ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 9: Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Α’ Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

Άδειες χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

ΧρηματοδΟτηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: Wikipedia Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)

μονοδιάστατα προβλήματα Α’ Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Α’ Πηγή: Wikipedia Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262 E. Schrödinger (documentary) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) Nobel Prize lecture

Περιεχόμενα της ενότητας 9 Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Διερεύνηση της εξίσωσης του Schrödinger : Φυσικοί και μαθηματικοί περιορισμοί των λύσεων (οριακές συνθήκες) Ελεύθερο σωμάτιο Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού

Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει: Το ελεύθερο σωμάτιο και τις κυματοσυναρτήσεις του. Τη συμπεριφορά σωματίου σε απειρόβαθο φρέαρ δυναμικού. Την κβάντωση της ενέργειας του σωματίου. Την έννοια του κύριου κβαντικού αριθμού.

Ελεύθερο σωμάτιο E. Schrödinger Ελεύθερο σωμάτιο είναι το σωμάτιο του οποίου η δυναμική ενέργεια U(x,t)=Uo. Στη δυναμική αυτή ενέργεια αντιστοιχεί δύναμη F=0. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε σταθερή τιμή της U οπότε μπορούμε να πάρουμε U=0. Οπότε η εξίσωση του Schrödinger για το ελεύθερο σωμάτιο γράφεται: Και έχει λύσεις της μορφής: Η συνάρτηση y(x) είναι λύση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Και είναι: Είναι φανερό ότι η συνάρτηση y(x) περιγράφει ένα επίπεδο κύμα.

Ελεύθερο σωμάτιο Υπολογίζουμε την πυκνότητα πιθανότητας από την y(x). E. Schrödinger Υπολογίζουμε την πυκνότητα πιθανότητας από την y(x). Παρατηρούμε ότι η πυκνότητα πιθανότητας είναι σταθερή και αυτό σημαίνει ότι εάν θεωρήσουμε ένα διάστημα dx πάνω στον άξονα x τότε το σωμάτιο έχει την ίδια πιθανότητα να βρεθεί στο διάστημα αυτό ανεξάρτητα από πού βρίσκεται το διάστημα dx πάνω στον άξονα. Η συνάρτηση y(x) του ελεύθερου σωματίου περιγράφει ένα σωμάτιο το οποίο κινείται επάνω στον άξονα x με τελείως καθορισμένη ορμή p=ħk και τελείως απροσδιόριστη θέση. Στη πράξη δεν χρησιμοποιούμε επίπεδα κύματα για να περιγράψουμε τη κίνηση ενός ελεύθερου σωματίου. Θα πρέπει να χρησιμοποιούμε κυματοδέματα. Παρά ταύτα αποτελούν μια χρήσιμη προσέγγιση που οδηγεί, με λιγότερο κόπο, σε αποτελέσματα πρακτικώς σωστά.

μονοδιάστατα προβλήματα Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού Πηγή: Wikipedia Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262 E. Schrödinger (documentary) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) Nobel Prize lecture

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Το πιο απλό από τα προβλήματα που αφορούν δυνάμεις είναι αυτό που εξετάζει την κίνηση ενός σωματίου περιορισμένου σε μια μικρή περιοχή του χώρου. Ας θεωρήσουμε ότι ένα σωμάτιο κινείται, κατά μήκος του άξονα x, ανάμεσα στα σημεία x=0 και x=L. Μέσα σε αυτό το χώρο το σωμάτιο είναι ελεύθερο αλλά στα άκρα δέχεται ισχυρές δυνάμεις που το κρατούν εγκλωβισμένο. Λέμε ότι το σωμάτιο κινείται σε ένα απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού. Θέλουμε να υπολογίσουμε τη χρονοανεξάρτητη κυματομορφή y(x) του σωματίου. Προφανώς ισχύει y(x)=0 για x<0 και x>L. Επίσης, το σωμάτιο, μέσα στο χώρο που κινείται, έχει δυναμική ενέργεια U(x)=0

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Ας διατυπώσουμε την εξίσωση του Schrödinger για το σωμάτιο: Η εξίσωση μπορεί να γραφεί και ως εξής: Η εξίσωση αυτή έχει λύσεις της μορφής:

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Είναι φανερό ότι πρέπει επίσης να ισχύει: Άρα: Επίσης επειδή y(L)=0 έχουμε: Επομένως η συνάρτηση y(x) γράφεται: Ενώ η κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t) είναι:

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Για την ενέργεια Ε του σωματίου έχουμε: Βλέπουμε ότι η ενέργεια Ε είναι κβαντισμένη. Το n ονομάζεται κύριος κβαντικός αριθμός. Για =1 έχουμε: Για =2 έχουμε: Για =3 έχουμε: Θεμελιώδης κατάσταση 1η διεγερμένη 2η διεγερμένη

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Η ελάχιστη ενέργεια Ε1 που μπορεί να έχει το σωμάτιο είναι διάφορη του μηδενός και ονομάζεται ενέργεια μηδενικού σημείου. Η ενέργεια αυτή γίνεται τόσο μεγαλύτερη όσο το εύρος L του φρέατος μικραίνει. Αντίθετα, η κλασική φυσική δεν επιβάλλει κανένα περιορισμό στις τιμές της ενέργειας και της ορμής του σωματίου. Τιμή Ε=0 είναι αποδεκτή στα πλαίσια της κλασικής φυσικής. Η κβαντική περιγραφή όμως οδηγεί στο φαινόμενο της κβάντωσης της ενέργειας.

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Μπορούμε να προχωρήσουμε πλέον σε υπολογισμό πιθανοτήτων για το σωμάτιο στο απειρόβαθο φρέαρ δυναμικού. Πριν όμως θα πρέπει να κανονικοποιήσουμε την συνάρτηση y(x). Επομένως προκύπτει: Ας κάνουμε ένα παράδειγμα:

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Θεωρούμε σωμάτιο στη θεμελιώδη ενεργειακή του κατάσταση μέσα σε απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού μήκους L. Υπολογίστε την πιθανότητα το σωμάτιο να βρίσκεται στην περιοχή από x=L/4 έως x=3L/4 Λύση Γνωρίζουμε ότι: Υπολογίζουμε την πιθανότητα

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Ας υπολογίσουμε επίσης τη μέση τιμή <x> της θέσης ενός σωματίου, που βρίσκεται σε απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού μήκους L και στη θεμελιώδη ενεργειακή του κατάσταση. Λύση Γνωρίζουμε ότι: Υπολογίζουμε την <x> Το 2ο ολοκλήρωμα μέσα στην αγκύλη υπολογίζεται με ολοκλήρωση κατά παράγοντες και τελικά προκύπτει:

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Ας υπολογίσουμε επίσης την αβεβαιότητα Δx της μέσης τιμής <x> του σωματίου. Λύση Υπολογίζουμε την Δx Αρκεί να υπολογίσουμε το <x2> Το 2ο ολοκλήρωμα μέσα στην αγκύλη υπολογίζεται με ολοκλήρωση κατά παράγοντες και τελικά προκύπτει: Οπότε:

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Τέλος ας υπολογίσουμε τη μέση τιμή της ορμής <px> και την αβεβαιότητα Δpx του σωματίου. Λύση Υπολογίζουμε τη μέση τιμή της ορμής <px> Η ορμή του σωματίου είναι πάντα πραγματική. Επομένως η τιμή του ολοκληρώματος πρέπει να είναι μηδέν διότι διαφορετικά η <px> προκύπτει μιγαδική συνάρτηση. Οπότε:

Απειρόβαθο ορθογώνιο «φρέαρ» δυναμικού E. Schrödinger Υπολογίζουμε την αβεβαιότητα Δpx της μέσης τιμής της ορμής από τη σχέση: Οπότε: Τώρα μπορούμε να ελέγξουμε εάν οι αβεβαιότητες που υπολογίσαμε ικανοποιούν την Αρχή της Απροσδιοριστίας.

Ευχαριστω για την Προσοχη Σασ

Σημείωμα χρήσης έργων τρίτων Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 9». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1961/

Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: •που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο •που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο •που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας