Ψηφιακές Επικοινωνίες Ι Ενότητα 4: Ανίχνευση και Χώρος Σήματος Επίκουρος Καθηγητής Βασίλης Στυλιανάκης Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστημίου Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1

Σκοποί ενότητας Ανίχνευση: Σκοποί ενότητας Ανίχνευση: Εκτίμηση του λαμβανομένου συμβόλου που στηρίζεται στο λαμβανόμενο δείγμα Ο Χώρος του σήματος που χρησιμοποιείται για την ανίχνευση Ορθογώνιος Ν-διάστατος χώρος Μετασχηματισμός σήματος σε κυματομορφή και αντίστροφα 2

Περιεχόμενα ενότητας Χώρος του σήματος. Χρήση του χώρου σήματος Οι διανυσματικές αναπαραστάσεις των σημάτων αποτελούν έναν Ν-διάστατο ορθογώνιο χώρο Χρήση του χώρου σήματος Είναι ένα μέσο μετατροπής των σημάτων σε διανύσματα και αντίστροφα Μέσω αυτού υπολογίζουμε την ενέργεια των σημάτων και τις Ευκλίδειες αποστάσεις μεταξύ των σημάτων Χρήση των Ευκλείδειων αποστάσεων Για την ανίχνευση:Το λαμβανόμενο σήμα μετασχηματίζεται σε λαμβανόμενο διάνυσμα. Το σήμα που έχει την μικρότερη απόσταση από το λαμβανόμενο θεωρείται ως το μεταδιδόμενο σήμα. 3

Χώρος Σήματος Για να διαμορφώσουμε τον χώρο σήματος χρειαζόμαστε το «εσωτερικό γινόμενο» μεταξύ δύο σημάτων (συναρτήσεων): Εσωτερικό (βαθμωτό) γινόμενο: Ιδιότητες «Εσωτερικού γινομένου»: 4

Χώρος Σήματος (συνέχεια) Η απόσταση στον χώρο του σήματος μετράται υπολογίζοντας τη «Νόρμα». Νόρμα (Μέτρο ή Πλάτος); Νόρμα ενός σήματος: Η Νόρμα μεταξύ δύο σημάτων: Η Νόρμα μεταξύ δύο σημάτων αποτελεί την Ευκλείδεια απόστασή τους. 5

Ορθογώνιος Χώρος Σήματος Ο Ν-διάστατος ορθογώνιος χώρος χαρακτηρίζεται από Ν γραμμικώς ανεξάρτητες συναρτήσεις, τις συναρτήσεις βάσης. Τα διανύσματα-συναρτήσεις βάσης πρέπει να είναι ορθογώνια μεταξύ τους. όπου Ορθοκανονικός Χώρος Σήματος σημαίνει πως 6

Παράδειγμα ορθοκανονικής βάσης Παράδειγμα 1: Μονοδιάστατος ορθοκανονικός χώρος σήματος Παράδειγμα 2: 2-διάστατος ορθοκανονικός χώρος σήματος T t 7

Ο Χώρος Σήματος (συνέχεια) Κάθε πεπερασμένο σύνολο των κυματομορφών όπου κάθε μέλος του είναι ένα σύνολο διάρκειας T, μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός των N ορθογώνιων κυματομορφών όπου όπου Διανυσματική αναπαράσταση της κυματομορφής Ενέργεια της κυματομορφής 8

Προβολή σημάτων σε έναν ορθοκανονικό χώρο Μεταδιδόμενα σήματα 9

Διανυσματικός Χώρος Επικοινωνία Πομπού-Δέκτη μέσω συνόλου σημάτων sk(t), k = 1, 2, … , Κ Διανυσματικός Χώρος N διαστάσεων, Ν ≤ Κ με βάση ψk(t), k = 1, 2, … , Ν Αντιστοίχιση σημάτων κυματομορφών sk(t) σε διανύματα sk Κατασκευή Πομπού-Δέκτη με υλοποίηση συστοιχίας προσαρμοσμένων φίλτρων, ή ετεροσυσχετιστών 10

Διαδικασία Ορθογωνιοποίησης Gram-Schmidt Το πρώτο σήμα s1(t) με Ενέργεια ε1 Το σήμα αυτό αποτελεί το πρώτο σήμα της βάσης του Διανυσματικού Χώρου, και προέρχεται από το s1(t). Στη συνέχεια της διαδικασίας, από κάθε σήμα sk(t), θα δημιουργηθεί ένα σήμα ψk(t) για τη βάση του Χώρου, εφ όσον δεν υπάρχει γραμμική εξάρτηση με τα προηγούμενα. 11

Διαδικασία Ορθογωνιοποίησης Gram-Schmidt Δεύτερο σήμα s2(t) Προβολή c21 του s2(t) στο ψ1 Αφαίρεση από s2(t) του γινομένου της προβολής c21 με το ψ1 Το d2(t) είναι ορθογώνιο με το ψ1(t). Μετατρέπεται, με κανονικοποίηση στο ψ2(t), το οποίο είναι το δεύτερο σήμα της βάσης του διανυσματικού χώρου. 12

Διαδικασία Ορθογωνιοποίησης Gram-Schmidt Για κάθε σήμα sκ(t) επαναλαμβάνεται η διαδικασία Όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία για όλα τα σήματα, τα ψk(t) που θα έχουν δημιουργηθεί θα αποτελούν την πλήρη βάση του διανυσματικού χώρου, και ο αριθμός τους θα δείχνει τις διαστάσεις του. 13

Αναπαράσταση σημάτων στο Διανυσματικό Χώρο Ένα οποιοδήποτε σύνολο σημάτων διάρκειας Τ, μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός Ν ορθοκανονικών κυματομορφών 14

Διανυσματική Αναπαράσταση της κυματομορφής και Ενέργεια Παράδειγμα, αν Μ=3 και Ν=2 15

Παράδειγμα 16

Διαμόρφωση Πλάτους (PAM) Δυαδική M-αδική 17

Διαμόρφωση Πλάτους (PAM) Γεωμετρική αναπαράσταση: Μονοδιάστατα d 18

Ζωνοδιαβατά Σήματα Διαμόρφωσης Πλάτους 19

Ο Βέλτιστος Δέκτης Υλοποιείται με συστοιχία Ν παράλληλων κλάδων, όπου Ν είναι οι διαστάσεις του Διανυσματικού Χώρου. Μ-αδική Μετάδοση Πλάτους με AWGN (Μονοδιάστατη) Ν=1 Αποδιαμορφωτής Ανιχνευτής Απόφαση Δειγματοληψία 20

Δέκτης με συστοιχία ετεροσυσχετιστών 21

Δέκτης Προσαρμοσμένων Φίλτρων Διάνυσμα Παρατήρησης 22

Ο Ανιχνευτής (Detector) Με βάση το διάνυσμα παρατήρησης στην έξοδο του αποδιαμορφωτή: Οι μέγιστες εκ των υστέρων πιθανότητες (Maximum a Posterior Probabilities – MAP) 23

Ο Ανιχνευτής (Detector) Οι μέγιστες εκ των υστέρων πιθανότητες (Maximum a Posterior Probabilities – MAP) Εάν ο ανιχνευτής λέγεται Μέγιστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood-ML). Σε κανάλι Προσθετικού Λευκού Γκαουσιανού Θορύβου (AWGN) 24

Ο Αποδιαμορφωτής Προσαρμοσμένου Φίλτρου Τα {rk} εμφανίζονται στην έξοδο μιας συστοιχίας προσαρμοσμένων φίλτρων Κάθε φίλτρο είναι προσαρμοσμένο στο αντίστοιχο σήμα της βάσης του διανυσματικού χώρου hm(t) = ψm(T-t) 25

Ο Αποδιαμορφωτής Προσαρμοσμένου Φίλτρου Όταν ένα σήμα s(t) έχει αλλοιωθεί από AGWN, το φίλτρο με κρουστική απόκριση h(t) = s(T-t), δηλαδή το προσαρμοσμένο στο s(t), μεγιστοποιεί το Λόγο Σήματος πρός Θόρυβο (SNR) στην έξοδό του τη στιγμή δειγματοληψίας Τ. Αποδιαμορφωτής 26

Πιθανότητα Σφάλματος στη δυαδική PAM Εάν τα σήματα είναι ισοπίθανα και έχει μεταδοθεί το s1 Κανόνας Απόφασης Οι δύο υπό συνθήκη Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανότητας (PDF) για το r 27

Πιθανότητα Σφάλματος Μ-δικής PAM 28

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιον Πατρών, Βασίλης Στυλιανάκης. «Ψηφιακές Επικοινωνίες Ι. Ανίχνευση και Χώρος Σήματος». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=EE8 99

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. [1] http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.