Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ Ηλεκτρολόγων – Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Μηχανολόγων Μηχανικών ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ Πολιτικών Μηχανικών Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ορισμοί Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Εξισώσεις Κίνησης Αρμονικού Ταλαντωτή Συνθήκη Απλής Αρμονικής Κίνησης Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Ελατήριο Εκκρεμές Στροφικό Εκκρεμές Πλωτήρας Ενέργεια Αρμονικού Ταλαντωτή

Ορισμοί 𝒔=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 ή 𝒔=𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 A = πλάτος ταλάντωσης ΠΑΛΙΔΡΟΜΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: Κάθε κίνηση γύρω από ένα τυχαίο σημείο. ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΣ: Κάθε παλινδρομική κίνηση γύρω από ένα σημείο ισορροπίας η οποία επαναλαμβάνεται κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο ανά συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Το χρονικό αυτό διάστημα ονομάζεται περίοδος και συμβολίζεται με T. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: Κάθε περιοδική κίνηση στην οποία η απομάκρυνση s του κινητού από τη θέση ισορροπίας είναι μια συνημιτονική ή ημιτονική συνάρτηση του χρόνου t. 𝒔=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 ή 𝒔=𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 A = πλάτος ταλάντωσης ω = γωνιακή συχνότητα: 𝝎= 𝟐𝝅 𝑻 φ0 = σταθερά φάσης, εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση x Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 ω φ0 t = 0 s : Αρχική γωνιακή θέση φ0 x0 Οθόνη Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: 𝒙 𝟎 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝟎 υ0 και κινείται με ταχύτητα υ0

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 φ Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 Οθόνη ω x υ Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 x = 0 Οθόνη φ ω υ Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 Οθόνη ω φ x υ Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 Οθόνη x = –Α ω φ 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: υ = 0 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 Οθόνη 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: φ ω x = –Α x υ 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 Οθόνη 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: x = –Α ω φ υ 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 Οθόνη 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: ω φ x = –Α x υ 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 Οθόνη 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: φ x = Α x = –Α υ = 0 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση

Κυκλική Κίνηση και Απλή Αρμονική Κίνηση Φως Φως φωτίζει ένα σώμα που κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας Α με γωνιακή ταχύτητα ω x = 0 Οθόνη 𝝋=𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Σε επόμενες χρονικές στιγμές t η γωνιακή θέση του σώματος είναι: x = Α x = –Α φ x υ0 𝒙=𝑨 cos 𝝋 =𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Η σκιά του σώματος απέχει από τη θέση x = 0 απόσταση: κινείται με ταχύτητα υ και εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνηση

Εξισώσεις Κίνησης στην Απλή Γραμμική Αρμονική Κίνηση Απλή Αρμονική Κίνηση Η προβολή της κίνησης ενός σώματος, το οποίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, πάνω σε μια διάμετρο της κυκλικής τροχιάς, ισοδυναμεί με την απλή αρμονική κίνηση. Εξισώσεις Κίνησης στην Απλή Γραμμική Αρμονική Κίνηση Θέσης: 𝒙(𝒕)=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Ταχύτητας: 𝝊 𝒕 = 𝒅𝒙 𝒕 𝒅𝒕 =−𝑨𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝝊 𝒕 = −𝝊 𝐦𝐚𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭+ 𝝋 𝟎 ό𝝅𝝄𝝊 𝝊 𝐦𝐚𝐱 =𝑨 𝝎 Επιτάχυνσης: 𝜶 𝒕 = 𝒅𝝊 𝒕 𝒅𝒕 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝒂 𝒕 = −𝒂 𝐦𝐚𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭+ 𝝋 𝟎 ό𝝅𝝄𝝊 𝒂 𝐦𝐚𝐱 =𝑨 𝝎 𝟐

Γραφικές Παραστάσεις Εξισώσεων Κίνησης στην Απλή Αρμονική Κίνηση Γραφικές Παραστάσεις Εξισώσεων Κίνησης στην Απλή Αρμονική Κίνηση 𝒙(𝒕)=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 T 𝝊 𝒕 = −𝝊 𝐦𝐚𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭+ 𝝋 𝟎 T 𝝊 𝐦𝐚𝐱 =𝑨𝝎 𝒂 𝒕 = −𝒂 𝐦𝐚𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭+ 𝝋 𝟎 T 𝒂 𝐦𝐚𝐱 =𝑨 𝝎 𝟐

Συνθήκη Απλής Αρμονικής Κίνησης Συνθήκη Απλής Αρμονικής Κίνησης Γραμμική Περιστροφική ή Στροφική Εξίσωση Θέσης: 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Γωνία εκτροπής: 𝜽=𝚯 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Γωνιακή Επιτάχυνση: 𝜶 𝝎 =−𝚯 𝝎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Επιτάχυνση: 𝜶=−𝑨 𝝎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Σώμα μάζας m, που εκτελεί απλή γραμμική αρμονική κίνησης, δέχεται δύναμη F η οποία είναι ίση με: 𝑭=𝒎 𝒂 Σώμα μάζας m, που εκτελεί απλή στροφική ή περιστροφική αρμονική κίνησης, δέχεται ροπή τ η οποία είναι ίση με: 𝝉=𝑰 𝜶 𝝎 Ι = Ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής 𝑭=−𝒎 𝑨 𝝎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝝉=−𝑰𝚯 𝝎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝑭=−𝒎 𝝎 𝟐 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝝉=−𝑰 𝝎 𝟐 𝚯 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 𝑭=−𝒎 𝝎 𝟐 𝒙 𝑫=𝒎 𝝎 𝟐 𝝉=−𝑰 𝝎 𝟐 𝜽 𝑫 ∗ =𝑰 𝝎 𝟐 𝑭=−𝑫 𝒙 τ =− 𝑫 ∗ 𝜽

Συνθήκη Απλής Αρμονικής Κίνησης Συνθήκη Απλής Αρμονικής Κίνησης Γραμμική Περιστροφική ή Στροφική 𝑭=−𝑫 𝒙 τ =− 𝑫 ∗ 𝜽 𝑫=𝒎 𝝎 𝟐 ⇒ 𝝎= 𝑫 𝒎 𝑫 ∗ =𝑰 𝝎 𝟐 ⇒ 𝝎= 𝑫 ∗ 𝑰 m = Μάζα ταλαντωτή Ι = Ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής Η σταθερά επαναφοράς D και φυσικά η γωνιακή συχνότητα ω προσδιορίζονται από το 2ο Νόμο του Νεύτωνα της μεταφορικής κίνησης Η σταθερά επαναφοράς D* και φυσικά η γωνιακή συχνότητα ω προσδιορίζεται από το 2ο Νόμο του Νεύτωνα της στροφικής κίνησης Εξίσωση Θέσης: 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Γωνία εκτροπής: 𝜽=𝚯 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Η σταθερά φάσης φ0 υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες της Απλής Αρμονικής Κίνησης

Διαφορική Εξίσωση Απλής Αρμονικής Κίνησης Διαφορική Εξίσωση Απλής Αρμονικής Κίνησης Γραμμική Περιστροφική ή Στροφική 𝑭=−𝑫 𝒙 Συνθήκη ταλάντωσης: τ =− 𝑫 ∗ 𝜽 Συνθήκη ταλάντωσης: 2ος Νόμος Νεύτωνα: 𝑭=𝒎𝒂=𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 2ος Νόμος Νεύτωνα: 𝝉=𝑰 𝒂 𝝎 =𝑰 𝒅 𝟐 𝜽 𝒅 𝒕 𝟐 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =−𝑫𝒙 𝑰 𝒅 𝟐 𝜽 𝒅 𝒕 𝟐 =− 𝑫 ∗ 𝜽 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝑫 𝒎 𝒙=𝟎 Διαφορική Εξίσωση Απλής Αρμονικής Κίνησης: 𝒅 𝟐 𝜽 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝑫 ∗ 𝑰 𝜽=𝟎 Διαφορική Εξίσωση Απλής Αρμονικής Κίνησης: Λύση Διαφορικής Εξίσωσης: 𝒙(𝒕)=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Λύση Διαφορικής Εξίσωσης: 𝜽(𝒕)=𝚯 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Όπου: 𝝎= 𝑫 𝒎 Όπου: 𝝎= 𝑫 ∗ 𝑰

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Σύστημα Ελατηρίου – Μάζας Οριζόντιο k 𝑭 𝐬𝐩 =−𝒌𝒙 Fsp>0 𝒙(𝒕)=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 x<0 Fsp<0 𝝎= 𝒌 𝒎 x>0 x = 0

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Σύστημα Ελατηρίου – Μάζας Κατακόρυφο Δy < 0 mg m L2<0 Εκτρέπουμε το σώμα προς τα κάτω κατά διάστημα Δy και το αφήνουμε ελεύθερο. Fsp2 y = 0 L0<0 Αναρτούμε στο ελατήριο μάζα m (L1 – L0 < 0) L1<0 Fsp1 mg m L2 – L0 < 0 L2 = L1 + Δy Θέση Ισορροπίας Νέα δύναμη ελατηρίου: 𝑭 𝐬𝐩𝟐 =−𝒌 𝑳 𝟐 − 𝑳 𝟎 ⇒ 𝑭 𝐬𝐩𝟐 =𝒌( 𝑳 𝟏 +𝚫𝐲− 𝑳 𝟎 ) Συνισταμένη δύναμη πάνω στο σώμα: 𝑭=𝑭 𝐬𝐩𝟐 −𝒎𝒈 ⇒ 𝑭=−𝒌( 𝑳 𝟏 +𝚫𝐲− 𝑳 𝟎 )−𝒎𝒈 ⇒ Συνθήκη ισορροπίας: 𝑭 𝐬𝐩𝟏 −𝒎𝒈=𝟎 𝑭=−𝒌𝚫𝐲−𝒌( 𝑳 𝟏 − 𝑳 𝟎 )−𝒎𝒈 −𝒌 𝑳 𝟏 − 𝑳 𝟎 −𝒎𝒈=𝟎 𝑭=−𝒌𝚫𝐲 𝑭 𝐬𝐩𝟏 =−𝒌( 𝑳 𝟏 − 𝑳 𝟎 )

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Το Φυσικό Εκκρεμές Φυσικό Εκκρεμές είναι κάθε στερεό σώμα που στρέφεται γύρω από άξονα ο οποίος απέχει απόσταση d από το κέντρο μάζας του. Ο Ο Άξονας Περιστροφής διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος στην επιφάνεια της οθόνης. d cm

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Όταν το Φυσικό Εκκρεμές εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας κατά μικρή γωνία θ (π.χ θ < 150) τότε πάνω σε αυτό θα ασκηθεί ροπή στρέψης τ: w = mg θ>0 cm d Το Φυσικό Εκκρεμές Φυσικό Εκκρεμές είναι κάθε στερεό σώμα που στρέφεται γύρω από άξονα ο οποίος απέχει απόσταση d από το κέντρο μάζας του. Όταν θ > 0 ⇒ τ < 0 Όταν θ < 0 ⇒ τ > 0 Το βάρος του σώματος: 𝒘=𝒎𝒈 Προκαλεί ροπή στρέψης: 𝝉=−𝒎𝒈𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝝉=−𝒎𝒈𝒅 𝜽 𝑫 ∗ =𝒎𝒈𝒅 Όταν θ < 150 ⇒ sin(θ)  θ (rad) π.χ. sin(100) = sin(0,175 rad) = 0,174

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Το Φυσικό Εκκρεμές 𝝉=− 𝑫 ∗ 𝜽 Συνθήκη Αρμονικής Κίνησης Φυσικού Εκκρεμούς: 𝑫 ∗ =𝒎𝒈𝒅 d θ>0 cm 𝝎= 𝑫 ∗ 𝑰 ⇒ 𝝎= 𝒎𝒈𝒅 𝑰 w = mg 𝒇= 𝟏 𝟐𝝅 𝒎𝒈𝒅 𝑰 𝑻=𝟐𝝅 𝑰 𝒎𝒈𝒅 𝝎= 𝟐𝝅 𝑻 =𝟐𝝅𝒇

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Το Απλό Εκκρεμές Το Απλό Εκκρεμές αποτελείται από μια σημειακή μάζα m η οποία είναι δεμένη στο άκρο ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους L. L m Το Απλό Εκκρεμές μπορεί να θεωρηθεί ως ένα φυσικό εκκρεμές στο οποίο όλη η μάζα είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του. Το μήκος L του απλού εκκρεμούς αντιστοιχεί στην απόσταση d του κέντρου μάζας του φυσικού εκκρεμούς από τον άξονα περιστροφής του.. w = mg T Στη θέση ισορροπίας (κατακόρυφη θέση) το βάρος w = mg και η δύναμη τάσης T του νήματος είναι ίσες και αντίθετες.

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Το Απλό Εκκρεμές Όταν το Απλό Εκκρεμές εκτραπεί από την κατακόρυφη θέση (θέση ισορροπίας) κατά μικρή γωνία θ (π.χ. θ < 150), τότε η βαρυτική ροπή θα εξαναγκάσει το εκκρεμές θα αρχίσει να ταλαντώνεται με συχνότητα και περίοδο: L θ w = mg T 𝒇= 𝟏 𝟐𝝅 𝒎𝒈𝒅 𝑰 𝑻= 𝑰 𝒎𝒈𝒅 Όπου: d = L και 𝑰=𝒎 𝑳 𝟐 𝒇= 𝟏 𝟐𝝅 𝒈 𝑳 𝑻=𝟐𝝅 𝑳 𝒈

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Το Στροφικό Εκκρεμές Όταν το σύστημα στραφεί κατά γωνία θ<150, τότε το σύρμα ή ο λεπτός κύλινδρος θα υποστεί διατμητική παραμόρφωση. m I Η ροπή επαναφοράς του αντικειμένου προς τη θέση ισορροπίας είναι ανάλογη της γωνίας στροφής θ: 𝝉=−𝜿𝜽 κ = σταθερά επαναφοράς στρέψης κυλίνδρου Γωνιακή συχνότητα στροφικού εκκρεμούς: 𝝎= 𝜿 𝑰 I = Ροπή αδράνειας συστήματος δίσκου – ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής θ

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Ταλάντωση Πλωτήρα στην Επιφάνεια Υγρού Άνωση: FB0 FB0= – ρf gSy0 FB FB= – ρf gSy1 = y0< 0 Κατάσταση Ισορροπίας: y0 ρf y1 = y0 + y < 0 Το Σώμα βυθίζεται κατά διάστημα y1 μέσα στο υγρό: y1 y w w Βάρος: w= m g Συνθήκη Ισορροπίας: FB0 – w = 0  – ρf gS (y0+y) – ρf gS y0 – m g = 0

Παραδείγματα Αρμονικών Ταλαντωτών Ταλάντωση Πλωτήρα στην Επιφάνεια Υγρού FB0 FB Συνθήκη Ισορροπίας: y1 − 𝝆 𝒇 𝒈𝑺 𝒚 𝟎 −𝒎𝒈=𝟎 y0 y y0 w w Δυναμική Βυθισμένου Σώματος: 𝑭 𝐧𝐞𝐭 = 𝑭 𝑩 −𝒘= ρf − 𝝆 𝒇 𝒈𝑺 𝒚 𝟏 −𝒎𝒈= − 𝝆 𝒇 𝒈𝑺 (𝒚+𝒚 𝟎 )−𝒎𝒈 ⇒ 𝑭 𝐧𝐞𝐭 = − 𝝆 𝒇 𝒈𝑺 𝒚− 𝝆 𝒇 𝒈𝑺𝒚 𝟎 −𝒎𝒈 ⇒ 𝑭 𝐧𝐞𝐭 =− 𝝆 𝒇 𝒈𝑺 𝒚 𝑭 𝐧𝐞𝐭 =−𝑫 𝒚 𝑫= 𝝆 𝒇 𝒈𝑺 𝝎= 𝑫 𝒎 = 𝝆 𝒇 𝒈𝑺 𝒎

Ενέργεια Αρμονικού Ταλαντωτή 𝒙(𝒕)=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕+ 𝝋 𝟎 Εξισώσεις Αρμονικής Κίνησης: 𝒌=𝒎𝝎 𝟐 𝝊 𝒕 =𝑨𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭+ 𝝋 𝟎 Κινητική Ενέργεια μάζας: 𝑲= 𝟏 𝟐 𝒎 𝝊 𝟐 ⇒ 𝑲= 𝟏 𝟐 𝒎 𝝎 𝟐 𝑨 𝟐 sin 𝟐 (𝝎𝒕+𝝋) Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου: 𝑼= 𝟏 𝟐 𝒌 𝒙 𝟐 ⇒ 𝑼= 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐 cos 𝟐 (𝝎𝒕+𝝋) Ολική Ενέργεια Συστήματος: 𝜠=𝜥+𝑼 ⇒ 𝜠= 𝟏 𝟐 𝒎 𝝎 𝟐 𝑨 𝟐 sin 𝟐 (𝝎𝒕+𝝋) + 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐 cos 𝟐 (𝝎𝒕+𝝋) ⇒ 𝜠= 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐 sin 𝟐 (𝝎𝒕+𝝋) + 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐 cos 𝟐 (𝝎𝒕+𝝋) ⇒ =𝟏 𝜠= 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐 ( sin 𝟐 (𝝎𝒕+𝝋) + cos 𝟐 (𝝎𝒕+𝝋)) ⇒ 𝜠= 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐