ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Ενότητα 4: Τρόποι έκφρασης σφάλματος- Ορθός τρόπος γραφής αποτελεσμάτων- Διάδοση σφαλμάτων Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Πηγή: flickr Πηγή: pixabay Πηγή: wikimedia

Τρόποι έκφρασης των Σφαλμάτων Απόλυτο σφάλμα: αποτελεί μέτρο της αξιοπιστίας των μετρήσεων: Το απόλυτο σφάλμα είναι φυσικό μέγεθος και έχει τις ίδιες μονάδες με το μετρούμενο! Σχετικό σφάλμα (συνήθως εκφράζεται επί τοις εκατό (%)) εκφράζει την ποιότητα των μετρήσεων: Το σχετικό σφάλμα (σε αντίθεση με το απόλυτο) είναι καθαρός αριθμός! Και τα δυο εκφράζουν με διαφορετικούς τρόπους την ίδια ακριβώς αβεβαιότητα

Ορθός Τρόπος γραφής των Αποτελεσμάτων Εφόσον η Μέση Τιμή θεωρείται ότι είναι πιο ακριβής από τις επιμέρους μετρήσεις, η Μέση Τιμή μιας σειράς μετρήσεων γράφεται ΠΑΝΤΑ με ένα σημαντικό ψηφίο περισσότερο από τις άλλες μετρήσεις! Με αυτόν τον τρόπο δείχνουμε ότι αποδίδουμε στη μέση τιμή μεγαλύτερη εμπιστοσύνη από την κάθε επιμέρους μέτρηση! Αφού το σφάλμα δx, σχετίζεται με την αβεβαιότητα που βαρύνει την τιμή ενός φυσικού μεγέθους και δίνει μια προσεγγιστική τιμή της αβεβαιότητας αυτής, δεν μπορεί να έχει πολλά σημαντικά ψηφία: Για μετρήσεις στο φοιτητικό εργαστήριο η τιμή του σφάλματος στρογγυλοποιείται ώστε να έχει μόνο ΕΝΑ σημαντικό ψηφίο! Μερικές φορές, για μετρήσεις πολύ μεγάλης ακρίβειας το σφάλμα μπορεί να γραφεί και με δύο σημαντικά ψηφία.

Ορθός Τρόπος γραφής των Αποτελεσμάτων Στο τελικό αποτέλεσμα: η μέση τιμή στρογγυλοποείται και γράφεται με τόσα σημαντικά ψηφία ώστε το τελευταίο ψηφίο να είναι στην ίδια θέση όπου εμφανίζεται το σημαντικό ψηφίο στο σφάλμα ! Παράδειγμα 1ο : ΄Εστω ότι από μια σειρά μετρήσεων προκύπτει για μια δύναμη η μέση τιμή και μετά από υπολογισμούς προκύπτει τυπική απόκλιση της μέσης τιμής ίση με Στρογγυλοποιούμε το σφάλμα ώστε να έχει ΈΝΑ σημαντικό: Το τελικό αποτέλεσμα θα γραφεί με όσα ΔΕΚΑΔΙΚΑ έχει το σφάλμα, δηλαδή:

Ορθός Τρόπος γραφής των Αποτελεσμάτων Παράδειγμα 2ο Αν προκύψει π.χ. D= 98735,35m και δD=263m Τότε, στρογγυλοποιώ και γράφω το σφάλμα με ΕΝΑ σημαντικό ψηφίο, δηλαδή: δD=3x102 m (το 300 m έχει 3 Σ.Ψ.!!) και:

Ορθός Τρόπος γραφής των Αποτελεσμάτων Παράδειγμα 3ο Μετρήθηκε - οκτώ φορές - το μήκος ενός μολυβιού, Τα αποτελέσματα των με- τρήσεων φαίνονται στον Πίνακα. Να υπολογισθεί η Μέση Τιμή, η τυπική της απόκλιση, καθώς και το σχετικό σφάλμα. Από τους υπολογισμούς προκύπτει για τη μέση τιμή: Η μ.τ. όμως γράφεται με ένα σημαντικό περισσότερο από τις άλλες μετρήσεις, άρα: 12,31 12,35125 12,351 -4,1 16,81 12,35 -0,1 0,01 12,33 -2,1 4,41 12,39 +3,9 15,21 12,32 -3,1 9,61 12,37 +1,9 3,61 12,38 +2,9 8,41 12,36 +0,9 0,81

Ορθός Τρόπος γραφής των Αποτελεσμάτων Παράδειγμα 3ο (συνέχεια) Υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση της Μέσης Τιμής από τη σχέση: Από τις πράξεις προκύπτει: Επειδή όμως το σφάλμα γράφεται με ΕΝΑ σημαντικό ψηφίο, και

Ορθός Τρόπος γραφής των Αποτελεσμάτων Παράδειγμα 3ο (συνέχεια) Το ΣΧΕΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ υπολογίζεται από τη σχέση: Επομένως το αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί και ως εξής:

Διάδοση Σφάλματος Έστω ότι υπολογίζουμε την τιμή ενός μεγέθους f, από τις τιμές x, y, z που έχουν προκύψει από άμεσες μετρήσεις. Δηλαδή: Προφανώς το σφάλμα του f θα εξαρτάται από τα σφάλματα στις μετρήσεις των x, y, z !

Διάδοση Σφάλματος Αν κάθε μια από τις άμεσες μετρήσεις x, y, z βαρύνεται από τυχαίο σφάλμα δx, δy, δz: τότε αποδεικνύεται ότι η αβεβαιότητα που βαρύνει την f δίνεται από τη σχέση:

Διάδοση Σφάλματος-Παραδείγματα Παράδειγμα 1ο Δύο αντιστάσεις R1 και R2 μετρήθηκαν, από 10 φορές η κάθε μια και προέκυψαν οι παρακάτω τιμές: Να υπολογισθεί η ολική αντίσταση καθώς και η τυπική της απόκλιση, στην περίπτωση που οι αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες παράλληλα.

Διάδοση Σφάλματος-Παραδείγματα Παράδειγμα 1ο (συνέχεια) Αν η ολική αντίσταση, τότε: ή Αντικαθιστώντας τις τιμές των και προκύπτει:

Διάδοση Σφάλματος-Παραδείγματα Παράδειγμα 1ο (συνέχεια) Για τον υπολογισμό του σφάλματος θα χρησιμοποιήσουμε το νόμο διάδοσης των σφαλμάτων: Υπολογίζουμε κατ΄αρχήν τις μερικές παραγώγους: και

Διάδοση Σφάλματος-Παραδείγματα Παράδειγμα 1ο (συνέχεια) Από την παραγώγιση προκύπτει: και Με δεδομένες τις αριθμητικές τιμές των και , αντικαθιστώντας προκύπτει:

Διάδοση Σφάλματος-Παραδείγματα Παράδειγμα 1ο (συνέχεια) Τελικά, αφού γνωρίζουμε ότι: και υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση αντικαθιστώντας στη σχέση: και επειδή Τελικά γράφουμε:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις: 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008. 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι"  Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008. εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά. «Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 4». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: •που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο •που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο •που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας