ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θεωρία Σημάτων: ανάλυση στο χρονικό και στο φασματικό πεδίο Fourier Transform ενεργειακών σημάτων Σειρά Fourier για περιοδικά σήματα Θεώρημα Δυϊκότητας (Duality Theorem) Παραδείγματα εύρεσης φάσματος σημάτων με χρήση του θεώρηματος Δυϊκότητας Page 9

Μιγαδικοί Αριθμοί Στην ανάλυση σημάτων και συστημάτων πολλές φορές χειριζόμαστε μιγαδικούς αριθμούς. Οι τρόποι με τους οποίους μπορούν να εκφραστούν είναι: X+jY |X+jY| ejθ Πλάτος και φάση !! Όπου το πλάτος του μιγαδικού είναι: Και η φάση του μιγαδικού : √Χ2+Υ2 j Y * θ X Μιγαδικό επίπεδο

Σήματα και Φάσμα Κατηγοριοποίηση Σημάτων Αιτιοκρατικά (Deterministic) και Τυχαία (Random) σήματα Η τιμή του σήματος είναι ή δεν είναι γνωστή σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή Περιοδικά (Periodic) και Μη Περιοδικά (Nonperiodic) σήματα. Π.χ. x(t) είναι περιοδικό αν Analog (Continuous-Time) και Discrete Signals x(t) υπάρχει συνέχεια στο συνεχές διάστημα (a, b) Διακριτά ή Ψηφιακά σήματα x[n] = x(nTs), Ts είναι το χρονικό διάστημα δειγματοληψίας. Το σήμα υπάρχει σε συγκεκριμένες περιοδικές χρονικές στιγμές. Page 12

Ενέργεια και Ισχύς των Σημάτων Η ενέργεια που καταναλώνει ένα σήμα στο χρονικό διάστημα (-Τ/2, Τ/2) δίνεται από και η μέση ισχύς κατανάλωσης είναι Όταν Τ -> το σήμα είναι ενεργειακό αν 0 < Εx < όπου Σήμα είναι ισχύος αν 0 < Px < όπου Page 13

Παλμός Δέλτα (Dirac) Συνάρτηση Μοναδιαίου Παλμού δ(t) 1 t Page 13

Μετασχηματισμός Fourier Ορισμός: για κάθε συχνότητα f δίνει τo βαθμό της συσχέτισης του σήματος με το μιγαδικό ημίτονο συχνότητας f: Ιδιότητες Γραμμικότητα Χρονική Καθυστέρηση Μετατόπιση Συχνότητας Αλλαγή Χρονικής Κλίμακας

Μετασχηματισμός Fourier τετραγωνικού παλμού Βρείτε το φασματικό περιεχόμενο του παρακάτω ορθογώνιου παλμού Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t) είναι: X(t) A t -τ/2 τ/2

Μετασχηματισμός Fourier τετραγωνικού παλμού Η γραφική παράσταση του φάσματος πλάτους |Χ(f)| =|τ sinc(fτ)| δίνεται παρακάτω Παρατηρήστε ότι η πρώτη συχνότητα με πλάτος 0 είναι η 1/τ

Μετασχηματισμός Fourier τετραγωνικού παλμού Από την παραπάνω σχέση μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι για f=0 X(0) = Aτ f=1/τ X(1/τ) = 0 αφού sin(πτ/τ)=sin(π)=0 …. f=n/τ με n=1,2,3,… X(n/τ)=0 αφού sin(πτn/τ)=sin(nπ)=0 α) Όσο ο παλμός στενεύει στο χρονικό πεδίο, δηλαδή τ μικραίνει, τόσο το φάσμα του απλώνει, αφού 1/τ μεγαλώνει. β) Στο όριο για τ→0 ο τετραγωνικός παλμός x(t) γίνεται παλμός δέλτα δ(t) και το φάσμα του X(f) γίνεται μία ευθεία αφού 1/τ → ∞ Στο όριο για τ→∞ ο τετραγωνικός παλμός x(t) γίνεται μία ευθεία δηλαδή έχει σταθερή τιμή, και βέβαια ο μετασχηματισμός Fourier γίνεται πολύ πολύ στενός, δηλαδή ένας παλμός δέλτα. Επομένως ή μόνη συχνότητα για ένα σταθερό σήμα που εκτείνεται στο χρόνο από -∞ έως ∞ είναι η μηδενική (f=0).  

Υπολογισμός του φάσματος πλάτους του τετραγωνικού παλμού στο Matlab clear d=5; % d is used instead of \tau A=1; f=[-4/d:0.01:4/d]; X=A.*d.*sinc(f.*d); % USE of dot operator !!! figure(1) plot(f, abs(X)) axis([-4/d 4/d 0 A*d]) title('Spectrum of square wave with d=5') xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('Amplitude')

Φασματική Πυκνότητα (Spectral Density) H spectral density ενός σήματος δίνει την κατανομή της ενέργειας ή της ισχύος του σήματος στο πεδίο συχνοτήτων. Για σήμα ενεργειακό, το θεώρημα Parseval διατήρησης της ενέργειας, δίνει όπου X(f) είναι ο μετασχηματισμός Fourier. Η ποσότητα ονομάζεται ενεργειακή φασματική πυκνότητα (energy spectral density) του απεριοδικού ενεργειακού σήματος x(t)

Φασματική Πυκνότητα (Spectral Density) συν. Φασματική Πυκνότητα Ισχύος (Power Spectral Density) Πολλά σήματα δεν είναι ενεργειακά Για παράδειγμα, όλα τα περιοδικά σήματα, τα οποία εξετάζονται ξεχωριστά στην επόμενη ενότητα, είναι σήματα ισχύος. Τα μη περιοδικά σήματα με infinite energy δεν έχουν μετασχηματισμό Fourier. Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε ένα μέρος του σήματος στο διάστημα (-Τ/2, Τ/2), τότε xT(t) έχει πεπερασμένη ενέργεια και επομένως έχει Fourier Transform, XT(f) Μπορεί τότε να δειχτεί ότι η power spectral density για το μη περιοδικό σήμα είναι

Περιοδικά σήματα – Σειρές Fourier Ένα περιοδικό σήμα με περίοδο T0, έχει στο πεδίο συχνοτήτων μόνο συνιστώσες f0, 2f0, 3f0, …nf0, n=1,2,.., όπου f0 = 1/T0, ονομάζεται θεμελιώδης συχνότητα (fundamental frequency) και nf0, n>1 ονομάζονται αρμονικές συχνότητες (harmonics). Επίσης αναφερόμαστε στις συνιστώσες συχνότητας ωο, 2ωο, 3ωο, … όπου ωο=2π/T0= 2πf0 ονομάζεται θεμελιώδης γωνιακή (radian) συχνότητα. Επομένως το σήμα μπορεί να αναλυθεί σε διακριτές συχνότητες nf0, με την καθεμία να έχει πλάτος Cx(nf0) Σειρά Fourier !! Σημείωση: όρια ολοκλήρωσης αντιστοι- χούν σε μία περίοδο!

Περιοδικά σήματα – Σειρές Fourier (συν.) Επομένως το περιοδικό σήμα αποτελείται από συχνότητες f =n fo όπου n>0, με την κάθε μία να έχει: Φάσμα πλάτους Φασματική πυκνότητα ισχύος (psd) Τα φάσματα περιοδικών σημάτων λέγονται γραμμικά φάσματα διότι έχουν διακριτές φασματικές συνιστώσες.

Ανάλυση σήματος σε Fourier Ένα σήμα με κάποια κυματομορφή στο χρονικό πεδίο αναλύεται (αποτελείται από) κάποιες συχνότητες Για περιοδικά σήματα οι συχνότητες είναι πολλαπλάσια του nf0, n>1 με πλάτος η καθεμία.

Ιδιότητες της Σειράς Fourier Αν x(t) είναι πραγματική, τότε φάσμα είναι συμμετρικό γύρω από μηδενική συχνότητα (βλέπε παρακάτω) Και βέβαια τα πλάτη είναι ίδια: Για x(t) πραγματικό ή μιγαδικό η ενέργειά του είναι η ίδια είτε υπολογιστεί στο χρονικό πεδίο (αριστερό τμήμα) είτε στο φασματικό πεδίο (δεξιό τμήμα της παρακάτω εξίσωσης, δίνεται από άθροισμα αντί για ολοκλήρωμα σε όλες τις συχνότητες γιατί όπως είδαμε ένα περιοδικό σήμα με περίοδο Τ έχει διακριτές μόνο συχνότητες, που επιπλέον είναι και πολλαπλάσια της θεμελιώδους)

Φάσματα Περιοδικών Σημάτων Το αριστερό μέρος είναι η μέση ισχύς του πλάτους του σήματος δίνουν την κατανομή της φασματικής ισχύος στις διάφορες φασματικές συνιστώσες του σήματος x(t) Αν GX(f) ορίσουμε τη συνάρτηση φασματικής πυκνότητας ισχύος (psd) που δίνει την κατανομή της ισχύος στο φασματικό πεδίο, τότε για περιοδικά σήματα ισχύος, έχουμε:

Σειρά Fourier περιοδικού σήματος παλμών Dirac Το χρονικό σήμα επομένως μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με δύο τρόπους όπου Επομένως η σειρά Fourier είναι:

Σειρά Fourier περιοδικού σήματος παλμών Dirac s(t) t (sec) 1 … T0 2T0 -2T0 -T0 S(f) f (Hz) 1/T0 ……. 2/T0 -2/T0 -1/T0

Σειρά Fourier περιοδικού σήματος παλμών Dirac Το χρονικό σήμα επομένως μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με δύο τρόπους Επομένως το ΦΑΣΜΑ δίνεται από την μαθηματική έκφραση:

Σειρά Fourier περιοδικού σήματος παλμών Dirac clear; n=[-15:15]; T=0.01; fo=(1/T); f = n.*fo; for i=1:length(f) X(i) = 1/T; end stem(f, abs(X), '*') axis([-15*fo 15*fo 0 1/T+10]) title('Spectrum of periodical Dirac pulses with T=0.01') xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('Amplitude')

2o Παράδειγμα Σειρών Fourier Αν έχω ένα περιοδικό συρμό τετραγωνικών παλμών, το φάσμα του είναι γραμμικό, όπως δίνεται παρακάτω. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα και παίρνoντας τη σειρά Fourier και από το duality theorem (βλέπε παρακάτω) Το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο Τ, επομένως έχει σειρά Fourier, δηλαδή το φασματικό του περιεχόμενο (συχνότητες από τις οποίες αποτελείται) είναι διακριτές και δίνονται ως πολλαπλάσια της θεμελιώδους f0=1/T. Τα πλάτη των συχνοτήτων n f0 n= 1,2,…, δίνονται από τη σχέση: -d/2 d/2 A X(t) t … T -T

Σειρά Fourier περιοδικού παλμού όπου

Σειρά Fourier περιοδικού παλμού Μπορούμε επίσης να γράψουμε (πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με f0d): Επομένως, το φάσμα του περιοδικού σήματος αποτελείται από διακριτές συχνότητες nf0=n/T με πλάτη Cx(nf0) και επιπλέον στο φάσμα οι συχνότητες nf0 που είναι πολλαπλάσια του 1/d έχουν Cx(nf0)=0.

Σειρά Fourier περιοδικού παλμού clear; n=[-15:15]; % discrete parameter T=20; d=5; A=1; fo=(1/20); f = n.*fo; X = (A.*d./T).*sinc(n.*fo.*d) stem(f, abs(X), '*-') axis([-15*fo 15*fo 0 A*d/T]) title('Spectrum of periodical square wave with T=20, d=5') xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('Amplitude')

Σύνθεση σήματος από Fourier Η αρχική κυματομορφή μπορεί να προκύψει στο χρονικό πεδίο από το άθροισμα των προηγούμενων συχνοτήτων με τα συγκεκριμένα πλάτη!!!

Σύνθεση σήματος από τη Σειρά Fourier clear; T=20; d=5; A=1; fo=(1/20); for t=1:100 x=0; for n=-15:1:15 x = x + (A*d/T)*sinc(n*fo*d)*exp(j*2*pi*n*fo*t); end y(t)=real(x); plot(y) xlabel('time') ylabel('amplitude') title('T=20, d=5')

Θεώρημα Δυϊκότητας Τί επίπτωση έχει στο φασματικό πεδίο μία επεξεργασία (signal processing) που γίνεται στο χρονικό πεδίο? δηλαδή αν παράγουμε ένα νέο σήμα y(t) από πολλαπλασιαμό y(t) = x(t)× h(t) ή συγκερασμό y(t) = x(t) * h(t) (έξοδος γραμμικού φίλτρου) των x(t) και h(t), ποιο θα είναι το φάσμα του νέου σήματος? Με ποιους τρόπους μπορώ να υπολογίσω το y(t) Απευθείας στο χρονικό πεδίο Πρώτα βρίσκω το φάσμα Y(f) και με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier βρίσκω τη χρονική απεικόνιση Page 9

Θεώρημα Δυϊκότητας Αλλά και το αντίστροφο, δηλαδή Τί επίπτωση έχει στο Χρονικό πεδίο μία επεξεργασία (signal processing) που γίνεται στο πεδίο συχνοτήτων? Παραδείγματα που ακολουθούν για την εύρεση του φάσματος με τη χρήση του θεωρήματος Δυϊκότητας, για Περιοδικό σήμα τετραγωνικών παλμών Πολλαπλασιασμός σήματος με φέρον (Δημιουργία σήματος διέλευσης ζώνης) Δειγματοληψία (Δημιουργία Σήματος Διακριτού Χρόνου) Page 9

Duality Theorem Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος y(t) = x(t) × s(t) (πολλαπλασιασμός στο χρονικό πεδίο) δίνεται από Y(f) = X(f) * S(f) (* σημαίνει συνέλιξη) και αντίστροφα. Δηλαδή y(t) = x(t) * s(t) (συνέλιξη στο χρονικό πεδίο) ισοδυναμεί με Y(f) = X(f) × S(f) στο πεδίο συχνοτήτων. Αυτό είναι το θεώρημα Δυικότητας. Πως το παρακάτω τετραγωνικό περιοδικό σήμα με διάρκεια 2d μπορεί να προκύψει από το Π(t) * s(t) ? Πώς μπορεί να βρεθεί το φάσμα από το θεώρημα Δυικότητας? -d d A x(t) t ……. T -T

Φάσμα Περιοδικού σήματος τετραγωνικών παλμών Το περιοδικό σήμα μπορεί να προκύψει από τη συνέλιξη ενός τετραγωνικού παλμού με τη σειρά παλμών δέλτα, δηλαδή αλλά και γενικά x(t) * δ(t – T) = x(t - T) δηλαδή το x(t) μετατοπίζεται κατά Τ, x(t) * δ(t –2 T) = x(t - 2T), κτλ. Επομένως το περιοδικό σήμα τετραγωνικών παλμών μπορεί να γραφεί όπως δίνεται στην παραπάνω εξίσωση.

Φάσμα Περιοδικού σήματος τετραγωνικών παλμών Επομένως το ΦΑΣΜΑ του περιοδικού σήματος είναι το φάσμα του περιοδικού σήματος τετραγωνικών παλμών μπορεί να προκύψει από πολλαπλασιασμό των Π(f) × S(f) από όπου προκύπτει ότι

Φάσμα Περιοδικού σήματος τετραγωνικών παλμών Επομένως το φάσμα του περιοδικού σήματος τετραγωνικών παλμών μπορεί να προκύψει από πολλαπλασιασμό των Χ(f) × S(f) από όπου προκύπτει το αφού το S(f) υπάρχει μόνο για πολλαπλάσια f = nf0=n/T και το 1/Τ στο πλάτος προέρχεται επίσης από το S(f). Δηλαδή προκύπτει ότι το φάσμα του περιοδικού τετραγωνικού παλμού προκύπτει απο τη δειγματοληψία του φάσμα του ενός τετραγωνικού παλμού ανά συχνότητα 1/Τ, όπου Τ είναι η περίοδος του περιοδικού σήματος!!!

Δημιουργία Bandpass σήματος

Δημιουργία Bandpass σήματος (συν.) Στο Χρονικό πεδίο η πράξη είναι: Αντίστοιχα στο φασματικό: Στο φασματικό πεδίο, έστω x(t)  X(f) Και βέβαια cos(ωct) = cos(2πfct) έχει σειρά Fourier ½ ½ -fc fc f

Δημιουργία Bandpass σήματος (συν.) Επομένως μπορούμε να βρούμε το Y(f) ως συνέλιξη του X(f) με το φάσμα του cos() Γενικά η συνέλιξη υπολογίζεται σχετικά πολύπλοκα ΕΚΤΟΣ από τις περιπτώσεις που η μία τουλάχιστον γραφική παράσταση αποτελείται από συναρτήσεις Δέλτα, όπως το φάσμα του cos() !! Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε εύκολα να δούμε ότι εφαρμόζοντας το κανόνα της συνέλιξης το φάσμα Υ(f) δίνεται: Δηλαδή το αρχικό επαναλαμβάνεται γύρω από κάθε Δέλτα !! Y(f) -fc fc -fc-B -fc +B fc-B fc +B f

Δειγματοληψία Sampling είναι μία διαδικασία μετατροπής Συνεχούς χρόνου αναλογικού σήματος xa(t), σε Διακριτού χρόνου αναλογικές τιμές x(n) παίρνοντας τα “samples” σε περιοδικά χρονικά διαστήματα!!

Επαναληπτικότητα Φάσματος λόγω Δειγματοληψίας Απόδειξη – Εφαρμογή Θεωρήματος Δυϊκότητας μεταξύ απεικόνισης στο χρονικό και φασματικό πεδίο Το δειγματοληπτημένο σήμα προκύπτει: Στο Χρονικό πεδίο η πράξη είναι: στο Φασματικό θα είναι: Όπου s(t) είναι μία σειρά από παλμούς δέλτα με απόσταση Τs, όπου Τs το διάστημα μεταξύ δειγμάτων (Τs = 1/fs με fs τη συχνότητα δειγματοληψίας) Όπως έχουμε υπολογίσει η περιοδική σειρά παλμών δέλτα με περίοδο Τ έχει σειρά Fourier που αποτελείται από συναρτήσεις δέλτα (με οριζόντιο βέβαια άξονα το f ) και περίοδο 1/Τ (γιατί?)

Επαναληπτικότητα Φάσματος λόγω Δειγματοληψίας (συν.) Η σειρά παλμών δέλτα χρησιμοποιείται στην ιδανική δειγματοληψία. x(t) × s(t) ↔ Χ(f) * S(f) = X(f) * αφού σύμφωνα με τα προηγούμενα: X(f) * δ(f -k f0) = X(f - k f0) Επομένως το Χ(f) επαναλαμβάνεται γύρω από κάθε kf0 . Δηλαδή αποδεικνύουμε την επαναληπτικότητα του φάσματος που προκύπτει όταν δειγματοληπτούμε ένα σήμα με αρχικό αναλογικό φάσμα Χ(f).

Επαναληπτικότητα Φάσματος του δειγματοληπτημένου (ψηφιακού) σήματος X(f) X(f) fs ≥ 2B !!!! f fs = 1/Ts -B B 1/Τs !! S(f) ….. -2fs fs 0 fs 2fs X(f) * S(f) ….. -2fs fs 0 fs 2fs