ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Διάλεξη 5: Απλοποίηση (βελτιστοποίηση) λογικών συναρτήσεων με την μέθοδο του χάρτη Karnaugh (2ο μέρος) Δρ Κώστας Χαϊκάλης ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ελαχιστοποίηση λογικών συναρτήσεων Κάθε λογική συνάρτηση που πρόκειται να υλοποιηθεί με λογικές πύλες πρέπει να εκφραστεί στην ελάχιστη μορφή της Δηλαδή θα πρέπει να εκφραστεί σε μια αλγεβρική μορφή που να περιέχει όσον το δυνατόν λιγότερους όρους και κάθε όρος να αποτελείται από τις λιγότερες δυνατές μεταβλητές Η ελαχιστοποίηση της λογικής συνάρτησης έχει σαν αποτέλεσμα τα λογικά κυκλώματα που παράγονται να είναι: Μικρότερα Φθηνότερα Ταχύτερα Μικρότερη η κατανάλωση ενέργειας ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ελαχιστοποίηση λογικής συνάρτησης με τη μέθοδο του χάρτη Karnaugh Η λογική συνάρτηση παριστάνεται σε ένα χάρτη που είναι ισοδύναμος με τον πίνακα αληθείας της λογικής συνάρτησης που θέλουμε να απλοποιήσουμε Η τοποθέτηση των ελαχιστόρων στο χάρτη Karnaugh διευκολύνει την απλοποίηση της λογικής συνάρτησης ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Χάρτης Karnaugh 2 μεταβλητών Κάθε γραμμή και στήλη αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη τιμή κάθε μεταβλητής Οι θέσεις των 4 ελαχιστόρων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Χάρτης Karnaugh 3 μεταβλητών Μία μεταβλητή αντιστοιχεί στις γραμμές και δύο μεταβλητές στις στήλες Οι θέσεις των 8 ελαχιστόρων φαίνονται παρακάτω ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 1 με συνάρτηση 3 μεταβλητών ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 2 με συνάρτηση 3 μεταβλητών Λογική συνάρτηση: F(x,y,z) = Σ(3,4,6,7) = yz + xz’ Γειτονικά τετράγωνα ορίζονται και στα άκρα του χάρτη Karnaugh ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 3 με 4αδα γειτονικών τετραγώνων ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πόσες μεταβλητές απλοποιούνται με τον χάρτη Karnaugh Όταν σχηματίζεται 2-άδα γειτονικών τετραγώνων τότε απλοποιείται μία μεταβλητή Όταν σχηματίζεται 4-άδα γειτονικών τετραγώνων τότε απλοποιούνται δύο μεταβλητές Όταν σχηματίζεται 8-άδα γειτονικών τετραγώνων τότε απλοποιούνται τρεις μεταβλητές Δηλαδή, όσο μεγαλύτερες ομάδες γειτονικών τετραγώνων κάνουμε τόσο λιγότερες μεταβλητές μένουν στην απλοποιημένη μορφή της λογικής συνάρτησης ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πότε σταματάει η απλοποίηση μιας λογικής συνάρτησης Η απλοποίηση μιας λογικής συνάρτησης με την μέθοδο του χάρτη Karnaugh σταματάει όταν «καλύψουμε» όλους τους άσσους (ελαχιστόρους) του χάρτη Αν ξεχάσουμε έστω κι έναν ελαχιστόρο η λογική συνάρτηση δεν θα έχει απλοποιηθεί στην ελάχιστη μορφή της Ένας ελαχιστόρος μπορεί να συμμετέχει σε όσες ομάδες γειτονικών τετραγώνων θέλουμε, ώστε να «μεγαλώσουν» οι ομάδες όσο γίνεται περισσότερο Για παράδειγμα προτιμώνται οι 8αδες από τις 4αδες, οι 4αδες από τις 2αδες ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 4 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Χάρτης Karnaugh 4 μεταβλητών 16 θέσεις για τους ελαχιστόρους ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 5 με λογική συνάρτηση 4 μεταβλητών ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 6 με λογική συνάρτηση 4 μεταβλητών ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρωτεύοντες όροι – Prime implicants Δηλαδή αντιστοιχεί σε μια «μέγιστη» ομάδα γειτονικών τετραγώνων στον χάρτη Karnaugh Θεμελιώδης ή ουσιώδης πρωτεύων όρος (essential prime implicant): Ορίζεται ως ένας πρωτεύων όρος που περιέχει έναν τουλάχιστον ελαχιστόρο που κανένας άλλος πρωτεύων όρος δεν περιέχει Άρα είναι απαραίτητος (γι’ αυτό λέγεται και θεμελιώδης) για να σχηματιστεί η απλοποιημένη μορφή της λογικής συνάρτησης ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 7 με πρωτεύοντες όρους ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ανάλυση παραδείγματος 7b Τοποθετούμε και τους 11 ελαχιστόρους ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ανάλυση παραδείγματος 7b Σημειώνουμε όλες τις μέγιστες ομαδοποιήσεις (δηλαδή όλους τους πρωτεύοντες όρους) ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ανάλυση παραδείγματος 7b Κρατάμε οπωσδήποτε τους θεμελειώδεις όρους (δηλαδή αυτούς που περιέχουν τουλάχιστον ένα 1 που κανείς άλλος δεν περιέχει) ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ανάλυση παραδείγματος 7b Χρησιμοποιούμε τους λιγότερους δυνατούς μη-θεμελιώδεις όρους για να καλυφθούν και οι υπόλοιποι άσσοι του χάρτη ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Αδιάφοροι όροι Σε κάποιους συνδυασμούς των μεταβλητών εισόδου της λογικής συνάρτησης στον πίνακα αλήθειας, μπορεί να μην είναι καθορισμένη η τιμή της λογικής συνάρτησης (δηλαδή 0 ή 1) Αυτοί οι συνδυασμοί ονομάζονται αδιάφοροι όροι Δεν είναι υποχρεωτικό να χρησιμοποιούνται σε ομαδοποιήσεις Πρέπει να χρησιμοποιούνται μόνο εάν πρόκειται να μεγαλώσουν κάποιες ομαδοποιήσεις γειτονικών τετραγώνων Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όσες φορές θέλουμε έναν αδιάφορο όρο Όταν χρησιμοποιούμε έναν αδιάφορο όρο είναι σαν να του δίνουμε τιμή 1 Όσοι αδιάφοροι όροι δεν χρησιμοποιούνται είναι σαν να έχουν τιμή 0 Συμβολίζονται με x στον χάρτη Karnaugh ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 8 με αδιάφορους όρους ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράδειγμα 9 αποκλειστικής υλοποίησης λογικής συνάρτησης με πύλες NAND Να απλοποιηθεί η λογική συνάρτηση F(x,y,z) = Σ(1,2,3,4,5,7) με χάρτη Karnaugh και να υλοποιηθεί αποκλειστικά με πύλες NAND ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Υλοποίηση λογικής συνάρτησης XOR ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ