Μηχανική των υλικών Εισαγωγή στις τάσεις και παραμορφώσεις Επιβλέπων: Γ. Αγγελόπουλος, καθηγητής Επιμέλεια: Πήττας Κωνσταντίνος διπλ. Μηχ. Μηχ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Να συμφιλιωθεί ο φοιτητής με ο αντικείμενο της Αντοχής των υλικών. Να εξοικειωθεί με τις έννοιες της τάσης και της παραμόρφωσης. Να γνωρίσει τις σχέσεις που συνδέουν την τάση και την παραμόρφωση. Να αντιληφθεί τα κριτήρια αστοχίας. Να γνωρίσει το πείραμα και το διάγραμμα του εφελκυσμού

Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Παραδοχές Χαρακτηρισμός φορτίων Χαρακτηρισμός φορέων Ορισμός τάσης Είδη παραμόρφωσης Νόμος Hooke Καμπύλη εφελκυσμού

Εισαγωγή Πολλά δομικά στοιχεία όπως ράβδοι , δοκοί , κολώνες , άξονες , δοχεία πίεσης κ.α χρησιμοποιούνταν ανέκαθεν σχεδόν σε όλους τους τομείς της καθημερινότητας και αποτελούν θεμελειώδη στοιχεία πάνω στα οποία στηρίζεται ο πολιτισμός. Τα υλικά από τα οποία αποτελούνται τα δομικά υλικά ποικίλουν. Κατασκευάζονται κυρίως από διάφορα μέταλλα, σκυρόδεμα, πλαστικό, ξύλο. Σε αυτό το χωρίο του μαθήματος θα ασχοληθούμε με την συμπεριφορά αυτών των δομικών στοιχείων σε διάφορες καταπονήσεις αλλά και την ελαστοπλαστική επίδραση των διαφόρων μηχανικών καταπονήσεων στα στοιχεία αυτά.

Αντικείμενο της Αντοχής των υλικών Είναι η μελέτη της συμπεριφοράς ενός δομικού στοιχείου ή ενός τμήματος μιας κατασκευής όταν αυτή καταπονείται με εξωτερικά φορτία ή φορτία που προκύπτουν από θερμοκρασιακές μεταβολές , μεταβολές πίεσης, εσωτερικές ατέλειες κτλ. Αναπτύσσει δηλαδή τις σχέσεις που συνδέουν τα εξωτερικά φορτία με τις εσωτερικές δυνάμεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται στο σώμα

Σκοπός της Αντοχής των υλικών Σκοπός της είναι η παροχή στοιχείων για την διαμόρφωση των κατασκευών με τον ασφαλέστερο και οικονομικότερο τρόπο αλλά και την μέγιστη εκμετάλλευση διαθέσιμων υλικών και μεθόδων αλλά και αναζήτηση νέων μεθόδων μόρφωσης κατασκευών.

Τρόποι επίτευξης σκοπού της αντοχής των υλικών Οι τρόποι που επιτυγχάνεται αυτό είναι : Ο υπολογισμός του μέγιστου φορτίου που μπορεί να δεχτεί ένας φορέας. Η πρόβλεψη των κρίσιμων διατομών που είναι υποψήφιες για να οδηγίσουν το δομικό στοιχείο στην αστοχία. Ο προσδιορισμός των ανώτατων αλλά και των επιτρεπτών ορίων φόρτισης των διαφόρων υλικών σε όλα τα είδη φόρτισης Ο καθορισμός του προφίλ της διατομής των φορέων αλλά και η διαστασιολόγηση της με τρόπο τέτοιο ώστε να μπορούν να παραλάβουν με ασφάλεια τα φορτία που καλούνται να δεχτούν.

Η αντοχή υλικών ως διεπιστημονική γνώση Η αντοχή υλικών είναι ένα απαραίτητο εργαλείο πουχρησιμοποιούν πλήθος επιστημονικών κλάδων όπως οι: Πολιτικοί μηχανικοί Μηχανολόγοι Αεροναυπηγοί Χημικοί Μηχανικοί Μεταλλειολόγοι Μηχανικοί Μεταλλουργοί Ηλεκτρολοίγοι -Ηλεκτρονικοί

Επιστημονικός κλάδος στον οποίο εντάσσεται η αντοχή υλικών Η Αντοχή υλικών όπως και η θεωρία της ελαστικότητας περιλαμβάνονται στην επιστήμη της τεχνικής μηχανικής των παραμορφώσιμων σωμάτων. Στηρίζεται τόσο σε εμπειρικούς τύπους που προέκυψαν από πειραματικές μετρήσεις όσο και σε ακριβείς μαθηματικές αναλύσεις και μαθηματικά υπολογιστικά μοντέλα. Χρησιμοποιείται στην επίλυση πλήθους πρακτικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας απλές αναλυτικές μεθόδους.

Παραδοχές αντοχής υλικών Παραδοχή συμπαγούς σώματος : Κάθε σημείο έχει τις αυτές ιδιότητες , έτσι και κάθε στοιχειώδες τμήμα του υλικού έχει τις αυτές ελαστικές ιδιότητες όπως όλο το σώμα. Παραδοχή ελαστικού σώματος : Τα υλικά κατασκευών μπορούν να θεωρηθούν ως απολύτως ελαστικά σώματα εντός συγκεκριμένων ορίων που εξαρτώνται από τις ιδιότητες των υλικών. Παραδοχή ισότροπου σώματος : Οι ελαστικές ιδιότητες είναι ίδιες πρός όλες τις κατευθύνσεις.

Χαρακτηρισμός υλικών ΟΜΟΓΕΝΕΣ : όταν έχει σε κάθε σημείο τις ίδιες ιδιότητες. ΙΣΟΤΡΟΠΟ : όταν έχει σε όλες τις διευθύνσεις τις ίδιες ιδιότητες. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟ : όταν οι παραμορφώσεις μεταβάλλονται ανάλογα με τις επιβαλλόμενες δυνάμεις.

Χαρακτηρισμός δυνάμεων ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ανάλογα με τον τρόπο που ασκούνται ΣΤΑΤΙΚΕΣ Ή ΗΜΙΣΤΑΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ Ή ΠΛΗΚΤΙΚΕΣ Ανάλογα με την περιοχή που καταλαμβάνουν ΜΟΝΑΧΙΚΕΣ Ή ΣΥΓΚΕΝΤΡΩ-ΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΕΜΗ-ΜΕΝΕΣ

Χαρακτηρισμός φορτίων ΗΜΙΣΤΑΤΙΚΑ : όταν αυξάνουν ομαλά , διατηρούνται για μικρό χρονικό διάστημα και μετά απομακρύνονται. ΜΟΝΙΜΑ Ή ΠΑΓΙΑ: όταν καταπονούν μόνιμα μια κατασκευή (πχ το βάρος της κατασκευής). ΚΡΟΥΣΤΙΚΑ : όταν δρούν απότομα με όλη τους την ισχύ σε μια κατασκευή. ΕΝΑΛΛΑΣΟΜΕΝΑ : όταν μεταβάλλονται με τον χρόνο ομαλά μερικές χιλιάδες φορές.

Είδη απλών φορέων Εδώ βλέπουμε τα κύρια είδη απλών φορέων . Οι απλοί φορείς αν συνδιαστούν μπορούν να δώσουν πλήθος σύνθετων χωρικών κατασκευών όπως αυτές που ακολουθούν.

Είδη σύνθετων φορέων A: τοξοτός φορέας 1 B : τοξοτός φορές 2 d A: τοξοτός φορέας 1 B : τοξοτός φορές 2 C : πλαίσιο D : κελυφωτός φορέας E : δικτύωμα F : καλωδιωτός φορέας G : πλαισιο 2 b e c g f

Τρόποι αστοχίας μιας κατασκευής Το υλικό του στοιχείου αστοχεί πλήρως και επέρχεται θραύση Το υλικό έχει υποστεί εκτεταμένη παραμόρφωση και γίνεται ακατάλληλο προς χρήση Η κατασκευή είναι ασταθής και δεν μπορεί να δεχτεί μεγάλα φορτία

Πρόληψη αστοχίας Συρματόσχοινο Δοκός Εστω ότι μελετάμε τη συγκεκρημένη ανυψωτική κατασκευή. Τα ερωτήματα που προκύπτουν και πρέπει να μελετηθούν είναι πολλα. Ας ρίξουμε μια ματιά. Βάρος

Ερωτήματα που εγείρονται Ποιό το βάρος και οι διαστάσεις του φορτίου Ποιό το κέντρο βάρους Ποιά η συναρμογή του συστήματος των ράβδων με το υπόλοιπο σύστημα Ποιό το υλικό των ράβδων Τι διατομή θα έχουν οι ράβδοι Ποιο το υλικό των συρματόσχοινων και ποιά η διατομή τους

Ορισμός τάσης Ως τάση ορίζουμε την ανα μονάδα επιφάνειας δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα. Η τάση έχει τα χαρακτηριστικά της δύναμης συνεπώς είναι διάνυσμα. Οι τάσεις διακρίνονται σε ορθές και διατμιτικές. Οι ορθές είναι αυτές που ασκούνται κάθετα στην επιφάνεια και οι διατμιτικές είναι αυτές που ασκούνται επί της επιφάνειας, παράλληλα δηλαδή. Στα επόμενα σχήματα γίνεται ξεκάθαρος ο τρόπος εφαρμογής τους.

Τάσεις στις 3 διαστάσεις dz dy dx Έστω ένα δομικό στοιχείο ενός σώματος με διαστάσεις dy, dx . Δεξιά φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο ασκούνται οι τάσεις σε αυτο το δομικό στοιχείο.

Ορισμός παραμόρφωσης Παραμόρφωση ορίζεται ως το σύνολο των μετατοπίσεων των σημείων ενός σώματος που οδηγούν στην μεταβολή της γεωμετρίας του σχήματος. Μακροσκοπικά εκφράζεται από το παρακάτω σχήμα.

Είδη παραμόρφωσης Ελαστική παραμόρφωση είναι αυτή που δεν είναι μόνιμη, δηλαδή το σώμα επανέρχεται στο αρχικό του σχήμα όταν πάψει να ενεργεί η δύναμη που προκάλεσε την παραμόρφωση. Παράδειγμα ελαστικής παραμόρφωσης είναι αυτή ενός ελατηρίου, που επανέρχεται στο αρχικό του μήκος μόλις πάψει να του ασκείται δύναμη. Η ελαστική παρμόρφωση περιγράφεται μαθηματικά από το νόμο του Hooke . Πλαστική παραμόρφωση είναι αυτή που είναι μόνιμη, δηλαδή το σώμα δεν επανέρχεται στο αρχικό του σχήμα. Παράδειγμα μπορεί να είναι ένα κομμάτι πλαστελίνης το οποίο χτυπάμε με το χέρι μας πάνω σε ένα τραπέζι, ή το ελατήριο του πιο πάνω παραδείγματος όταν του ασκηθεί υπερβολική δύναμη εφελκυσμού και σπάσει

Είδη παραμόρφωσης Ορθές παραμορφώσεις ή γραμμικές είναι αυτές που εκφράζουν την ανα μονάδα μήκους επιμήκυνση ή βράχυνση μιας στοιχειώδους ευθείας του σώματος. Διατμητικές παραμορφώσεις ή γωνιακές είναι αυτές που εκφράζουν την στρέβλωση της γωνίας που σχηματίζουν δύο αρχικά κάθετες μεταξύ τους στοιχειώδεις ευθείες.

Η έννοια της παραμόρφωσης Η παραμόρφωση εκφράζει την ανα μονάδα μήκους επιμήκυνση ή βράχυνση για ορθές παραμορφώσεις και την μετατόπιση της ορθής γωνίας για διατμητικές παραμορφώσεις.

Παραμόρφωση ενός σώματος Θεωρούμε δύο σημεία Ρ,Ρ’ των οποίων η αρχική θέση προσδιορίζεται από το διάνυσμα θέσης .΄Στο σχήμα δεξιά φαίνεται η τελική θέση των δύο σημείων αυτών μετά την μετατόπιση. Η νέα τελική θέση δίνεται από το διάνυσμα θέσης .

Ανάλυση παραμόρφωσης

Παραμόρφωση στις 2 διαστάσεις Εδώ φαίνεται πιό ευκρινώς η ανάλυση των παραμορφώσεων σε επίπεδο 2 διαστάσεων. Η ίδια ακριβώς ανάλυση με διανύσματα όμως ακολουθείται για να περιγραφεί και το σύνολο τωνν μετατοπίσεων που αποτελεί την παραμόρφωση ενός σώματος.

Συγκριση ορθών και διατμητικών παραμορφώσεων Παραμόρφωση λόγω διατμητικών τάσεω Παραμόρφωση λόγω ορθών τάσεων

Μαθηματικές εκφράσεις ορθών παραμορφώσεων

Μαθηματικές εκφράσεις ορθών παραμορφώσεων

Νόμος Hooke Η αντοχή των υλικών βασίζεται στο νόμο του Hooke ο οποίος διατυπώνεται ως εξής : Για οποιοδήποτε υλικό το οποίο έχει καμπύλη τάσης παραμόρφωσης του σχήματος τότε για μικρές τιμές παραμόρφωσης η σχέση τάσης παραμόρφωσης είναι γραμμική Ο Νόμος του Hooke επαληθεύεται πειραματικά με το πείραμα του εφελκυσμού το οποίο είναι και το σημαντικότερο πείραμα για τον έλεγχο και προσδιορισμό των μηχανικών ιδιοτήτων ενός υλικού. σ=Ε·ε

Πείραμα εφελκυσμού λαιμός μετά πρίν δοκίμιο δοκίμια Με το πείραμα του εφελκυσμού λαμβάνουμε τις καμπύλες τάσης-παραμόρφωσης που αποτελούν ενδειξη για τις τεχνολογικές ιδιότητες των υλικών. λαιμός μετά πρίν

Σχέσεις τάσεων-παραμόρφωσης Οπου Fo το εμβαδό της διατομής του δοκιμίου που είναι χρωματισμένο με γαλάζιο. Σκοπός του πειράματος εφελκυσμού είναι ο προσδιορισμός της ορθής τάσης και παραμόρφωσης σε σχέση με την δύναμη Ρ. Ρ Ρ

Καμπύλη εφελκυσμού

Ανάλυση καμπύλης εφελκυσμού : όριο αναλογίας : όριο διαρροής Στην καμπύλη τάσης παραμόρφωσης διακρίνονται οι 3 περιοχές παραμόρφωσης. Αρχικά η ελαστική περιοχή όπου ισχύει ο νόμος Hooke σ=Ε·ε, στη συνέχεια η ελαστοπλαστική περιοχή όπου και στα δοκίμια σχηματίζεται ΄΄΄λαιμός΄΄ και τέλος η περιοχή ανηγμένης παραμόρφωσης.

Κρίσιμες τιμές Όριο ελαστικότητας : η μέγιστη ορθή τάση που δύναται να ανπτυχθεί χωρίς να παρουσιαστούν στο δοκίμιο μακροσκοπικά μόνιμες ή πλαστικές παραμορφώσεις Όριο διαρροής : η τάση εκείνη κατά την οποία παρατηρείται σημαντική αύξηση της παραμόρφωσης χωρίς αύξηση της τάσης και πέραν αυτής η παραμόρφωση παύει να είναι ελαστική και γίνεται πλαστική. Όριο αντοχής : η τάση πέραν της οποίας παρατηρείται εγκάρσια παραμόρφωση (στένωση, λαιμός) του δοκιμίου. Συμβατικό όριο διαρροής : η τάση εκείνη που επιφέρει στο δοκίμιο μία μετρήσιμη μόνιμη αντοχή.

Χαρακτηριτικές καμπύλες διαφόρων υλικών

Χαρακτηριστικές ιδιότητες υλικού πρου προκύπτουν από [σ-ε] Ολκιμότητα : εκφράζει την ικανότητα των υλικών να διαρέουν. Είναι μέτρο της πραγματικής παραμόρφωσης μέχρι την θραύση και της μείωσης της επιφάνειας. Όλκιμο χαρακτηρίζεται ένα υλικό που μπορεί να παραλάβει μεγάλες πλαστικές παραμορφώσεις. Ψαθυρό χαρακτηρίζεται ένα υλικό που θραύεται πρίν αποκτήσει μεγάλη παραμόρφωση. Ολκιμότητα και ψαθυρότητα δεν είναι ιδιότητες των υλικών (όπως λόγος Poisson ή το μέτρο ελαστικότητας Ε) και μεταβάλλονται ανάλογα με τις συνθήκες της καταπόνησης.

Μέτρο ολκιμότητας Στένωση θραύσης : Βαθμός επιμήκυνσης : Τα όλκιμα υλικά παρουσιάζουν μεγάλη στένωση θραύσης (>50%) ενώ τα ψαθυρά υλικά μεγάλη (<10%)

Ενέργεια παραμόρφωσης Αποταμίευση μηχανικής ενέργειας Αποτελεί κριτήριο καταλληλότητας του υλικού Ερπυσμός : το φαινόμενο εκείνο κατα το οποίο το υλικό συνεχίζει να παραμορφώνεται ενώ η τάση παραμένει σταθερή. Χαλάρωση : αποτελεί την αντίθετη συμπεριφορά με αυτή του ερπυσμού.

Αρχή επαλληλίας Σύμφωνα με αυτήν την θεωρία, για κάθε γραμμικό σύστημα το ολικό αποτέλεσμα ενός φαινομένου που αποτελείται από επί μέρους φαινόμενα, είναι ίσο με το άθροισμα των αποτελεσμάτων των επί μέρους. Όσον αφορά παραμορφώσεις αυτό μεταφράζεται στην εξής παραδοχή. Εάν σε ένα σώμα επιπροσθέσουμε μια εντατική κατάσταση τότε οι παραμορφώσεις που θα προκύψουν θα είναι ανεξάρτητες από αυτές που προυπήρχαν και είναι το αλγεβρικό άθροισμα των επι μέρους παραμορφώσεων.

Γραφική αναπαράσταση της αρχής της επαλληλίας

Συμβολή ορθών τάσεων στη εντατική κατάσταση Συμβολή ορθής τάσης σχ στις παραμορφώσεις στοιχείου Συμβολή ορθής τάσης σy στις παραμορφώσεις στοιχείου

Σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων που προκύπτουν από αρχή επαλληλίας για χωρική εντατική κατάσταση

Σημείωμα χρήσης έργων τρίτων Εικόνα από ιστότοπους http://practicalmaintenance.net/, http://sterlingperformance.org/, ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Δρ Π. Α. ΒΟΥΘΟΥΝΗΣ

Τέλος Ενότητας