Αν. Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου Σήματα και Συστήματα Αν. Καθηγητής Γεώργιος Ευθύμογλου January 12, 2018 Module Title

Εισαγωγή Effect of sampling on signal frequencies Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Γραμμική Συνέλιξη Κρουστική απόκριση φίλτρου Εξίσωση Διαφοράς Απόκριση Συχνότητας Φίλτρου Κυκλική Συνέλιξη Discrete Fourier Transform (DFT) Μετασχηματισμός Ζ Συνάρτηση μεταφοράς γραμμικού συστήματος Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Module Title

Effect of sampling t  nTs Frequency is mapped to

Μετασχηματισμός z = exp(sTs)

Μετασχηματισμός z = exp(sTs) Example:

Μετασχηματισμός z = exp(sTs) Επομένως Δηλαδή όλες οι συχνότητες στο διάστημα [-Fs/2 – Fs/2) απεικονίζονται στην περίμετρο του μοναδιαίου κύκλου. Επίσης ... Αλλά και Example:

Effect of sampling on the signal’s spectrum When we sample a signal with sampling frequency Fs The maximum analog frequency that can appear in the spectrum of the sampled signal is the Nyquist frequency Fs/2 The analog frequencies from -infinity to infinity can be divided in frequency blocks of size Fs, that is … [-3Fs/2 – -Fs/2), [-Fs/2 – Fs/2), [Fs/2 – 3Fs/2), [3Fs/2 – 5Fs/2),… In the sampled signal, a frequency f0 between [–Fs/2 – Fs/2), will correspond to all analog frequencies given by f0 ± k Fs, for k=1,2,… For sampled signals, the frequencies are usually normalized by the sampling frequency Fs The digital frequencies take values from 0 – ½ (corresponds to Fs/2) and usually are expressed as radian frequencies, ranging from 0 – π

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2π: Έχουμε επίσης δει ότι η γωνιακή ψηφιακή συχνότητα 2π αντιστοιχεί στη συχνότητα δειγματοληψίας Fs (το διακριτού χρόνου σήμα έχει φάσμα ίδιο με το συνεχούς χρόνου που όμως επαναλαμβάνεται γύρω από ακέραια πολλαπλάσια το Fs, είναι δηλαδή περιοδικό με περίοδο Fs).

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Αν έχουμε ένα σήμα με διάρκεια από [n1 n2] και θέλουμε να υπολογίσουμε τον DTFT για Μ+1 συχνότητες στο διάστημα [0, 2π] τότε έχουμε όπου

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Ένα σήμα cos(2π20t) το οποίο δειγματοληπτείται με συχνότητα δειγματοληψίας fs = 200Ηz και το οποίο ορίζεται για n=0:30; Σχεδιάστε το DTFT από –fs μέχρι fs

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Προσέξτε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε συχνότητα (20 ± 200) Hz και δειγματοληπτήσουμε με Fs=200Hz θα πάρουμε ακριβώς τις ίδιες τιμές δειγμάτων του σήματος. Για παράδειγμα:

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) clear; M=100; Fs = 200; n=0:30; Freq_step = 2*pi/M; k=-M:M; % we evaluate DTFT for frequencies: Freq_step *k % k=M is equal to w=2*pi % so we plot from -fs until fs x=cos(0.2.*pi.*n); % vector with 31 values, since vector n has 31 points X = x * (exp(-j*2*pi/M)).^( n‘*k); F= (Fs/M)*k; % F is a vector of length equal to the length of k ! % we evaluate F in order to plot versus “analog” frequencies plot(F, abs(X)) axis([-200 200 0 18]) xlabel('frequency (Hz)') ylabel('magnitude of X, |X|')

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Παρατηρήστε ότι το σήμα έχει δύο συνιστώσες στο -20 Ηz και 20Hz όπως περιμέναμε. Επίσης το φάσμα είναι περιοδικό με περίοδο Fs = 200 Hz.

Εξίσωση Διαφοράς y(n)=0.5y(n-1)+x(n) Από την εξίσωση διαφοράς του φίλτρου στο χρονικό πεδίο μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς στο πεδίο συχνοτήτων. y(n)=0.5y(n-1)+x(n) δ(n) h(n) = … δ(n)

Κρουστική απόκριση φίλτρου Από τη συνάρτηση μεταφοράς Η(z) μπορούμε να βρούμε την κρουστική απόκριση h(n) χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Ζ στην H(z).

Εξίσωση διαφοράς για φίλτρα IIR Η γενική εξίσωση διαφοράς στο χρονικό πεδίο για φίλτρα άπειρου μήκους (infinite impulse response, IIR) είναι

Απόκριση συχνότητας (Frequency response) freqz(A, B), όπου Α είναι ο vector: A=[α(0), α(1), ..., α(Μ)] των συντελεστών του πολυωνύμου του αριθμητή (που συνδέονται με προηγούμενες τιμές εισόδου x(n-m)), και Β είναι ο vector: Β=[b(0), b(1), ..., b(K)] των συντελεστών του πολυωνύμου του παρονομαστή (που συνδέονται με προηγούμενες τιμές εξόδου y(n-k)). Επομένως η εντολή  [Η, ω] = freqz(A, B)  δίνει τις (μιγαδικές) τιμές της απόκρισης συχνότητας Η(ejω) στο vector Η για τιμές ω που δίνονται στον vector ω.

Απόκριση πλάτους και φάσης Αφού οι τιμές Η είναι μιγαδικές, μπορούν να εκφραστούν ως |Η(ejω)|ejφ(ω). Για αυτό συνήθως σχεδιάζουμε την απόκριση συνάρτησης με την εντολή: plot(ω, abs(H)) , όπου abs(H) δίνει το μέτρο |Η|. Επίσης η συνάρτηση της φάσης συναρτήσει της συχνότητας δίνεται με την εντολή: plot(ω, angle(H)) Συνήθως προτιμάμε τον άξονα συχνοτήτων να έχει τιμές μέχρι 1 και όχι π=3.16..., οπότε γράφουμε plot(ω/pi, abs(H))

Για ένα αιτιατό σύστημα με εξίσωση διαφοράς: y(n) = 0 Για ένα αιτιατό σύστημα με εξίσωση διαφοράς: y(n) = 0.9 y(n-1) + x(n) (1) σχεδιάστε α) βρείτε το H(z) και σχεδιάστε το zero-pole plot β) σχεδιάστε το και c) Βρείτε την κρουστική απόκριση του φίλτρου Λύση

Zero-Pole plot >> a=[1]; >> b=[1, -0.9]; >> zplane(a,b) που δίνει καμία (μηδέν) ρίζα για τον παρονομαστή (zero of H(z)) και μία ρίζα για τον παρονομαστή στο z = 0.9 (pole of H(z)).

Frequency response (geometric view) Στο μάθημα έχουμε δει ότι μπορούμε εμπειρικά να δούμε το μέτρο της απόκριση συχνότητας του φίλτρου με το να ξεκινήσουμε από το ω=0 με κατεύθυνση το ω=π (με φορά αντίθετη του ρολογιού) και κάθε φορά να υπολογίσουμε την Ευκλείδεια απόσταση της συχνότητας από κάθε zero και κάθε πόλο της συνάρτησης μεταφοράς. Για την παραπάνω απλή Η(z) έχουμε , p1=0.9 Παρατηρούμε ότι η απόσταση του πόλου από κάθε σημείο του κύκλου καθορίζει τη τιμή της απόκρισης συχνότητας.

Frequency response >> [H,w]=freqz(a,b,100); >> magH=abs(H); >> plot(w/pi, magH) >> xlabel('frequency in pi units') >> ylabel('Magnitude') >> title('Magnitude Response')

Frequency response >> [H,w]=freqz(a,b, 200, 'whole'); >> magH=abs(H); >> plot(w/pi, magH) >> xlabel('frequency in pi units') >> ylabel('Magnitude') >> title('Magnitude Response')

Frequency response >> a=1; >> b=[1, -0.9]; >> w=[-pi:pi/200:pi]; % equivalently w=[-200:1:200]*pi/200; >> H=freqz(a,b,w); >> plot(w/pi, abs(H)) >> ylabel('Magnitude') >> xlabel('frequency in pi units') >> title('Magnitude Response')

Προδιαγραφές φίλτρου στο ψηφιακό πεδίο συχνοτήτων Τι σημαίνει λοιπόν ότι περνάνε συχνότητες μέχρι π/8 ??? Η σχέση της ψηφιακής συχνότητας ω με την αναλογική f εξαρτάται αποκλειστικά από τη ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ fs, μέσω της σχέσης: Επομένως: σημαίνει ότι θα «περνάνε» συχνότητες 0 – 1 ΚΗz