in order to plot versus “analog” frequencies plot(F, abs(X)) axis([-200 200 0 18]) xlabel('frequency (Hz)') ylabel('magnitude of X, |X|')

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Παρατηρήστε ότι το σήμα έχει δύο συνιστώσες στο -20 Ηz και 20Hz όπως περιμέναμε. Επίσης το φάσμα είναι περιοδικό με περίοδο Fs = 200 Hz.