ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 1.1 Είδη κωδίκων διόρθωσης σφαλμάτων Η κωδικοποίηση χρησιμοποιείται πάρα πολύ συχνά στις ψηφιακές τηλεπικοινωνίες για να προστατέψει την ψηφιακή πληροφορία από το θόρυβο και την παρεμβολή και συνεπώς, να μειώσει τον αριθμό των εσφαλμένων δυαδικών ψηφίων. Η κωδικοποίηση πραγματοποιείται στην απλούστερη περίπτωση με την προσθήκη πλεοναζόντων δυαδικών ψηφίων στην μεταδιδόμενη ροή πληροφορίας. Αυτά τα επιπλέον δυαδικά ψηφία επιτρέπουν την ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων δυαδικών ψηφίων στην λαμβανόμενη ακολουθία δυφίων (ή συμβόλων) και παρέχουν πιο αξιόπιστη μετάδοση πληροφορίας. Το αναμενόμενο κόστος, όταν χρησιμοποιούμε κωδικοποίηση για την προστασία της πληροφορίας, είναι αφενός η μείωση του ρυθμού μετάδοσης πληροφοριακών δεδομένων και αφετέρου η αύξηση του εύρους ζώνης.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Οι αλγεβρικοί κώδικες χρησιμοποιούνται είτε για την ανίχνευση είτε για τη διόρθωση σφαλμάτων. Το μήνυμα προς μετάδοση χωρίζεται σε ένα πλήθος ισομηκών λέξεων, μήκους k δυφίων η καθεμία, οι οποίες προσάγονται στην είσοδο του κωδικοποιητή και ο οποίος παράγει στην έξοδό του μια ομάδα (block) από n κωδικοποιημένα δυαδικά ψηφία. Σύμφωνα με διάφορους κανόνες n–k πλεονάζοντα δυαδικά ψηφία προστίθενται σε k δυαδικά ψηφία πληροφορίας για να σχηματίσουν τα n κωδικοποιημένα δυαδικά ψηφία. Συνήθως, αυτοί οι κώδικες αναφέρονται ως (n, k) αλγεβρικοί κώδικες. Το πιο κοινό στοιχείο τους είναι ο ρυθμός τους Rc(=k/n). Χαμηλός ρυθμός κωδικοποίησης σημαίνει μεγάλος πλεονασμός και άρα, μικρότερη τιμή πιθανότητας σφάλματος. Οι πιο γνωστοί αλγεβρικοί κώδικες που χρησιμοποιούνται είναι οι κώδικες Hamming, οι κώδικες Reed-Muller, οι κώδικες Golay, οι κυκλικοί κώδικες BCH και οι κυκλικοί μη-δυαδικοί κώδικες Reed-Solomon.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Η μέθοδος αλγεβρικής κωδικοποίησης
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Oι συνελικτικοί κώδικες μετατρέπουν μια ολόκληρη ακολουθία πληροφοριακών δεδομένων σε μία και μοναδική κωδικοποιημένη λέξη χρησιμοποιώντας το μηχανισμό του ολισθαίνοντος παράθυρου. Τα κωδικοποιημένα δυαδικά ψηφία εξαρτώνται όχι μόνο από τα k δυαδικά ψηφία που προσάγονται στην είσοδο του κωδικοποιητή αλλά και από τα προηγούμενα δυαδικά ψηφία εισόδου. Το μέγεθος του παράθυρου, που συμβολίζεται με το n, αποτελείται από το πλαίσιο εισόδου των k συμβόλων συν τον αριθμό των συμβόλων που έχουν αποθηκευτεί στη μνήμη του κωδικοποιητή. Η καθιερωμένη μέθοδος αποκωδικοποίησης των συνελικτικών κωδίκων βασίζεται στον αλγόριθμο Viterbi. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται παραστατικά ο τρόπος της συνελικτικής κωδικοποίησης όπου είναι εμφανής η διαφορά τους με τους αλγεβρικούς κώδικες.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Ο μηχανισμός του ολισθαίνοντος παράθυρου για τη συνελικτική κωδικοποίηση
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Εκτός των παραπάνω δυο ειδών κωδίκων, υπάρχουν δυο άλλες πιο πρόσφατες τεχνικές κωδικοποίησης. Η μια από αυτές ονομάζεται TCM (Trellis Coded Modulation). Η τεχνική TCM σε αντίθεση με τα προαναφερθέντα είδη, προσθέτει πλεονάζοντα σύμβολα με την συνένωση των διεργασιών της κωδικοποίησης και διαμόρφωσης σε μια κοινή διεργασία που θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε Δικτυωτά Κωδικοποιημένη Διαμόρφωση. Η τεχνική TCM χρησιμοποιεί συνελικτικούς κώδικες και τα προτερήματα της TCM είναι ότι δεν μειώνεται ο ρυθμός μετάδοσης, ενώ ταυτόχρονα δεν αυξάνεται το εύρος ζώνης του συστήματος. Η άλλη μέθοδος ονομάζεται Turbo και είναι μια τεχνική που χρησιμοποιεί κωδικοποίηση πολλών βαθμίδων (concatenated coding), όπου δυο αναδρομικοί και συστηματικοί συνελικτικοί κώδικες συνδυάζονται παράλληλα ή σειραϊκά διαμέσου ενός αναδιατάκτη (interleaver). Σε αυτή την περίπτωση, αντίθετα με τις υπόλοιπες τεχνικές, οι κώδικες Turbo μπορούν να μεταφέρουν μηνύματα πληροφορίας κωδικοποιημένα σε μεγάλου μήκους κωδικές λέξεις μέσα από τον κλασικό δίαυλο AWGN με αυθαίρετα μικρή τιμή της πιθανότητας σφάλματος.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Συνεπώς, όταν ο ρυθμός μετάδοσης της πληροφορίας είναι ο μέγιστος δυνατός και το εύρος ζώνης άπειρο, η σηματοθορυβική σχέση που χρειάζεται για να επιτευχθεί αξιόπιστη επικοινωνία με το μέγιστο ρυθμό μετάδοσης γίνεται πάρα πολύ μικρός και συγκεκριμένα, ίσος με -1.6dBs. Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι σημαντικό διότι μας δίνει, για επιθυμητές τιμές πιθανότητας σφάλματος μεταξύ 10-7 έως και 10-3, την κατώτερη δυνατή τιμή που θα μπορούσε να έχει η σηματοθορυβική σχέση για οποιοδήποτε ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα που χρησιμοποιεί κωδικοποιημένα μηνύματα και συνεπώς ένα τρόπο σύγκρισης μεταξύ διαφόρων κωδικοποιημένων και μη κωδικοποιημένων τηλεπικοινωνιακών συστημάτων.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 1.2 Ανίχνευση και Διόρθωση Σφαλμάτων-Αποκωδικοποίηση
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Χρειάζεται μια εμπεριστατωμένη μέθοδος αποκωδικοποίησης των μεταδιδόμενων μηνυμάτων. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται κανόνας αποκωδικοποίησης. Υπάρχουν δυο γενικοί κανόνες αποκωδικοποίησης, ο κανόνας μέγιστης πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood-ML) και ο κανόνας ελάχιστης απόστασης (Minimum Distance-MD). Επειδή ο κανόνας ελάχιστης απόστασης (Hamming) μας παραπέμπει στις σημαντικές έννοιες της δυνατότητας εύρεσης και της δυνατότητας διόρθωσης σφαλμάτων, θα ασχοληθούμε με αυτόν στο παρόν κεφάλαιο, ενώ στο επόμενο θα επικεντρώσουμε την προσοχή μας στον κανόνα μέγιστης πιθανοφάνειας που σχετίζεται άμεσα με την αποκωδικοποίηση των δυαδικών γραμμικών κωδίκων. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την μέθοδο MD υποθέτουμε ότι στέλνουμε λέξεις του κώδικα μέσα από τον ΔΣΔ δίαυλο και λαμβάνουμε τη λέξη x.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Επίσης, εάν μεταδοθεί εσφαλμένα η 111, τότε σύμφωνα με την παραπάνω υπόθεση οι τρεις πιθανές ληφθείσες λέξεις 110, 101 και 011 θα αντιστοιχισθούν στην 111. Παρατηρούμε όμως ότι εάν μια κωδική λέξη μεταδοθεί εσφαλμένα σε δυο (ή τρία) δυφία, ο συγκεκριμένος κώδικας δεν έχει την δυνατότητα να τα διορθώσει. Για παράδειγμα, εάν η μεταδοθείσα κωδική λέξη είναι η 000 και η ληφθείσα η 011 τότε, σύμφωνα με την παραπάνω πάντα υπόθεση, η 011 αποκωδικοποιείται σε 111, η οποία δεν είναι η μεταδοθείσα κωδική λέξη.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Συμπεράσματα: (α) Εάν ο αριθμός D είναι άρτιος, τότε ο κώδικας διορθώνει E=D/2 σφάλματα. (β) Εάν όμως D είναι περιττός, τότε o κώδικας διορθώνει E=(D-1)/2 σφάλματα. Από τα παραπάνω συνεπάγεται ότι το πλήθος των κωδικών λέξεων δεν πρέπει να είναι πολύ μεγάλο, εφόσον επιθυμούμε ο κώδικας να έχει τη δυνατότητα διόρθωσης πολλαπλών σφαλμάτων. To πλήθος των κωδικών λέξεων φράζεται από το περίφημο φράγμα Hamming.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο