KRUŽNICA I KRUG VJEŽBA ZA ISPIT ZNANJA

1. Promatrajući sliku kruga odgovori kako nazivamo: dužinu b) dužinu c) pravac t d) dio kružnice BD e) dio kružnice AB f) dio kruga ADSA g) dio kruga ASBA h) dužinu promjer polumjer tangenta kružni luk polukružnica kružni isječak polukrug tetiva

U kakvom su međusobnom položaju dvije kružnice radijusa 3 cm U kakvom su međusobnom položaju dvije kružnice radijusa 3 cm i 5 cm ako su im središta udaljena: a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 6 cm e) 8 cm f) 10 cm? Kružnice su jedna unutar druge i ne sijeku se, jer je │S1S2│< r2 – r1. Kružnice se dodiruju iznutra, jer je │S1S2│= r2 – r1. Kružnice se sijeku, jer je r2 – r1 <│S1S2│< r2 + r1. Kružnice se sijeku, jer je r2 – r1 <│S1S2│< r2 + r1. Kružnice se dodiruju izvana, jer je │S1S2│= r2 + r1. Kružnice se ne sijeku, jedna je izvan druge, jer je │S1S2│> r2 + r1.

3. Konstruiraj kružnicu koja prolazi točkama A, B i C. Nacrtaj dužine . To su tetive kružnice. 2. Konstruiraj simetrale tih tetiva. A 3. U sjecištu simetrala je središte kružnice. S C B

4. Konstruiraj sekantu kružnice k (S, r = 3 cm) koja je od središta kružnice udaljena 2 cm. 1. Konstruiraj kružnicu sa središtem S i polumjerom duljine 3 cm. 2. Nacrtaj polupravac q s početnom točkom S. 3. Na polupravcu označi točku T koja je od točke S udaljena 2 cm. 4. U točki T konstruiraj okomicu p na polupravac q. To je tražena sekanta.

5. U točki D kružnice k (S, r = 3 cm) konstruiraj njenu tangentu. 1. Konstruiraj kružnicu sa središtem S i polumjerom duljine 3 cm. 2. Na kružnici odaberi točku D. 3. Nacrtaj polupravac q s početnom točkom S koji prolazi točkom D. 4. U točki D konstruiraj okomicu t na polupravac q. To je tražena tangenta.

Izračunaj veličinu obodnog kuta ako je veličina njemu pridruženog središnjeg kuta: c) 13°45’36’’. Obodni kut je dvostruko manji od njemu pridruženog središnjeg kuta. a) 33° : 2 = 16.5° = 16°30’ b) 24°15’ : 2 = 12°7.5’ = 12°7’30’’ c) 13°45’36’’ : 2 = 6.5°22.5’18’’ 0.5’ = 30’’ = 6.5°22’48’’ 0.5° = 30’ = 6°52’48’’

7. Izračunaj veličinu središnjeg kuta ako je veličina njemu pridruženog obodnog kuta: c) 23°37’49’’. Središnji kut je dvostruko veći od njemu pridruženog obodnog kuta. a) 45° ∙ 2 = 90° b) 36°45’ ∙ 2 = 72°90’ 60’ = 1°, 90’ = 1°30’ = 73°30’ c) 23°37’49’’ ∙ 2 = 46°74’98’’ 60’’ = 1’, 98’’ = 1’38’’ = 46°75’38’’ 60’ = 1°, 75’ = 1°15’ = 47°15’38’’

8. Izračunaj opseg i površinu kruga čiji je radijus 7 cm. r = 7 cm o, P = ? o = 2 r π P = r2 π o = 2 ∙ 7 π cm P = 7 ∙ 7 π cm2 o = 14 π cm P = 49 π cm2 o ≈ 43.98 cm P ≈ 153.94 cm2

9. Izračunaj opseg i površinu kruga čiji je dijametar 18 cm. o = 2 r π P = r2 π o = 2 ∙ 9 π cm P = 9 ∙ 9 π cm2 o = 18 π cm P = 81 π cm2 o ≈ 56.55 cm P ≈ 254.47 cm2

10. Kolika je duljina kružnoga luka kružnice polumjera duljine 6 cm kojemu odgovara središnji kut veličine 30°? r = 6 cm α = 30° l = ?

11. Kolika je površina kružnog isječka kojemu u krugu polumjera duljine 9 cm pripada središnji kut veličine 45°? r = 9 cm α = 45° PKI = ?

12. Kolika je površina kružnog isječka kojemu je duljina pripadnog luka 9.42 cm, a duljina polumjera 4 cm? l = 9.42 cm r = 4 cm PKI = ?

13. Pravilni osmerokut je upisan u kružnicu polumjera duljine 6 cm 13. Pravilni osmerokut je upisan u kružnicu polumjera duljine 6 cm. Kolika je duljina kružnoga luka nad jednom stranicom pravilnog osmerokuta? r = 6 cm n = 8 l = ?

14. Luk kojemu pripada središnji kut veličine 36° dugačak je 37. 68 cm 14. Luk kojemu pripada središnji kut veličine 36° dugačak je 37.68 cm. Kolika je duljina polumjera kružnice kojoj pripada taj luk? α = 36° l = 37.68 cm r = ? r = 60 cm

15. Kolika je veličina središnjeg kuta kojemu na kružnici polumjera duljine 8 cm pripada kružni luk duljine 7.536 cm? r = 8 cm l = 7.536 cm α = ? α = 54°

16. Izračunaj opseg kružnog isječka sa slike. r = 4 cm α = 40° oKI = ? oKI = 2r + l oKI ≈ 2 ∙ 4 + 2.79 cm oKI ≈ 10.79 cm

17. Izračunaj opseg i površinu kružnog isječka izrezanog iz kruga opsega 12π cm, ako mu je središnji kut veličine 120°. o = 12π cm α = 120° oKI , PKI= ? o = 2 r π 2 r π = 12 π cm r = 6 cm oKI = 2r + l oKI ≈ 2 ∙ 6 + 12.57 cm oKI ≈ 24.57 cm

18. Odredi veličine nepoznatih kutova. a) Kutu veličine 80°, β je odgovarajući obodni kut. Veliki trokut je po Talesovom poučku pravokutan. β = 80° : 2 = 40° α + 40°= 90° α = 40° α + β= 90° b) b) Kutu veličine 32°, α je odgovarajući središnji kut. α = 64° α + β= 180° β= 116° 64° + β= 180° c) 40° + β = 90° α = 100°, jer je to središnji kut c) β= 50°

e) β = 90° po Talesovom poučku. d) 38° + β = 90° α = β = 52°, jer su to kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta. β= 52° e) e) β = 90° po Talesovom poučku. Četverokut ABDC je tetivni četverokut. 28° + γ = 90° α + 152° = 180° α = 28° γ = 62° f) f) Kutu veličine 42°, α je odgovarajući obodni kut. α = 21° β + 70° = 180° 2γ + 70° = 180° β = 110° γ = 55°

│<S’│= 7k (veći kut u vrhu C) 19. Točke A i B dijele kružnicu na dva kružna luka čije se duljine odnose kao 5 : 7. Izračunaj veličine središnjeg i obodnog kuta pridruženog manjem kružnom luku. l1 = 5k l2 = 7k │<S│=? │<C│=? Središnji kutovi se odnose isto kao i njima pridruženi kružni lukovi. │<S│= 5k │<S’│= 7k (veći kut u vrhu C) │<S│+│<S’│= 360° │<S│= 5 ∙ 30° = 150° 5k +7k = 360° │<C│= 150° : 2 = 75° 12k = 360° k = 30°

│<ASB│+│<BSC│+│<CSA│= 360° 20. Točke A, B i C dijele kružnicu na tri kružna luka čije se duljine odnose kao 2 : 3 : 4. Kolike su veličine kutova trokuta ΔABC? l1 = 2k l2 = 3k l3 = 4k α, β, γ =? │<ASB│= 2k │<BSC│= 3k │<CSA│= 4k │<ASB│+│<BSC│+│<CSA│= 360° 2k + 3k + 4k= 360° 9k= 360° k= 40° │<ASB│= 2 ∙ 40° = 80° │<BSC│= 3 ∙ 40° = 120° │<CSA│= 4 ∙ 40° = 160° α = 120° : 2 = 60° β = 160° : 2 = 80° γ = 80° : 2 = 40° Odgovarajući središnji i obodni kutovi označeni su istom bojom.

21. Točke A, B i C dijele kružnicu na tri kružna luka čije se duljine odnose kao 3 : 5 : 7. Kolike su veličine kutova trokuta ΔABC? l1 = 3k l2 = 5k l3 = 7k α, β, γ =? │<ASB│= 3k │<BSC│= 5k │<CSA│= 7k │<ASB│+│<BSC│+│<CSA│= 360° 3k + 5k + 7k= 360° 15k= 360° k= 24° α = 120° : 2 = 60° β = 168° : 2 = 84° γ = 72° : 2 = 36° │<ASB│= 3 ∙ 24° = 72° │<BSC│= 5 ∙ 24° = 120° │<CSA│= 7 ∙ 24° = 168°